福建省漳州市东山二中高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年福建省漳州市东山二中高二（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共50分，每小题仅有一个选项是符合题目要求的）.1命题“xr，x2+4x+50”的否定是（）axr，x2+4x+50bxr，x2+4x+50cxr，x2+4x+50dxr，x2+4x+502某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）a20辆b40辆c60辆d80辆3等比数列an中，a4=4，则a2a6等于（）a4b8c16d324焦距为6，离心率e=，焦点在x轴上的椭圆标准方程是（）a +=1b +=1c +=1d +=15下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是（）a与b与y2=1c与x2=1d与6条件p：|x+1|1，条件，则q是p的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件7若椭圆的离心率为，则m的值等于（）abcd8已知椭圆（0b2）与y轴交于a、b两点，点f为该椭圆的一个焦点，则abf面积的最大值为（）a1b2c4d89设f1、f2为椭圆的两个焦点，a为椭圆上的点，且，则椭圆的离心率为（）abcd10若2014=k5k+k15k1+a151+a050，其中ak，ak1，a0n，0ak5，0ak1，ak2，a1，a05现从a0，a1，ak中随机取两个数分别作为点p的横、纵坐标，则点p落在椭圆+=1内的概率是（）abcd二.填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分.）11一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12双曲线的离心率等于13设命题p：xr，x22xa，命题q：x0r，x02+2ax0+2a=0，如果“p或q”为真，“p且q”为假，a的取值范围14椭圆的焦点为f1，f2，点p在椭圆上，若|pf1|=4，则|pf2|=；的大小为15某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点a，b，c表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为三.解答题：（本大题共8小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.16已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围17已知数列an中，a1=3，an+1=2an1（n1）（）设bn=an1（n=1，2，3），求证：数列bn是等比数列；（）求数列an的通项公式（）设，求证：数列cn的前n项和18设集合a=x|x22x80，xz，（1）从集合a中任取两个元素a，b且ab0，写出全部可能的基本结果； （2）求方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率； （3）若a=x|x22x80，求方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率19已知曲线c的方程为x2+ay2=1（ar）（1）当a=时，是否存在以m（1，1）为中点的弦，若存在，求出弦所在直线的方程；若不得在，请说明理由；（2）讨论曲线c所表示的轨迹形状；（3）若a1时，直线y=x1与曲线c相交于两点m，n，且|mn|=，求曲线c的方程20已知椭圆c1： +=1（ab0）过点a（1，），其焦距为2（）求椭圆c1的方程；（）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（ab0），则椭圆在其上一点a（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点b为c1在第一象限中的任意一点，过b作c1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于c，d两点，求ocd面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆c2： +=1上任意一点p作c1的两条切线pm和pn，切点分别为m，n当点p在椭圆c2上运动时，是否存在定圆恒与直线mn相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由21已知a，b均为正数，求使a+bc恒成立的c的取值范围22（）椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4，0，）（0，2），求椭圆的方程；（）与双曲线有相同的渐近线，且经过点a（2，3）的双曲线方程23（2014秋漳州校级期末）设f（1，0）是抛物线g：y2=2px的焦点（）求抛物线及准线方程；（）求过点p（0，2）与抛物线g有一个公共点的直线方程；（）若点p是抛物线上的动点，点p在y轴上的射影是q，点，试判断|pm|+|pq|是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在，请说明理由2014-2015学年福建省漳州市东山二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分，每小题仅有一个选项是符合题目要求的）.1命题“xr，x2+4x+50”的否定是（）axr，x2+4x+50bxr，x2+4x+50cxr，x2+4x+50dxr，x2+4x+50【考点】特称命题；命题的否定【专题】规律型【分析】根据命题的否定规则，将量词否定，结论否定，即可得到结论【解答】解：将量词否定，结论否定，可得命题“xr，x2+4x+50”的否定是：“xr，x2+4x+50”故选c【点评】本题重点考查命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定规则，属于基础题2某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）a20辆b40辆c60辆d80辆【考点】频率分布直方图【专题】计算题；概率与统计【分析】频数=样本容量频率【解答】解：被处罚的汽车大约有200100.01=20故选a【点评】考查了频率分布直方图中的数字特征3等比数列an中，a4=4，则a2a6等于（）a4b8c16d32【考点】等比数列【分析】由a4=4是a2、a6的等比中项，求得a2a6【解答】解：a2a6=a42=16故选c【点评】本题主要考查等比中项4焦距为6，离心率e=，焦点在x轴上的椭圆标准方程是（）a +=1b +=1c +=1d +=1【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆的标准方程为（ab0）由于2c=6，a2=b2+c2，解出即可【解答】解：设椭圆的标准方程为（ab0）2c=6，a2=b2+c2，解得c=3，b=4，a=5椭圆的标准方程为：故选：d【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题5下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是（）a与b与y2=1c与x2=1d与【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题【分析】从选项中可以看出，主要考查与双曲线y2=1有有相同的离心率，又有相同渐近线的双曲线方程在双曲线y2=1中a=，b=1，c=2e= 分别求出a，b，c，d离心率和渐近线，再进行比对【解答】解：双曲线y2=1中a=，b=1，c=2. =，渐近线y=xa：e=，渐近线y=x，符合；b：e=2，渐近线y=x，不符合c：e=2，渐近线y=x，不符合：d：e=，渐近线y=x，不符合故选a【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，此类题目不难，要求根据双曲线方程，能做到准确熟练本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生转化和化归思想和对双曲线基础知识的把握6条件p：|x+1|1，条件，则q是p的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；转化法；简易逻辑【分析】求出命题的等价条件，结合逆否命题的等价性进行判断即可【解答】解：由|x+1|1，得到x+11得x+11，即x0或x2，即p：x0或x2，由得，得，解得2x3即q：2x3，即p是q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，故选：b【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键7若椭圆的离心率为，则m的值等于（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】先看当焦点在y轴和x轴时，根据方程分别求得a和c，进而根据离心率求得m【解答】解：当m+99，即m0时，焦点y轴c=e=求得m=3当m+99时，即m0时，c=e=，求得m=故选c【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质注意讨论椭圆焦点在y轴和在x轴两种情况8已知椭圆（0b2）与y轴交于a、b两点，点f为该椭圆的一个焦点，则abf面积的最大值为（）a1b2c4d8【考点】椭圆的应用【专题】计算题【分析】欲求abf面积的最大值，先利用椭圆的参数b，c表示出abf面积，利用椭圆的参数b，c间的关系消去一个参数，再结合基本不等式求其最大值即可【解答】解：已知椭圆（0b2）a=2，c=则abf面积s=abof=2bc=b当且仅当b=取等号则abf面积的最大值为2故选b【点评】本题主要考查椭圆的基本性质的应用和三角形面积的最大值问题直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点也是热点问题，每年必考，一定要好好准备解答的关键是基本不等式的应用9设f1、f2为椭圆的两个焦点，a为椭圆上的点，且，则椭圆的离心率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据向量数量积的性质，由得af2f1f2，rtaf1f2中利用三角函数的定义算出|af1|=，利用勾股定理算出|af2|=，进而得到长轴2a=|af1|+|af2|=2，即可算出该椭圆的离心率【解答】解：，rtaf1f2中，=，得|af1|=|f1f2|=由勾股定理，得|af2|=根据椭圆的定义，得长轴2a=|af1|+|af2|=2椭圆的离心率e=故选：d【点评】本题给出椭圆中的焦点三角形，在af2f1f2且的情况下求椭圆的离心率着重考查了向量数量积的性质、直角三角形中三角函数的定义和椭圆的定义与概念等知识，属于基础题10若2014=k5k+k15k1+a151+a050，其中ak，ak1，a0n，0ak5，0ak1，ak2，a1，a05现从a0，a1，ak中随机取两个数分别作为点p的横、纵坐标，则点p落在椭圆+=1内的概率是（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；转化思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意结合进位制转化求得a0，a1，ak，然后利用古典概型概率计算公式求得答案【解答】解：由题意可知，把十进制数2014采用除5取余法化为五进制数：2014/5=402余4，402/5=80余2，80/5=16余0，16/5=3余1，3/5=0余32014=354+153+052+251+450 则a0=4，a1=2，a2=0，a3=1，a4=3则从4，2，0，1，3中随机取两个数分别作为点p的横、纵坐标，共有52=25个点其中在椭圆+=1内的点有：（0，0），（1，1），（2，2），（2，0），（2，1），（0，2），（0，1），（1，2），（1，0），（3，0），（3，1）共11个点p落在椭圆+=1内的概率是故选：a【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了进位制，训练了古典概型概率计算公式的求法，是中档题二.填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分.）11一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12【考点】分层抽样方法【专题】计算题【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到结果【解答】解：田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，这支田径队有女运动员9856=42人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，每个个体被抽到的概率是=田径队有女运动员42人，女运动员要抽取42=12人，故答案为：12【点评】本题主要考查了分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，属于基础题12双曲线的离心率等于【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】根据双曲线的标准方程，可知求出a和b，然后求出c，由此能够求出它的离心率【解答】解：由双曲线 可知a=3，b=4所以c=5离心率e=故答案为【点评】本题考查双曲线的基本性质，难度不大，解题时注意不要弄混了双曲线和椭圆的性质13设命题p：xr，x22xa，命题q：x0r，x02+2ax0+2a=0，如果“p或q”为真，“p且q”为假，a的取值范围（2，1）1，+）【考点】复合命题的真假【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；简易逻辑【分析】求出命题的等价条件，利用复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：x22x=（x1）211，若：xr，x22xa，则a1，若：x0r，x02+2ax0+2a=0，则判别式=4a24（2a）0，即a2+a20，解得a1或a2，若“p或q”为真，“p且q”为假，则p，q一真一假，若p真，q假，则，即2a1，若p假，q真，则，即a1，故实数a的取值范围是（2，1）1，+），故答案为：（2，1）1，+）【点评】本题主要考查复合命题的应用，根据函数性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键14椭圆的焦点为f1，f2，点p在椭圆上，若|pf1|=4，则|pf2|=4；的大小为4【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】第一问用定义法，由|pf1|+|pf2|=6，且|pf1|=4，易得|pf2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解得f1pf2=120，再利用面积公式即可【解答】解：|pf1|+|pf2|=2a=6，|pf2|=6|pf1|=2在f1pf2中，cosf1pf2=，f1pf2=120=4故答案为：2；4【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位15某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点a，b，c表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为16【考点】统筹方法在实际中的应用【专题】压轴题；阅读型【分析】确定铺设道路的总费用最小时的线路为：aefgd，从g分叉，gcb，即可求得铺设道路的最小总费用【解答】解：由题意，铺设道路的总费用最小时的线路为：aefgd，从g分叉，gcb总费用为2+3+1+2+3+5=16故答案为：16【点评】本题考查统筹方法在实际中的应用，考查学生阅读能力，属于基础题三.解答题：（本大题共8小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.16已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑【分析】先将命题p，q化简，然后由“pq”为假命题，“pq”为真命题得出p，q恰有一真一假，分类讨论即可【解答】解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，m2；关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，4m24（2m+3）0，解得1m3，“pq”为假命题，“pq”为真命题p，q恰有一真一假，若“p真q假”，则，即m3，若“p假q真”，则，即1m2，综上，实数m的取值范围是（1，23，+）【点评】本题的关键是在于对命题的联结词的掌握，由“pq”为假命题，“pq”为真命题得出p，q恰有一真一假17已知数列an中，a1=3，an+1=2an1（n1）（）设bn=an1（n=1，2，3），求证：数列bn是等比数列；（）求数列an的通项公式（）设，求证：数列cn的前n项和【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列与不等式的综合【专题】综合题；等差数列与等比数列【分析】（）将an+1=2an1转化an+11=2（an1），即可证得结论；（）由（），即可求数列an的通项公式（）利用裂项法求和，即可得到结论【解答】（）证明：an+1=2an1（n1）两边同时减去1，得an+11=2（an1）又a11=2，bn=an1bn是以a11=2为首项，q=2为公比的等比数列，（）解：由（）知an1=2n，an=2n+1（nn*）（）证明： =sn=（）+（）+（）=即【点评】本题考查等比数列定义，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题18设集合a=x|x22x80，xz，（1）从集合a中任取两个元素a，b且ab0，写出全部可能的基本结果； （2）求方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率； （3）若a=x|x22x80，求方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（1）先求出集合a，由此利用列举法能求出（a，b）的所有可能取法（2）=1表示焦点在x轴上的椭圆，有ab0，由此能求出方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率（3）由a=x|x22x80=x|2x4，能求出方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率【解答】解：（1）集合a=x|x22x80，xz=x|2x4，xz=1，0，1，2，3 ，（ 2分）由条件知，（a，b）的所有可能取法有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，2），（1，3），（2，3），（1，1），（2，1），（3，1），（2，1），（3，1），（3，2），共12种，（ 4分）（2）=1表示焦点在x轴上的椭圆，有ab0，有（2，1），（3，1），（3，2）共3种，（7分）方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率p1=（ 8分）（3）a=x|x22x80=x|2x4，方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率（ 13分）【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式、椭圆的性质的合理运用19已知曲线c的方程为x2+ay2=1（ar）（1）当a=时，是否存在以m（1，1）为中点的弦，若存在，求出弦所在直线的方程；若不得在，请说明理由；（2）讨论曲线c所表示的轨迹形状；（3）若a1时，直线y=x1与曲线c相交于两点m，n，且|mn|=，求曲线c的方程【考点】轨迹方程【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）假设存在，设出直线与双曲线的两个交点，代入双曲线方程后利用点差法求斜率，从而得到假设不正确（2）对a讨论，即可得出曲线c所表示的轨迹形状；（3）直线y=x1与曲线c联立，利用弦长公式，求出a，即可求曲线c的方程【解答】解：（1）当a=时，曲线c的方程为x2y2=1，假设以m点为中点的弦ab存在，a（x1，y1），b（x2，y2）当过m点的直线的斜率不存在时，显然不满足题意当过m点的直线的斜率存在时，设斜率为ka，b代入，两式相减得：（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2）=0所以过点q的直线的斜率为k=3，所以直线的方程为3xy2=0，与双曲线联立可得6x212x+7=00，没有公共点所以所求的直线不存在；（2）a0，表示双曲线；a=0，x=1，表示两条直线；0a1，表示焦点在y轴上的椭圆；a=1，表示以原点为圆心，1为半径的圆；a1，表示焦点在x轴上的椭圆；（3）直线y=x1与曲线c联立，可得（1+a）x22ax+a1=0，|mn|=，=，a=1或3，曲线c的方程为x2+y2=1或x23y2=1【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合问题，考查了判别式法判断直线与圆锥曲线的交点个数，训练了利用点差法求中点弦所在直线的斜率，属中档题20已知椭圆c1： +=1（ab0）过点a（1，），其焦距为2（）求椭圆c1的方程；（）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（ab0），则椭圆在其上一点a（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点b为c1在第一象限中的任意一点，过b作c1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于c，d两点，求ocd面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆c2： +=1上任意一点p作c1的两条切线pm和pn，切点分别为m，n当点p在椭圆c2上运动时，是否存在定圆恒与直线mn相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）依题意得：椭圆的焦点为f1（1，0），f2（1，0），由椭圆定义知：2a=|af1|+|af2|，即可求出a，b，从而可求椭圆c1的方程；（）（i）确定，再结合基本不等式，即可求ocd面积的最小值；（ii）先求出直线mn的方程，再求出原点o到直线mn的距离，即可得出结论【解答】解：（i）依题意得：椭圆的焦点为f1（1，0），f2（1，0），由椭圆定义知：2a=|af1|+|af2|，所以椭圆c1的方程为（4分）（ii）（）设b（x2，y2），则椭圆c1在点b处的切线方程为令x=0，令，所以（5分）又点b在椭圆的第一象限上，所以，（7分），当且仅当所以当时，三角形ocd的面积的最小值为（9分）（ii）设p（m，n），则椭圆c1在点m（x3，y3）处的切线为：又pm过点p（m，n），所以，同理点n（x4，y4）也满足，所以m，n都在直线上，即：直线mn的方程为（12分）所以原点o到直线mn的距离=，（13分）所以直线mn始终与圆相切（14分）【点评】本题考查椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21已知a，b均为正数，求使a+bc恒成立的c的取值范围【考点】基本不等式【专题】计算题；整体思想；转化法；不等式【分析】先用“贴1法”求得a+b的最小值，即a+b=（a+b）1=（a+b）（+），展开再用基本不等式求最值即可【解答】解：因为a，b均为正数，且，所以，a+b=（a+b）1=（a+b）（+）=5+5+2=9，即a+b9，根据题意，c（a+b）min，c9故实数c的取值范围为：（，9【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，其中灵活运用“贴1法”是解决本题的关键，属于基础题22（）椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4，0，）（0，2），求椭圆的方程；（）与双曲线有相同的渐近线，且经过点a（