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國中數學第五冊13第五冊第一章 相似形一、相似形的意義(一)意義1.若兩同邊數之多邊形，其對應角相等且對應邊成比例，則此兩多邊形為相似形，以符號”表示。2.兩多邊形相似，應注意其對應角與對應邊的位置關係。(1)矩形與正方形雖對應角相同，但對應邊未必成比例，故不一定相似。(2)菱形與正方形雖對應邊成比例，但對應角未必相等，故不一定相似。(二)若兩多邊形均與另一多邊形相似，則此兩多邊形相似。(三)在兩三角形中1.若兩多邊形僅對應角相等或對應邊成比例，則不一定為相似形。2.若兩三角形對應角相等或對應邊成比例，則兩三角形必為相似形。(四)若三角形的三邊互相平行或垂直，則此兩三角形相似。(五)全等與相似的關係1.兩相似多邊形未必全等，但兩全等多邊形必為相似形。2.兩多邊形不論全等或相似其對應角均相同。二、相似多邊形(一)定義：若兩多邊形相似對應角相等且對應邊成比例。(二)如右圖，若四邊形ABCD四邊形ABCD，則：1.對應角相等：。2.對應邊成比例：。三、相似三角形 (一)三角形與比例線段1.比例線段：有四個線段，其中兩線段的比等於另兩個線段的比時，我們稱這四個線段為比例線段。(1)如右圖，。 。(2)平行線截比例線段的應用平行線截比例線段如右圖，。平行線截等線段如右圖，。2.三角形中常考的比例關係(1)如圖一，。(2)如圖二，。(3)如圖三，。(4)如圖四，。(5)如圖五，；但，則與 不一定平行。 圖一 圖二 圖三 圖四 圖五 (二)三角形的相似性質1.AAA相似：若三角形的三內角對應相等，則這兩三角形相似，可簡稱為AA相似。2.SAS相似：三角形的一角對應相等，且其夾此角的兩邊對應成比例，則這兩個三角形相似。3.SSS相似：三角形的三邊對應成比例，則這兩個三角形相似。(三)相似三角形的應用1.直角三角形母子相似性質(1)如右圖，直角三角形斜邊上的高分原三角形為2個直角三角形，且各與原三角形相似，即。(2)比例中項性質。(3)倒數性質：。(4)。2.內、外分比性質(1)內分比：如圖一，。(2)外分比：如圖二，。圖一 圖二 3.相似三角形的重要性質(1)相似三角形對應邊長的比等於對應高的比。對應中線長的比。對應角平分線長的比。周長的比。(2)相似三角形面積的比等於對應邊長的平方比。對應高的平方比。對應中線長的平方比。對應角平分線長的平方比。周長的平方比。(3)兩三角形的面積比若兩三角形同底，則面積比等於其高的比。若兩三角形等高，則其面積比等於底的比。若兩三角形其底與高均不同，則其面積比為底高乘積比。有一角相等的兩個三角形，其面積比夾角兩邊的乘積比。(4)在同一三角形中，其邊長比為其高的倒數比。筆 記 欄第五冊第二章 圓形一、直線與圓及兩圓的位置關係(一)點與圓的位置關係1.圓(1)定義：平面上與某一固定點等距離的所有點所形成的圖形。(2)如右圖，圓的各部名稱。(3)等圓：兩個半徑相等的圓稱為等圓。2.點與圓的位置關係(1)如圖一，。(2)如圖二，。(3)如圖三，。圖一 圖二 圖三 (二)直線與圓的位置關係1.直線與圓的位置關係(1)如圖一，。(2)如圖二，。(3)如圖三，。圖一 圖二 圖三 2.切線性質(1)圓心到切線的距離等於圓的半徑。(2)圓心與切點的連線垂直此切線。3.切線長性質：(1)切線長相等，。(2)。(3)。4.弦心距(1)圓心到弦的垂直距離稱為弦心距。(2)弦心距必垂直且平分圓內一弦。(三)兩圓的位置關係1.平面上兩圓的位置關係不相交重合相交兩點相切內離外離內切外切2.連心線與兩圓的位置關係(1)連心線：連接兩圓圓心的直線。()(2)連心線長：兩圓圓心的距離。()(3)連心線長與兩圓的位置關係兩圓內離兩圓內切兩圓相交於兩點兩圓外切兩圓外離3.公切線(1)定義：同時與兩圓相切的直線。(2)類型內公切線：將兩圓分在不同兩側的公切線。 外公切線：將兩圓分在同一側的公切線。 (3)兩圓位置、連心線長與公切線數目間的關係兩圓關係連心線的長外公切線數內公切線數公切線總數外離224外切213相交兩點202內切101內離000同心000重合無限多0無限多(4)內、外公切線長的計算外公切線長=內公切線長=若兩圓外切，則外公切線長=二、圓心角、圓周角與弦切角(一)弧度與弧長1.弦與弧(1)圓周上任意兩點的連線稱為弦，圓內最長的弦是直徑。(2)一弦將圓分成兩個弧，大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧。(3)一般而言，弦所對的弧是指劣弧。(4)弦與弧所組成的圖形稱為弓形，兩個半徑和弧所組成的圖形稱為扇形。2.弧度與弧長(1)把圓周分成360等分，每一等分的弧即為。(2)弧的度數等於圓心角的度數。(3)若圓心角為，半徑為，則：。(4)在同圓或等圓中，則：。(二)各類角之定義、與弧度數的關係名 稱定 義求 法圖 形圓心角圓中任意兩個半徑所形成的夾角圓心角所對弧的度數圓周角圓內兩弦的交點在圓周上所形成的夾角圓周角所對弧度數的一半圓內角角頂在圓內的角圓內角所夾弧度數和的一半圓外角角頂在圓外的角圓外角所夾弧度數差的一半弦切角圓上切線與過切點的弦所形成的夾角弦切角兩邊夾弧度數的一半(三)圓的比例線段切割線比例線段內冪性質外冪性質為切線，為切點，為割線，則兩弦、交於圓內一點，則、為割線，則筆 記 欄第五冊第三章 幾何與證明一、幾何推理(一)實驗幾何：由觀察或實驗歸納得來的幾何性質。(二)推理幾何：根據已知事實及適當的幾何性質，按步就班的加以推演驗證。(三)幾何證明的格式1.已知：問題所給的條件。2.求證：問題所要推理的結果。3.證明：推理過程的步驟。二、綜合證題法(一)三角形全等性質：SSS、SAS、ASA、AAS、RHS五種全等性質。(二)垂直平分線的重要性質1.垂直平分線(中垂線)上任一點到線段的兩端點等距離。2.與線段兩端點等距離的點在它的垂直平分線上。(三)角平分線的重要性質1.角平分線(分角線)上任一點到角的兩邊等距離。2.與角的兩邊等距離的點在它的角平分線上。(四)角平分線與平行線的關係1.如圖一，(1)。 (2)。2.如圖二，。3.如圖三，。圖一 圖二 圖三 三、三角形的外心、內心與重心(一)三角形的外心1.定義：三角形三邊垂直平分線的交點，稱為外心。2.性質(1)三角形的外心到三頂點等距離。(2)三角形的外心為三角形外接圓的圓心。(3)三角形的外心僅有一個，其位置：如圖一，銳角三角形的外心在三角形的內部。如圖二，鈍角三角形的外心在三角形的外部。如圖三，直角三角形的外心在斜邊的中點上。圖一 圖二 圖三 3.外接圓(1)定義：通過三角形三頂點的圓，稱為外接圓；三角形的外心即為外接圓的圓心。(2)如圖一，。如圖二，。圖一 圖二 (二)三角形的內心1.定義：三角形三內角平分線的交點，稱為內心。2.性質(1)三角形的內心到三邊等距離。(2)三角形的內心為三角形內切圓的圓心。(3)三角形的內心僅有一個，且恆在三角形的內部。(4)。(5)。(6)。(7)。3.內切圓：與三角形三邊相切的圓，稱為內切圓；三角形的內心即為內切圓的圓心。(三)三角形的重心1.中線與中點連線性質(1)三角形頂點和對邊中點的連線稱為中線。(2)三角形的中線將三角形分為兩個等積三角形。(3)三角形兩邊中點的連線必平行第三邊，且其長等於第三邊長的一半。(4)過三角形一邊中點而與另一邊平行的直線，必通過第三邊中點。2.重心定義：三角形三邊中線的交點，稱為重心或幾何中心。3.性質(1)三角形重心只有一個，且恆在三角形的內部。(2)三角形重心到頂點的距離為該中線長的。如圖：。(3)重心到三頂點將原三角形分為三個等積三角形。如圖：。(4)三中線分原三角形為六個等積三角形。如圖：。(四)相關重要性質1.特殊三角形的邊角關係(1)。(2)。2.直角三角形(1)。(2)