陕西省汉中市陕飞一中九年级数学下册 28.2 解直角三角形教案2 （新版）新人教版.doc

解直角三角形【探究目标】1目的与要求 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题2知识与技能 能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题3情感、态度与价值观 通过解直角三角形的应用，培养学生学数学、用数学的意识和能力，激励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物【探究指导】教学宫殿在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如下图：角角关系：两锐角互余，即a+b90；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)这两种情形的共同之处：有一条边因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，如没有特殊要求外，边长保留四个有效数字，角度精确到1例1 在abc中，c90，根据下列条件解直角三角形(1)c10，b45，求a，b，a；(2)，求c，a，b思路与技巧 求解直角三角形的方法多种多样，如(1)可以先求a或b，也可以先求a，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据解答 (1)a90-4545(2)所以例2 如图，cd是rtabc斜边上的高，,求ac，ab，a，b(精确到1)思路与技巧 在rtabc中，仅已知一条直角边bc的长，不能直接求解注意到bc和cd在同一个rtbcd中，因此可先解这个直角三角形 解答 在rtbcd中用计算器求得 b5444于是a90-b3516在rtabc中，例3 气象台测得台风中心在某港口a的正东方向400km处，正在向正西北方向转移，距台风中心300km的范围内将受其影响，问港口a是否会受到这次台风的影响?思路与技巧 如图1948，就是要求出a到台风移动路线bc的距离是否大于300km，rtabc中，acb90，abc45，ab400km，是ac可求解答 在rtabc中，由于所以acabsinabc400sin45所以港口a将受到这次台风的影响例4 如图，两幢建筑物的水平距离为565m，从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物的底部的俯角是42，从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是22，求这两幢建筑物的高度(精确到01m)思路与技巧 如图，ab、cd表示两幢建筑物，abbd，cdbd，bd565m，根据俯角、仰角的意义，dae42，acf22，于是rtabd、rtacf都可解解答 在rtabd中，adbdae42bd56.5(m)abbdtanadb56.5tan4250.9(m)在rtacf中，afcftanacf=56.5tan2222.8(m)所以cdab-af28.1(m)答：两幢建筑物的高度分别为50.9m，28.1m例5 如图，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由原来的1：2改为1：25，已知坝高6m，坝长50m求：(1)加宽部分横断面afeb的面积；(2)完成这一工程需要多少土方?思路与技巧 只须求出梯形afeb的下底eb的长，作agbc，fheb，垂足分别为g、h，根据坡度的意义，可以求出坡ab、坡ef的水平长度解答 (1)作agbc，fheb，垂足分别为g、h，由题意得hgaf2(m)agfh6(m)在rtabg中，因为所以bg2612(m)在rtfeh中，因为所以eh25615(m)所以ebeh+hg-bg15+2-125(m)所以答：加宽部分横断面afeb的面积为，完成这一工程需要1050方土例6 海上有两条船，甲船在乙船的正南方向，甲船以每小时40海里的速度沿北偏东60方向航行，乙船沿正东方向以每小时20海里的速度航行，问两船会不会相撞?为什么?思路与技巧 根据题意画出图形，如图1951，可知甲、乙两船的路线可能会成为直角三角形中60所对的直角边和斜边，两船同时出发，在相同的时间内所走路程的比如果正好等于60的正弦就会相撞，否则不会解答 如图，因为乙船的速度为每小时20海里，甲船的速度为每小时40海里，所以乙船与甲船所走路程的比为1：2又所以不会发生相撞例7 某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树ab在地面上事先划定以b为圆心，半径与ab等长的圆形危险区，现在某工人站在离b点3m远的d点测得树的顶部a点的仰角为60，树的底部b的仰角为30，如图1952，问距离b点8m远的保护物是否在危险区内?思路与技巧 本题的实质是要计算大树的高度，如果大于8m，说明保护物在危险区内，否则不在由于大树不在哪一个直角三角形中，根据条件，过c作ceab，则可把ab放在rtace和rtbce中进行求解解答 过c作ceab，垂足为e.由题意可知，cedb3m在rtceb中，在rtace中，所以abae+be5.196+1.7326.928(m)8(m)所以距离b点8m远的保护物不在危险区域内【探究活动】提出问题 运用解直角三角形的知识可以解斜三角形(锐角三角形或钝角三角形)吗?探究准备 锐角abc(已知b，a和c)钝角abc(已知a，c，b)(a，b，c的对边为a，b，c)如图探究过程 直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据，它们只有在直角三角形中才成立，因此要想用它们来解斜三角形，必须把斜三角形转化为直角三角形，转化的方法一般是作高，如图1953甲可以作adbc于d，这样构造了两个直角三角形rtabd和rtacd，rtacd中，cdcosc，adsinc，因为bca，所以bd-cosc，在rtabd中，得出b，进而求出a180-b-c，同样方法，图乙中，可以过c作cdab于d，先解rtacd再解rtcdb探究评析 “化斜为直”是运用解直角三角形的知识解斜三角形的根本方法，其做法是通过作斜三角形的一条高，把斜三角形化为两个直角三角形，再根据条件分别在两个直角三角形中做文章例8 如图，公路上a、b两处相距lkm，测得城镇c在a处的北偏东35方向，在b处的北偏西40方向求城镇c到a处、b处的距离分别是多少?思路与技巧 弄清楚两个方向角是解决问题的第一步，根据题意135，240,ablkm，发现abc不是直角三角形，故通过“化斜为直”转化，作cdab于d，如图1955，则acdl35，bcd240，但是rtacd与rtbcd都无法直接求解，因而可利用cd是这两个直角三角形的公共边以及ad+dbablkm的条件，设