第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（小学组）试题与答案.doc

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学组)总 分装学校 年级 姓名 准考证号 1订线第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）（时间: 2010年4月10日10:0011:30）一、填空题（每小题 10分，共80分）1.在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球.2.有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒，共有 种不同价格.3.汽车A从甲站出发开往乙站, 同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站, 途中A与B相遇20分钟后再与C相遇. 已知 A、B、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km.4.将和这6个分数的平均值从小到大排列, 则这个平均值排在第 位.5.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为 ，这些“好数”的最大公约数是 .6.右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成, 这个立体图形的表面积为 .7.数字卡片“3”、 “4”、 “5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有 张是卡片“3”.8.若将算式的值化为小数，则小数点后第1个数字是 .二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程)9.右图中有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板. 问能用这5个硬纸板拼成右图中45的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由.10.长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？11.足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分. 若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？12.华罗庚爷爷出生于1910年11月12日. 将这些数字排成一个整数, 并且分解成, 请问这两个数1163和中有质数吗? 并说明理由.三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）E1ABCDEFA1B1D1F1C113.右图中，六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米. 已知ABC，BCD，CDE，DEF，EFA，FAB的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米. 求六边形的面积. 装订线14.已知两位自然数“”能被它的数字之积整除，求出“”代表的两位数3第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学组）一、 填空题（每小题 10分，共80分）题号12345678答案173194255223，33234二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程)（图A）9. 答案：不能！理由如下：假设能拼成45的长方形，如图A小方格黑白相间染色。其中黑格、白格各10个。（图B）将五块纸板编号，如图B所示，除纸板之外，其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格，而盖住3个黑格或一个黑格。这样一来，由4个11的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板，只能盖住9或11个黑格，与10个黑格不符！10. 答案：28， 解：（1）易知 红线与蓝线重合的条数是 ；红线与黑线重合的条数是 ；蓝线与黑线重合的条数是 ； 红线、蓝线、黑线都重合的条数是 ； 由红线7条，蓝线11条，黑线17条确定的位置的个数是 . 因此，依不同位置的线条锯开一共得到 （段）. （2）最小公倍数 . 因此，将木棍等分成72段时，至少有一段是在上述红、蓝、黑线的某两条之间，并且再短（段数更多）时就做不到了. 所以锯得的木棍最短的一段的长度是.11. 答案：5，7. 解：设，五队的总分分别是，五队的总分为，则.五队单循环共比赛10场，则.如果有一场踢平，则总分减少1分.因为， ， ， ，所以比赛至少有3场平局，至多有5场平局.所以，即.故.事实上，队胜，负于队，与踢平时，；队胜，负于，但与、踢平时，.所以队至少得5分，至多得7分.12. 答案：1163是质数.解：1163是质数,理由如下:（1）显然16424是大于2的偶数,是合数.（2）如果1163是合数,但不是完全平方数,则至少有2个不同的质因数,因为,所以,如果1163有3个以上不同的质因数,必有一个小于11.但是显然2,3,5,7都不能整除1163,11也不能整除1163,因此1163仅有2个不同的大于11的质因数.大于11的质数是:13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101.既然,1163的两个不同的质因数一定有一个小于37,另一个大于11.计算；.所以1163是质数.三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）13. 答案：670.解：如图，已知ABC，BCD，CDE，DEF，EFA，FAB的面积都等于335平方厘米，它们面积之和为平方厘米=六边形ABCDEF的面积。E1ABCDEFA1B1D1F1C1(1)(2)(3)(4)(5)(8)(9)(10)(12)(6)(11)(7)因此，未被盖住的六边形的面积=重叠部分的面积= .另一方面,在ABC中, , 在BCD中, , 在CDE中, , 在DEF中, , 在EFA中, , 在FAB中, ,上述6个式子相加，得 即 所以 因此, 六边形的面积 =670(平方厘米).14. 答案：11，12，15，24，36. 解：两位自然数共有90个，一个一个地去试算检验它是不是满足条件，工作量太大，显然需要开动脑筋，缩小试算范围. 设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为，. 显然a, b不等于0. 因为，能被整除意味着能被a整除且能被b整除. 如果能被a整除，说明b能被a整除；如果能被b整除，说明10a能被b整除. 这就是说，数字a，b同时要满足两个条件：（1）a整除b，（2）b整除10a。 对满足这两个条件的a，b，进行试算，可以缩小试算的范围。 若a1，则10能被b整除，b的可能值为1，2，5，这时11，12，15，它们符合条件； 若a2，则b是偶数，且20能被b整除，b的可能值是2，4. 经检验后知只有24满足条件； 若a3，则b是3的倍数，且3