第四章回归分析new.doc

第四章 回归分析4.4 某建材实验室再作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x（kg）对28天后的混凝土抗压强度y()的影响，测得如下数据15016017018019020021022023024025026056.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7（1）求y对x的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加1公斤水泥时，可提高的抗压强度是多少？（2）检验线性回归方程效果的显著性（）；（3）求回归系数的区间估计（）；（4）求时，的预测值及预测区间。解：1.计算结果（1）一元线性回归模型：只有一个解释变量 Y为被解释变量，X为解释变量，与为待估参数， 为随机干扰项。用普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）估计和记上述参数估计量可以写成： 带入数字得：所以求得的回归方程为：y=10.283+0.304x，即 x每增加一个单位，y相应提高0.304（2）回归方程的显著性检验：总体平方和,简记为S总或Lyy回归平方和,记为S回或U残差平方和,记为S残或Qe SST=SSE(Qe)+SSR(U)对总体参数提出假设 H0： b1=0， H1：b10F检验：因为所以，拒绝原假设。T检验：因为|t|2.2281,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响。线性关系的显著性检验：代入数据得：r=0.999拒绝原假设，即X与Y有显著的线性相关关系对总体参数提出假设 H0： b0=0， H1：b00因为|t|2.2281,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响 (3)回归系数的区间估计，构造统计量(1-a)的置信度下, 的置信区间是 得出：1的95%的置信区间为-0.295，-0.313。（4）求预测值代入数据计算得：当x=22.5时，y=17.123求预测区间构造统计量其中：从而在1-a的置信度下， Y0的置信区间为 代入数据计算得：95%置信度的预测区间为 15.43 18.815 (2)SPSS软件运行结果：根据数据的散点图为：由上图可知，x与y基本成线性关系。建立线性模型，进行相关检验：模型摘要模型R修正后的估计的学生残差1.999(a).998.998.489162a 自变量, xb 因变量: y由上表可以看出相关系数R接近于1，y和x的线性关系显著。方差分析表模型 平方和自由度平均平方值F值P值1回归平方和1321.42711321.4275522.521.000(a)残差平方和2.39310.239 总平方和1323.82011 a 自变量, xb 因变量: y由方差分析表可见，F值很大，伴随概率p很小，说明回归方程通过F检验，及回归方程非常显著 =2.393/（12-2）=0.239 线性回归分析的系数模型 非标准化系数标准化系数T值P值95% 系数的置信区间 学生残差 下限上限r1常数项10.283.850 12.092.0008.38812.178 x.304.004.99974.314.000.295.313a 因变量: y（1）y对x的线性回归方程，由上图可得回归方程：y=10.28+0.304x。p很小，通过T检验。说明x对y有显著影响。X增加一个单位y相应提高0.304。（2）回归方程效果的显著性，以上的R检验、F检验和t检验，已证明。（3）1的95%的置信区间为-0.295，-0.313。（4）计算后的数值表：xy预测值预测值误差预测值均数的标准误差预测下限预测上限15056.955.8811.0190.26655.28956.47316058.358.921-0.6210.23258.40459.43817061.661.96-0.360.20161.51262.40918064.665-0.40.17464.61265.38919068.168.040.060.15467.69768.38320071.371.080.220.14370.76271.39821074.174.12-0.020.14373.80274.43822077.477.160.240.15476.81777.50323080.280.200.17479.81180.58824082.683.24-0.640.20182.79183.68825086.486.2790.1210.23285.76286.79626089.789.3190.3810.26688.72789.91122.5.17.123.0.7615.4318.815从上表查得，当x=22.5时，y=17.12395%置信度的预测区间为 15.43 18.815 4.5假设x是一可控变量，y是一随机变量，服从正态分布，现在不同的x值下分别对y进行观测，得如下数据，x0.250.370.440.550.600.620.680.700.73y2.572.312.121.921.751.711.601.511.50x0.750.820.840.870.880.900.951.00y1.411.331.311.251.201.191.151.00(1) 假设x与y之间有线性关系，求y对x的经验回归方程，并求的无偏估计；(2) 求回归系数；(3) 检验x和y之间的线性回归方程是否显著（）；(4) 求y的0.95预测区间；(5) 为了把观测值y限制在区间（1.08，1.68），需要把x的值限制在和范围之内？（）解：1.计算过程及结果（1）一元线性回归模型：只有一个解释变量 Y为被解释变量，X为解释变量，与为待估参数， 为随机干扰项。用普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）估计和记上述参数估计量可以写成： 带入数字得：所以求得的回归方程为：y=3.033-2.070x可以证明，的最小二乘估计量为它是关于的无偏估计量，也称为剩余方差（残差的方差）。 代入数据得：（2）由于是得到:(1-a)的置信度下的置信区间是 再由，还可得的置信水平为的置信区间这里, 代入数据得到，0的95%的置信区间为2.951，3.116；1的95%的置信区间为-2.183，-1.957；的95%的置信区间为Qe/X21-/2(n-2),Qe/X2/2(n-2)=0.03/27.488,0.03/6.262=0.0011,0.0048（3）回归方程的显著性检验：总体平方和,简记为S总或Lyy回归平方和,记为S回或U残差平方和,记为S残或Qe SST=SSE(Qe)+SSR(U)对总体参数提出假设 H0： b1=0， H1：b10F检验：因为所以，拒绝原假设。T检验：因为|t|2.1315,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响。线性关系的显著性检验：代入数据得：r=0.995拒绝原假设，即X与Y有显著的线性相关关系对总体参数提出假设 H0： b0=0， H1：b00因为|t|2.1315,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响（4）其中（5）因代入数据得2.SPSS软件运行结果根据数据得到散点图：由上图可知，x与y基本成线性关系。建立线性模型，进行相关检验：模型摘要模型R修正的估计的学生误差1.995(a).990.990.04454a 自变量： x由上表可以看出相关系数R接近于1，y和x的线性关系显著。线性回归分析的系数模型 非标准化系数标准化系数T值P值95% 系数的置信区间 学生残差 下限上限r1常数项3.0330.039 78.354.0002.9513.116 x-2.0700.053-0.995-39.139.000-2.183-1.957由上图可得回归方程：y=3.033+(-2.070)x。p很小，通过T检验。说明x对y有显著影响。方差分析表模型 平方和自由度平均平方值F值P值1回归平方和3.03913.0391531.867.000(a)残差平方和0.030150.002 总平方和3.06916 a 自变量, xb 因变量: y由方差分析表可见，F值很大，伴随概率sig.p很小，说明回归方程通过F检验，及回归方程非常显著（2）线性回归分析的系数模型 非标准化系数标准化系数T值P值95% 系数的置信区间 学生残差 下限上限r1常数项3.0330.039 78.354.0002.9513.116 x-2.0700.053-0.995-39.139.000-2.183-1.957a.因变量：y由上表可以看出0的95%的置信区间为2.951，3.116；1的95%的置信区间为-2.183，-1.957；2的置信区间为Qe/X21-/2(n-2), Qe/X2/2(n-2)=0.030/27.488,0.030/6.262=0.0011,0.0048（3）回归方程的显著性已在（1）中证明。（4） 回归分析的描述性统计量N最小值最大值平均值标准差xvalid N17170.251.000.70290.21056由上表可以得到标准差为0.21056，可以得到=nx2=17*(0.21056)2=0.7103， 的置信度为95%预测区间为 4.7某种商品的需求量y,消费者的平均收入以及商品的价格的统计数据如下表10006001200500300400130011001300300576687543910075807050659010011060求y对、的回归方程。解：线性回归分析的系数模型 非标准化系数标准化系数T值P值95% 系数的置信区间 学生残差 下限上限r1常数项111.69223.531 4.7470.00256.050167.333 消费者平均收入x10.0140.0110.3061.284.240-0.0120.041商品价格x2-7.1882.555-0.670-2.8130.026-13.231-1.146a.因变量：商品的需求y由上图可知，得到回归方程：。从