浙江省杭州市高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

2015年浙江省杭州市高 考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的是（） a b y=cosx c y=ex d y=ln|x|2命题“存在x0r，2x00”的否定是（） a 不存在x0r，2x00 b 存在x0r，2x00 c 对任意的xr，2x0 d 对任意的xr，2x03设等比数列an的各项均为正数，若+=+，+=+，则a1a5=（） a 24 b 8 c 8 d 164设函数y=sinax+b（a0）的图象如图所示，则函数y=loga（x+b）的图象可能是（） a b c d 5设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于b，c两点，点a（m，n）位于函数y2的图象上，若abc为正三角形，则m2n=（） a 8 b 12 c 12 d 156已知abca1b1c1是所有棱长均相等的直三棱柱，m是b1c1的中点，则下列命题正确的是（） a 在棱ab上存在点n，使mn与平面abc所成的角为45 b 在棱aa1上存在点n，使mn与平面bcc1b1所成的角为45 c 在棱ac上存在点n，使mn与ab1平行 d 在棱bc上存在点n，使mn与ab1垂直7设p是双曲线c：=1（a0，b0）右支上的任意一点，已知a（a，b），b（a，b），若=+（o为坐标原点），则2+2的最小值为（） a ab b c ab d 8设f0（x）=|x|10，fn（x）=|fn1（x）|1（nn*），则函数y=f20（x）的零点个数为（） a 19 b 20 c 21 d 22二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每题4分，共36分）9设集合（x，y）|（x1）2+（y2）210所表示的区域为a，过原点o的直线l将a分成两部分，当这两部分面积相等时，直线l的方程为；当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为，此时直线l落在区域a内的线段长为10若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于，体积等于11设直线l：y=kx+1经过抛物线x2=2py（p0）的焦点f，则p=；已知q，m分别是抛物线及其准线上的点，若=2，则|mf|=12设非负实数x，y满足（m0），则不等式所表示的区域的面积等于（用m表示）；若z=2xy的最大值与最小值之和为19，则实数m=13在正四面体abcd中，m是ab的中点，n是棱cd上的一个动点，若直线mn与bd所成的角为，则cos的取值范围是14在abc中，|=3，|=5，m是bc的中点，=（r），若=+，则abc的面积为15已知单位正方形的四个顶点a（0，0），b（1，0），c（1，1）和d（0，1），从a点向边cd上的点p（，1）发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），直到经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinasinc=sin（ab）（）若b=2，求abc的面积；（）若1a6，求sinc的取值范围17如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为等腰梯形，且满足abcd，ad=dc=ab，pa平面abcd（1）求证：平面pbd平面pad；（2）若pa=ab，求二面角apdc的余弦值18已知椭圆c：+=1（ab0）的左焦点为f（c，0），点d（0，b），直线df的斜率为（）求椭圆c的离心率；（）设过点f的直线交椭圆于a，b两点，过点p（4c，0）作与直线ab的倾斜角互补的直线l，交椭圆c于m，n两点，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，说明理由19数列an与bn满足：a1=a0，b1=b0，当k2时，若ak1+bk10，则ak=ak1，bk=；若ak1+bk10，则ak=，bk=bk1（）若a=1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（）设sn=（b1a1）+（b2a2）+（bnan），求sn（用a，b表示）；（）若存在nn*，对任意正整数k，当2kn时，恒有bk1bk，求n的最大值（用a，b表示）20设a0，b0，函数f（x）=ax2bxa+b（）（i）求不等式f（x）f（1）的解集； （ii）若f（x）在0，1上的最大值为ba，求的取值范围；（）当x0，m时，对任意的正实数a，b，不等式f（x）（x+1）|2ba|恒成立，求实数m的最大值2015年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的是（） a b y=cosx c y=ex d y=ln|x|考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数的单调性、奇偶性的定义逐项判断即可解答： 解：y=在（0，+）上递增，但不具有奇偶性，排除a；y=cosx为偶函数，但在（0，+）上不单调，排除b；y=ex在（0，+）上递增，但不具有奇偶性，排除c；y=ln|x|的定义域为（，0）（0，+），关于原点对称，且ln|x|=ln|x|，故y=ln|x|为偶函数，当x0时，y=ln|x|=lnx，在（0，+）上递增，故选d点评： 本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决问题的基本方法2命题“存在x0r，2x00”的否定是（） a 不存在x0r，2x00 b 存在x0r，2x00 c 对任意的xr，2x0 d 对任意的xr，2x0考点： 命题的否定专题： 简易逻辑分析： 直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可解答： 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x0r，2x00”的否定是：对任意的xr，2x0故选：d点评： 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查3设等比数列an的各项均为正数，若+=+，+=+，则a1a5=（） a 24 b 8 c 8 d 16考点： 等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 化简整理利用等比数列的通项公式即可得出解答： 解：+=+，等比数列an的各项均为正数，a1a2=4，同理可得：a3a4=16q4=4，解得，则a1a5=4q3=8故选：c点评： 本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题4设函数y=sinax+b（a0）的图象如图所示，则函数y=loga（x+b）的图象可能是（） a b c d 考点： 正弦函数的图象专题： 三角函数的图像与性质分析： 根据条件求出a、b的范围，可得函数y=loga（x+b）的单调性以及图象经过的定点，结合所给的选项得出结论解答： 解：有函数的图象可得0b1，=2，0a1故函数y=loga（x+b）为减函数，且图象经过点（1b，0），（0，logab），logab0结合所给的选项，故选：c点评： 本题主要考查函数y=asin（x+）的图象特征，对数函数的图象和性质，属于基础题5设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于b，c两点，点a（m，n）位于函数y2的图象上，若abc为正三角形，则m2n=（） a 8 b 12 c 12 d 15考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 根据题意，设出a、b、c的坐标，由线段bcy轴，abc是等边三角形，得出ab、ac与bc的关系，求出p、q的值，计算出结果解答： 解：根据题意，设a（m，n），b（x0，log2x0），c（x0，2+log2x0），线段bcy轴，abc是等边三角形，bc=2，2+log2m=n，m=2n2，4m=2n；又x0m=，m=x0，x0=m+；又2+log2x0n=1，log2x0=n1，x0=2n1=；m+=；2m+2=2n=4m，m=，2n=4；m2n=4=12；故选：b点评： 本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，是较难的题目6已知abca1b1c1是所有棱长均相等的直三棱柱，m是b1c1的中点，则下列命题正确的是（） a 在棱ab上存在点n，使mn与平面abc所成的角为45 b 在棱aa1上存在点n，使mn与平面bcc1b1所成的角为45 c 在棱ac上存在点n，使mn与ab1平行 d 在棱bc上存在点n，使mn与ab1垂直考点： 棱柱的结构特征专题： 空间位置关系与距离分析： 根据题意画出图形，如图所示，连接a1m，am，根据直三棱柱得到侧棱与底面垂直，在直角三角形aa1m中，利用锐角三角函数定义求出tanama1的值，判断出ama1与45大小判断即可解答： 解：根据题意画出图形，如图所示，连接a1m，am，由题意得到aa1面a1b1c1，aa1a1m，在rtaa1m中，设aa1=1，则有a1b1=a1c1=b1c1=1，a1m=，tanama1=1，ama145，则在棱aa1上存在点n，使mn与平面bcc1b1所成的角为45，故选：b点评： 此题考查了棱柱的结构特征，直线与面垂直的性质，锐角三角函数定义，以及正弦函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键7设p是双曲线c：=1（a0，b0）右支上的任意一点，已知a（a，b），b（a，b），若=+（o为坐标原点），则2+2的最小值为（） a ab b c ab d 考点： 双曲线的简单性质专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 确定a，b的坐标，根据=+，确定坐标之间的关系，可得4=1，利用基本不等式，即可得出结论解答： 解：由题意，设p（x，y），则=+，x=（+）a，y=（）bp为双曲线c右支上的任意一点，（+）2（）2=14=12+22=2+2的最小值为故选：d点评： 本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题8设f0（x）=|x|10，fn（x）=|fn1（x）|1（nn*），则函数y=f20（x）的零点个数为（） a 19 b 20 c 21 d 22考点： 根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理专题： 函数的性质及应用分析： 令fn（x）=|fn1（x）|1=0，则|fn1（x）|=1，问题转化为方程|fn1（x）|=1的根的个数，依次递推下去即得结果解答： 解：令fn（x）=|fn1（x）|1=0，则|fn1（x）|=1，即方程fn（x）=0有两个解fn1（x）=1；又fn1（x）=|fn2（x）|1=1，|fn2（x）|=0或者2，所以方程fn（x）=0有3个解：fn2（x）=0或2；又fn2（x）=|fn3（x）|1=0或2，|fn3（x）|=1或3，所以方程fn（x）=0有4个解：fn3（x）=1或3；又fn3（x）=|fn4（x）|1=1或3，方程fn（x）=0有5个解：fn4（x）=0，2或4；又fn4（x）=|fn5（x）|1=0，2或4，方程fn（x）=0有6个解：fn5（x）=1，3或5；又fn5（x）=|fn6（x）|1=1，3或5，方程fn（x）=0有7个解：fn6（x）=0，2，4或6；类似地，最终得出方程fn（x）=0有n+1个解，从而函数y=f20（x）=0有21个解，故选：c点评： 本题考查求函数零点的个数，注意条件中的递推关系，属于中档题二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每题4分，共36分）9设集合（x，y）|（x1）2+（y2）210所表示的区域为a，过原点o的直线l将a分成两部分，当这两部分面积相等时，直线l的方程为2xy=0；当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为x+2y=0，此时直线l落在区域a内的线段长为2考点： 简单线性规划专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用；直线与圆分析： 作出集合（x，y）|（x1）2+（y2）210表示的区域a，再结合直线与圆的位置关系确定直线的方程，并求线段的长度即可解答： 解：集合（x，y）|（x1）2+（y2）210表示的区域a如下，故过圆心e（1，2）时，两部分面积相等；此时直线l的方程为y=x，即2xy=0；当直线l与oe垂直时，两部分面积之差最大；此时直线l的方程为y=x；即x+2y=0；此时与圆相交于c、d两点，co=；故cd=2；故答案为：2xy=0，x+2y=0，2点评： 本题考查了学生的作图能力，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题10若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于，体积等于考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 可以得出空间几何体是如下图：面pad面abcd，pa面abcd，dcad，是 四棱锥，运用空间几何体的性质，求解边长，面积体积，计算准确，可以得出答案解答： 解：某几何体的三视图如图所示可以得出空间几何体是如下图：面pad面abcd，pa面abcd，dcad，pa=4，ad=1，dc=4，运用三视图得出：ac=，ab=，根据这个几何体得出：pb=，pc=，pd=，这个几何体中最长的棱长等于，底面积为：42=5体积为：（4212）4=故答案为：，点评： 本题考查了运用几何体的三视图求解棱长，体积，属于计算题，关键是运用三视图恢复空间几何体的原图11设直线l：y=kx+1经过抛物线x2=2py（p0）的焦点f，则p=2；已知q，m分别是抛物线及其准线上的点，若=2，则|mf|=4考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由直线方程求出直线所过定点的坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，则p可求；作出抛物线图形，数形结合得到|mf|=2p，则答案可求解答： 解：直线l：y=kx+1过定点（0，1），即抛物线x2=2py（p0）的焦点f为（0，1），则p=2；则抛物线方程为x2=4y，如图，=2，|mq|=2|qe|，则emq=30，|mf|=2p=4故答案为：2；4点评： 本题考查了抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题12设非负实数x，y满足（m0），则不等式所表示的区域的面积等于（用m表示）；若z=2xy的最大值与最小值之和为19，则实数m=10考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，利用数形结合即可得到结论解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：当y=0时，x=m，由，解得，即a（，），则三角形oab的面积s=（m）（）=，由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点a（，）时，直线y=2xz的截距最大，此时z最小即最小值z=2（）（）=，当直线y=2xz经过点b（m，0）时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大，即最大值z=2m，z=2xy的最大值与最小值之和为19，2m+=19，即m=10故答案为：，10点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出相应的交点坐标是解决本题的关键13在正四面体abcd中，m是ab的中点，n是棱cd上的一个动点，若直线mn与bd所成的角为，则cos的取值范围是考点： 直线与平面所成的角专题： 空间角分析： 首先当n点与c点重合时，线段mn与bd所成的角最大，进一步利用解三角形知识利用余弦定理求出角的余弦值当n点与c点重合时，线段mn与bd所成的角最大，直接在mbd中，线段md与bd所成角为30，求出夹角的余弦值最后求出角的余弦值的范围解答： 解：在正四面体abcd中，m是ab的中点，n是棱cd上的一个动点，则：当n点与c点重合时，线段mn与bd所成的角最大，设：正四面体的边长为2，取ad的中点，连接mn、ng，利用勾股定理得：cm=，m、g是ab和ad的中点，所以：mg=1，同理解得：cg=，在cmg中，利用余弦定理得：，即：所成角的余弦值最小为当n点与c点重合时，线段mn与bd所成的角最大，连接dm，在mbd中，线段md与bd所成角为30，所以：cos，即所成角的余弦值最大为所以：cos的范围为：故答案为：点评： 本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的应用能力和空间想象能力14在abc中，|=3，|=5，m是bc的中点，=（r），若=+，则abc的面积为考点： 平面向量的基本定理及其意义专题： 平面向量及应用分析： 在abc的顶点a作边bc的垂线bo，垂足为o，这样可表示出cosb=，cosc=，从而得到，而根据已知条件及中线向量的表示即可得到，所以便得出o是bc的中点，即m，o重合所以在rtabm中可以求出sinb，所以根据三角形的面积公式可求出abc的面积解答： 解：如图所示，过a作边bc的垂线，垂足为o，则：cosb=，cosc=；根据题意知0；即o是边bc的中点，m与o重合；在rtabm中，；故答案为：点评： 考查余弦函数的定义，向量加法的平行四边形法则，以及直角三角形三边的关系，三角形的面积公式：s=15已知单位正方形的四个顶点a（0，0），b（1，0），c（1，1）和d（0，1），从a点向边cd上的点p（，1）发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），直到经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为5考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程专题： 直线与圆分析： 由题意，画出图形，根据入射光线和反射光线的对称性以及正方形的性质得到i，j的坐标，利用两点之间的距离公式可得解答： 解：从a点向边cd上的点p（，1）发出一束光线，经过各边发射后最后由b点射出，如图，因为已知是单位正方形，这束光线在正方形内经过的路程如图，由对称性可以得到op=fi=he=fj=，所以这束光线在正方形内经过的路程的长度为=5；故答案为：5点评： 本题考查了点关于直线的对称以及两点之间的距离公式的运用；关键是画出图形三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinasinc=sin（ab）（）若b=2，求abc的面积；（）若1a6，求sinc的取值范围考点： 余弦定理；两角和与差的余弦函数专题： 解三角形分析： （）由两角和与差的余弦函数公式化简已知可得cosb=，由余弦定理可解得a的值，由三角形面积公式即可求值（）当a=31，6时，可求sinc=1，当a=1时，由余弦定理和正弦定理可得sinc=，当a=6时，abc为等边三角形，则sinc=，即可求得sinc的取值范围解答： 解：（）sinasinc=sin（ab），sina=sinc+sin（ab）=sin（a+b）+sin（ab）=sinacosb+cosasinb+sinacosbcosasinb=2sinacosb，cosb=，由余弦定理可得（2）2=a2+6212acos，即a26a+8=0，解得a=2或a=4当a=2时，abc的面积s=acsinb=26sin=3；当a=4时，abc的面积s=acsinb=46sin=6；8分（）当a=31，6时，sinc=1，当a=1时，b2=a2+c22accosb=1+362=31，b=，于是，从而：sinc=，当a=6时，abc为等边三角形，则sinc=，因为，从而得到sinc的取值范围是：，115分点评： 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，考查了余弦定理和正弦定理的综合应用，属于基本知识的考查17如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为等腰梯形，且满足abcd，ad=dc=ab，pa平面abcd（1）求证：平面pbd平面pad；（2）若pa=ab，求二面角apdc的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面pbd平面pad；（2）根据二面角的定义先作出二面角的平面角，进行求解即可解答： 证明：（1）取ab的中点e，连接ce，则由题意知，bce为正三角形，abc=60，由等腰梯形知bcd=120，设ad=dc=bc=2，则ab=4，bd=2，故ad2+bd2=ab2，即得adb=90，则adbd，pa平面abcd，pabd，bd平面pad，bc平面pbd，平面pbd平面pad；（2）在平面abcd中，过c作chbd，交ad的延长线于h，由（1）知，bd平面pad，ch平面pad，则chpd，在平面pad中，过点h作hgpd，交pd的延长线于g，连接cg，则pg平面hgc，pggc，则hgc为二面角apdc的平面角，在直角三角形chd中，cd=2，cdh=60，ch=，rtpadrthgd，gh=，在rtghc，gc=，则cosghc=，则二面角apdc的余弦值为点评： 本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间二面角的求解，利用定义法是解决空间二面角的常用方法本题也可以使用向量法进行求解18已知椭圆c：+=1（ab0）的左焦点为f（c，0），点d（0，b），直线df的斜率为（）求椭圆c的离心率；（）设过点f的直线交椭圆于a，b两点，过点p（4c，0）作与直线ab的倾斜角互补的直线l，交椭圆c于m，n两点，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，说明理由考点： 椭圆的简单性质专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）运用直线的斜率公式和离心率公式，结合a，b，c的关系，即可得到；（）设直线ab：x=tyc，直线mn：x=ty4c，设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4），将直线方程分别代入椭圆方程，运用韦达定理，再由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值解答： 解：（）由题意可得，kdf=，a=2c，则椭圆的离心率为e=；（）设直线ab：x=tyc，直线mn：x=ty4c，设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4），将直线x=tyc代入椭圆方程+=1，可得（3t2+4）y26tcy9c2=0，则y1y2=，再将直线x=ty4c代入椭圆方程+=1，可得（3t2+4）y2+24tcy+36c2=0，则y3y4=，即有=故为定值点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及两点的距离公式的运用，正确设出直线方程是解题的关键19数列an与bn满足：a1=a0，b1=b0，当k2时，若ak1+bk10，则ak=ak1，bk=；若ak1+bk10，则ak=，bk=bk1（）若a=1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（）设sn=（b1a1）+（b2a2）+（bnan），求sn（用a，b表示）；（）若存在nn*，对任意正整数k，当2kn时，恒有bk1bk，求n的最大值（用a，b表示）考点： 数列的应用专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： （）由题意可直接写出答案；（）分情况计算bkak，得bkak是以b1a1=ba为首项，为公比的等比数列，从而可得sn；（）由bk1bk，数列an与bn满足的关系倒推出对任意正整数k，当2kn时，恒有ak=a，结合（）知，解之即可解答： 解：（）a2=1，b2=0，a3=，b3=0；（）=，=，无论是ak1+bk10，还是ak1