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球面上l a p l a c e 方程优化区域分解算法 摘要 本文主要研究求解球面_ l ：l a p l a c e 方程边值问题的区域分解算法讨论了两子 域、多子域的重叠与非重叠区域分解算法包括d i r i c h l e t 。n e u m a m l 算法、n e u m a n n - d i r i c h l e t 算法、n e u m a n n - n e u m a n n 算法、优化s c h w a r z 算法研究了算法的收敛性 和有限步终止性 对于球面上的l a p l a c e 方程边值问题，通过笛卡儿坐标到球极坐标的转换可得 到球极坐标下相应的边值问题此时可用分离变量法得到通解由此，采用f o u r i e r 变 换，将问题转化为一系列变系数常微分方程并依此得到两个基本解 在球极坐标下，将球面按纬度分解为两个非重叠子区域在此分解下，讨论了 两子域非重叠d i r i c h l e t n e u m a n n 交替算法和n e u m a n n - d i r i c h l e t 交替算法以及带松 弛因子的d i r i c h l e t n e u m a n n 、n e u m a n n d i r i c h l e t 、n e u m a n n - n e u m a n n 并行算法 得到了最优松弛因子估计和算法的两步收敛性对于重叠型算法，通过引入r o b i n i 勾 边界传输条件对古典s c h w a r z 算法进行加速，得到了优化s c h w a r z 算法同样得到 了算法的两步收敛性上述分析可推广至三子域情形，同样也得到了算法的有限 步终止性 本文通过数值实验对区域分解算法进行数值分析，在数值计算中，利用球极 坐标下函数f o u r i e r 系数的对称约束性质，构造了相对于一致差分网格移动半个网 孔的差分网格，从而避开球面上极点处的奇异性质建立了方程的两阶和四阶中 心差分格式在此基础上考察了古典s c h w a r z 算法和各种优化区域分解算法的收敛 性质，验证了优化区域分解算法 关键词：区域分解；球极坐标；l a p l a c e 方程；最优s c h w a r z 算法 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t ev a r i o u so p t i m i z e dd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ss o l v i n gt h eb o u n d a r yp r o b l e mo fl a p l a c ee q u a t i o nd e f i n e do nt h es u r f a c eo fa s p h e r e d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s ，i n c l u d i n gd i r i c h l e t n e u m a n n ，n e u m a n n d i r i c h l e t ，n e u m a n n n - n e u m a n nm e t h o da n ds oo n ，w i t hao v e r l a po rn o ta r ed i s c u s s e df o rt h ec a s eo ft w os u b d o m a i n so rm o r et h a nt w os u b d o m a i n s c o n v e r g e n c e a n dt h ef i n i t e - s t e pc o n v e r g e n c eo ft h em e t h o da r eo b t a i n e d b yt h eo n eo ft h ec o o r d i n a t e st r a n s f o r m a t i o nf r o md e s c a r t e sc o o r d i n a t e st o s p h e r i c a lc o o r d i n a t e s ，t h eb o u n d a r yp r o b l e mo fl a p l a c ee q u a t i o nd e f i n e do nt h e s u r f a c eo fas p h e r e ，c a nb es o l v e db ys e p a r a t ev a r i a b l em e t h o d s ，a n dt h e nt h e g e n e r a ls o l u t i o nc a nb eo b t a i n e d h e n c e ，b ye x p a n d e di naf o u r i e rs e r i e s ，t h e p r o b l e me a r lb et r a n s f o r m e di n t oaf a m i l yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d t h e r e b yt w of u n d a m e n t a ls o l u t i o n se a r lb ec o n s t r u c t e d i nt h ec a s eo ft w os u b d o m a l n s ，t h es u b d o m a l n sa r ed e c o m p o s e db yl a t i t u d e n o n o v e r l a p p i n gd i r i c h l e t - n e u m a n na l t e r n a t em e t h o d ，n e u m a n n d i r i c h l e t a l t e r n a t em e t h o d ，a sw e l la sw a v e f o r mr e l a x a t i o n sn e u m a n n n e u m a n nm e t h o d ， n e u m a n n - d i r i c h l e tm e t h o d d i r i c h l e t - n e u m a n nm e t h o d a r ed i s c u s s e d c o n v e r - g e n c er a t e so ft h e s em e t h o d sa r ee s t i m a t e da n dt w o - s t e pc o n v e r g e n c ei so b t a i n e d a sf o ro v e r l a p p i n gm e t h o d s ，b yi n t r o d u c i n gr o b i ni n n e rb o u n d a r yt r a n s m i s s i o n c o n d i t i o n s ，o p t i m i z e dd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o dw h i c hc a na c c e l e r a t et h ec o n - v e r g e n c eo fc l a s s i c a ls c h w a r zm e t h o da r eo b t a i n e d c o n v e r g e n c ea n dt w o - s t e p c o n v e r g e n c eo ft h em e t h o d sa r eo b t a i n e d a b o v er e s u l t sc a nb ee x t e n d e dt ot h e m e t h o d sw i t hm o r et h a nt w os u b d o m a l n s n u m e r i c a la n a l y s i si sp r e s e n t e di nt h ep a p e r i nt h ep r o c e s so fd i s c r e t i z a t i o n ， t h eu n i f o r mg r i di ss h i n e dh a l fm e s ha w a yf r o mt h ep o l e sb yu s i n gt h es y m m e t r y c o n s t r a i np r o p e r t yo ff o u r i e rc o e f f i c i e n to nt h es p h e r e i nt h i sw a y , t h es i n g u l a r i t i e s a tt h ep o l e sc a nb ea v o i d e d b a s e do nt h i s ，t h es e c o n d - a n df o u r t h o r d e rc e n t e r e d d i f f e r e n c eo fs c h e m e sa r ee s t a b l i s h e d n u m e r i c a lr e s u l t si l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s s o ft h eo p t i m i z e dd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sw ep r o p o s e dc o m p a r e dw i t ht h e c l a s s i c a ls c h w a r zm e t h o d s k e yw o r d s ：d o m a i nd e c o m p o s i t i o n ；s p h e r i c a lc o o r d i n a t e s ；l a p l a c e e q u a t i o n ；o p t i m a ls c h w a r zm e t h o d i i i 硕士学位论文 插图索引 图1 1 球极坐标 图2 1 两个可重叠子区域情形 图4 1 三个非重叠子区域 图5 1 古典加性s c h w a r z 法迭代次数与重叠区域大小的关系 图5 2 重叠两子域优化s c h w a r z 法迭代比较 图5 3 非重叠两子域优化n e u m a n n n e u m a n n 法迭代比较 图5 4 非重叠两子域优化d i r i c h l e t - n e u m a n n 法迭代比较 图5 5 三区域优化d i r i c h l e t - n e u m a n n 法迭代比较p 图5 6 三区域优化n e u m a n n n e u m a n n 法迭代比较 图5 7 三区域优化s c h w a r z 法迭代比较 v 0 0；|号卯镐勰约凹 球面_ l = l a p l a c e 方程优化区域分解算法 表5 表5 表5 表5 附表索引 古典加性s c h w a r z 法迭代次数与频度参数m 的关系一 古典加性s c h w a r z 法迭代次数与离散网格参数m 的关系 优化d i r i c h l e t n e u m a n n 法迭代次数与频度参数m 的关系 优化n e u m a n n - n e u m a n n 法迭代次数与频度参数m 的关系 v i 2 5 2 5 2 7 2 7 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：7 为炙日期：出形年r 月 弓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 不保密讲 ( 请在以上相应方框内打“”) 鬟蹴嚣兹摹；岩豸昌 硕士学位论文 1 1 综述 第1 章引言 许多物理问题需要在曲面( 球面) 上求解椭圆型微分方程边值问题如几何球 体上的流体动力学问题，可应用于气候模型( 见文献f 1 ，2 1 ) 、气象预报模型、天体 物理学和反应堆设计等很多领域近几年由于全球气候变暖，各种灾害天气频频， 各国都越来越关注气候变化的研究作为现代动力气象研究的普遍手段，数值模 拟气候模型的计算发展非常迅速然而全球气候模拟是一种大规模科学计算，计 算机技术的发展现状使得大型并行计算机成为了实验室的主要工具为了充分利用 大型机的性能提高实用效率，就必须将需要求解的模型问题进行分解，将单一的 大规模问题转化为等效的多个小规模问题弗行求解而一般的数值模型的核心往 往是一系列偏微方程问题区域分解算法( 见文献 3 ，4 ) 能将这些偏微方程求解问 题有效的分解成多个子问题求解，且可以很好的适用于并行计算由于求解区域 的特殊性，子问题的求解也应保持相应的特殊结构因此解决好球面上的区域分 解对算法收敛效率的影响将非常有助于提高气象计算的能力 1 9 9 2 年美国国家气象研究中心的技术报告f 5 就二维浅水方程谱变换解法进 行了详细的阐述，这是因为二维浅水方程在数学分析和计算上与模拟大尺度大气 流动的方程的一般形式即气象基本方程有很多相似的地方，可以作为研究各种数 值计算方法的模型方程文献圈中指出，由于作为气象基本方程的二维浅水方 程同时包含高频的重力波解分量和低频的气象解分量，为了满足c f l ( 参见后面引 理1 2 1 1 计算稳定条件，若采用显格式时间离散，时间步长就会受到速度快得多的 重力波的限制因为一般更关心气象解，所以在中长尺度的气象计算中通常采用半 隐格式时间离散，这样可以使用较长的时间步长进行计算而这就导致了对每一 个时间步长都必须求解一个球面上的椭圆型方程2 0 0 1 年m j g a n d e r 等人在文献 f 6 1 中提出了一种一般偏微分方程的优化s c h w a r z 算法对于一般的连续l a p l a c e 方 程和h e l m h o l t z 方程，古典s c h w a r z 算法的收敛率依赖于子区域之间的传输条件由 于古典s c h w a r z 算法中采用的d i r i c h l e t 传输条件使得不同频度的分量收敛率不同， 导致算法整体收敛效率不高甚至发散如对于l a p l a c e 方程边值问题，当区域重叠变 小时算法收敛速度会随之变慢，且当重叠为零时退化为非重叠算法，算法不收敛 而对于h e l m o h l t z 方程，即使对于重叠情形算法也可能发散为此为了改善收敛性 文中采用了优化r o b i n 条件和局部逼近优化r o b i n 条件可以证明，在两区域上使用 最优r o b i n 条件，理论上可以达到两步收敛而实验表明使用局部逼近最优r o b i n 条 件也能大大的加速收敛2 0 0 2 年文献7 1 提出了一种用于求解极坐标和球极坐标 1 球i 面t ：l a p l a c e 方程优化区域分解算法 下p o i s s o n 方程的简单有效解法这是一种基于快速f o u r i e r 变换的直接解法它将 解展开为截断f o u r i e r 级数表达式，并利用球面对称性在移动半网格上使用二阶和 四阶差分离散来计算f o u r i e r 系数结果表明，无论边界采用d i r i c h l e t ，n e u m a n n ， 或是r o b i n 条件都有很好的效果对于m x n 网络点，计算量只有o ( m n l 0 9 2 n ) 在本文中，我们结合f o u r i e r 变换的直接解法和区域分解算法来求解球面上l a p - l a c e 方程边值问题分析d i r i c h l e t n e u m a m l 算法、n e u m a n n - n e u m a n n 算法和最优 s c h w a r z 算法的收敛性质对于两子域区域分解算法，本文将球面按纬度分解成类 似于南北半球简单两个区域区域可以重叠也可以不重叠，子区域的大小不要求 一致，在这种情况下区域分解算法在理论上可以通过选取最优参数使得迭代两步 终止到解对于三子域区域分解算法，本文得到了类似的优化收敛结果，不过此时 需要非局部界面条件来保证有限步收敛 1 2 球极坐标下的l a p l a c e 方程 球极坐标如图1 1 所示，球极坐标和笛卡尔坐标变换的公式如下 图1 1 ：球极坐标 fz = rs i n e c o s 0 i 一。 1 y 2 rs i n 妒s i l l 8 lz = r c 。妒， 2 f 1 1 1 硕士学位论文 或等价地， ir = z 2 + y 2 + 驴， 忙删姐；， ( 1 2 ) l 矽：戤t a n 盟+ y 2 z 对于帮中的球面区域，不妨设其为如下集合q = ( 妒，p ，r ) 1 0 妒7 r ，一7 r p 丌，r = 1 ) ，有下面几个性质： ( a ) 球的表面是没有边界的一个很有意义的推论就是球形的基集在球体上 满足行为边界条件 ( b ) 在球形几何下存在显而易见的基集那就是球调和函数球调和函数有“等 积分解”和指数收敛等好性质，l a p l a c e 平凡逆算子也是这些函数的特征向量 球形几何学需要专门鑫孽理论、网格和基函数。计算球面上的流体没有什么简 便的办法，核心问题是在球面的南北极，全部经度收敛于一个单点这种顶点收敛 导致两个令人遗憾的推论 第一：这里存在一个严格的时间步限制，及所谓的“极点问题” 第二：微分方程几乎总是在收敛点奇异，即使它的解是处处光滑和无限可微 的 ； 理1 2 1 显格式时阔步长算法的c d t m 托扣刚d c 幻l e v y - 稳定限制条件如下 t 了a x ， ( 1 3 ) 其中c 是由待求解微分方程决定的最快的波速，茁是最小的空间网格间距 拟一致有限差分网格和有限元网格如此流行的个原因就是a x 在网格各处 是粗略相等的由此，较容易使用满足c f l 稳定条件( 1 3 ) 的时间步长 在球体上，最简单的策略就是用纬度和经度作为坐标并应用均等的网格间距、 用r 来表示球的半径，a 0 表示经度间隔，则相应于纬度等于咖的圆周上两个网格点 之间的距离为 a x = r s i n ( 妒) 目( 1 4 ) 显然，在极点( 妒= 0 ，妒= 7 r ) 附近，a x 趋近于零这就要求在极点附近使用非常小 的时间步长，否则数值模拟会因违背c o u r a n t f r i e d r i c h s - l e v y 限制条件可能变 得不稳定 3 球面上l a p l a c e 方程优化区域分解算法 一种补救方法就是在极点附近添加人为高粘性，但是巨大的阻尼会破坏高纬 度上模型的精度一个可选的方法是，从问题的根本入手，在极点附近经度分解 完全没有必要那么高，因为整个模型的精度是由其它各处低得多的分解所决定的， 解的高纬球带波数部分是唯一变得不稳定的部分所以，首选解决“极点问题”的 方法就是基于降低极点附近的带域分解 另一种途径是在高纬度采用带域标度选择性过滤这是虚拟极面阻尼技术的 变形，当然标度选择性消散在某种程度上是有实际的合理性的因为除了在极点 附近，模型不能解决非常小的经度标度的阻尼成分还有一种途径是使用球调和 函数作为基集的谱或拟谱的方法由于球调和函数与球形几何之间的紧密联系， 这组基集与纬度没有什么特别的联系而且球调和函数在球上有“等积分解”的性 质， u = 豢+ 雾+ 砑0 2 u _ 0 i 于x 2 + y 2 + z 2 = 1 , ( 1 s ) 磊， ， ： 尝( 伊t ) (18)o撕x ” = 丽1 烈0 0 x 、，耐未o x ) 撕”。 一 = ，g = r 4 s i n2 t b , 。， 硕士学位论文 弘1 0 0 而卜= 击 凼此，坏傲坐杯rg j l a p l a c e 万程为 u = 丢导( r 2 等) + 两i 丽a 2 u + 志品( s t n 妒器) = 。，( 1 1 2 ， 其中p 表示经度，显然纬度妒在北极点取值o 在南极点取值7 r 采用分离变量法，假设方程( 1 1 2 ) 的解为仳( r ，妒，口) = u ( r ，妒，口) = r ( r ) m ( 妒) e ( 日) ， 则由式( 1 1 2 ) 得 皿。；1o ( r 2 筹) + 胸志品( s t n 妒嚣) + 肿击雾= 。， 式( 1 1 3 ) 两边乘以与瓣得 墅兰旦(r2一or)+1sin厂2妒ro r ( o r南( s i n 妒嚣) + 三0 需= 。 ( 从) ，。皿6 m 。a 曲，。 a 口2 一。 、1 7 因为式( 1 1 4 ) d p 前两项与口无关，最后一项则只与口相关，所以最后一项一定为常数， 即 三0 需：_ m 2 ( 1 1 5 ) a 伊 ” 式( 1 1 5 ) 是一个常微分方程，其通解为 0 = a c o s ( m o ) + b s i n ( t o o ) ( 1 1 6 ) 再由式( 1 1 4 ) 可知 业旦( r 2 塑) + s i n 2 b 0 ( s i r o r o r n 妒嚣) 圳 ( 1 t 1 7 ) 1 。8 曲l 。7 式( 1 1 7 ) 两边同乘五得 ：1 o ( r 2 箬) + s l i n ，b 旦0 砂( s t n 妒筹) = i 而m 2 ( 1 t 8 ) 堡舻南一尹 旦劬g 旦脚 三咖匆螺 国品矧 球面上l a p l a c e 方程优化区域分解算法 同样，式( 1 1 8 ) 5 b 左端的两项也是无关的，而右端与r 无关，故式( 1 i s ) 左端的两项 也应该为常数，因此可设 五1 爵0 ( r 2 百o r ) = 面1 ( z r 面o r 萨0 2 r ) _ f 2 “ ( 1 ，。) 解之得 r = c r 2 + d r 一( h ( 1 2 0 ) 再由式( 1 1 8 ) 有 一1 o(咖砂器)=丽m2sin _ f 2 “ ( 1 z t ) 一 8 1 n 妒面j2 i 丽一 1 式( 1 2 1 ) 就是a s s o c i a t e dl e g e n d r e 方程可设方程有如下形式的解 皿= 女p ! 下c o s 妒) ， ( 1 2 2 ) 其中日“( c o s 妒) 是a s s o c i a t e dl e g e n d r e 多项式，妒是常数所以，l 印l a c e 方程的一 般解可以表示为 u 一：丢o 。三l i 叼( ；) 。“+ 印( ：) 2 i c o s ( m 一) + i 掣( ；) “+ 印( ：) | s i l l ( m 甲( c 。s 蚍 ( ，粥) 只考虑单位球面上的情况，且方程的解不依赖于球半径r ，则( 1 1 2 ) 可以简化 “ 扯一1 丽0 2 u + 面1 s i n 2 妒南r s i n 雾) - o o z 4 ) 厶u 2 百万+ 五i 万两面2 u 因为钍关于8 呈周期性，可以用f b u r i e r 级数展开，方程( 1 2 4 ) 可以转化为一类常微方 “ 扯一翕珊川+ 击南( 刚掣) 一o ，z s ， 其中 ，协 也( 妒，m ) 2 寺上e “枷钆( 妒，8 ) 姐 记可( 砂) = 也( 妒，m ) ，对于某个固定m ，方程( 1 2 5 ) 可以转化为 = 等( 警，7 ) 。， 由方程( 1 2 6 ) 的形式可知以下方程( 1 2 7 ) 的解也满足方程( 1 2 6 ) g ：型可，( 1 2 v )9 2 可l l 硕士学位论文 因为m 是固定的常数，可以假设掣( 砂) = ( 妒) m ，则方程( 1 2 7 ) 转化为 t = s i n f v ) t 7 。 可以解得t = t a n 善综上所述可以得到方程( 1 2 5 ) 的两个基本解 鲋川= ( 羔) 蚓刊 对于上述基本解，下面推论是显然的 ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) 推论1 2 1 设啦( 妒，m ) 如n 2 圳定义，则g + ( 妒，m ) 在南极有一个奇点，而9 一( 母，m ) 在 北极有一个奇点 推论1 2 2 函数龋在( o ，7 r ) 上单调递增 7 球面卜l a p l a c e 方程优化区域分解算法 第2 章非重叠两子域区域分解算法 绚 图2 1 ：两个可重叠子区域情形 将球面分解成两个可蕈叠子区域如图2 , 1 ，其中0 b w ，n ，是纬 度0 妒6 的上半球面，n 2 是纬度妒的下半球面，n 1 和吼的相交边界分 别是纬度为曲= n 和讪= 6 的纬线圈，当n 6 时，即边界不相等时，重叠区域为纬 度n 曲6 的带圈面显然，b 一口的人小可用来度量两个子区域的重叠程度，故 在本文中，我们称b 一口为子域的重叠尺寸或重叠大小理论分析上对n l 和n z 的大 小和对称性不做任何要求。但在实际并行计算中为便于编程和提高资源效率会做 一些约定 2 1d i r i c h l e t n e u m a n n 算法 本节考察比较常用的区域分解算法，d i r i c h l e t - n e u m a n n 算法( 见文献【9 - 1 3 ) 考察最为简单的两子域非重叠分解a = b 此时n ，和n 。的相交边界就只是纬度1 ；f l = o 的一个纬线圈d i r i c h l e t n e u m m a n 算法的思想是：两个子闻题求解时，在n l 的边 界上使用d i r i c h l e t 条件，而在吼的边界上使用n e u m a n n 条什，即 界上使用d i r i c j a l e t 条件，而在f 2 2 的边界上使用n e u m a n n 条件，即 篱杀珊， 临， i “ ( 。，p ) = ”( 。，p ) ， 、 4 篡k 。、于。、 ( 2 ) i 岛“2 “( 啦p ) = 岛u ( n ，日) 7 8 硕士学位论文 但是，在一般情形下，这样的算法是不收敛的对上述迭代进行如( 1 2 5 ) 一样的f o u r i - e r 变换使用基本解( 1 2 9 ) 得到子问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 在f o u r i e r 上的解形式 也f + 1 ( 妒，m ) = 也f 1 ，m ) = 凳黑9 + ( 蜘) ， 外( ，m ) ”w 力 一黼am 9 划 m ) 9 一l ，j ( 2 3 ) ( 2 4 ) 当妒= o 时将啦 ，m ) 在式( 2 4 ) 中的解代入式( 2 3 ) 得到 砬f + 1 ( n ，m ) = 一也：。( ，m ) ( 2 5 ) 同样也有 砬；+ 1 ( o ，m ) = 一砬；一1 ( 口，m ) ( 2 6 ) 所以收敛因子p = 一1 ，即算法不收敛 如果在q 1 和q 2 的边界上都使n e u m a n n 条件，得至l j n e u m a n n - n e u m a n n 算法： 群。晶0 茎，既 ， i u p l ( n ，) = 嘞“l ( n ，目) ， 、7 答，3 a ? 0 ，三棚 仁8 ， i 知u r l ，) = u ( 口，口) 、 基于同样的分析收敛因子p 一一1 ，算法也不收敛 一种修正的方法就是引入松弛参数，j = 1 ，2 ，使子问题的内边界传输条件 分别变为 ， j u + 1 ( 口，p ) 2 饥让；( n ，9 ) + ( 1 7 1 ) u ：( n ，9 ) ， ( 2 9 ) 1 牡p 1 ( n ，0 ) = 讹u ( 口，0 ) + ( 1 7 2 ) 岛u l ( ，口) 。 这样，可以通过适当选取参数，y l 和讹，使算法收敛当取协= 1 时，在文献【9 中被 称：为d i r i c h l e t - n e u m a n n 算法，存在饥使算法收敛当取饥= 1 时，在文献 3 中被 称：为n e u m a n n d i r i c h l e t 算法，存在他使算法收敛对于本文中的模型问题，同前 文中的f o u r i e r 变换传输界面条件( 2 9 ) 在f o u r i e r 空间上得 ( 篡警2 ，) = ：2 蕊一要 2 ，) 仁埘 迭代矩阵的渐进收敛因子取决于2 2 阶矩阵的谱半径，即最大特征值的模： ，p = l1 一；( 饥+ 仇) + ；、，i 磊_ = = _ 鬲j r 二丽i ( 2 1 1 ) 球面上l a p l a c e 方程优化区域分解算法 注意到口是与频度参数m 无关的，也就是意昧着当算法是离散形式的时候收敛因子 与网格细度划分参数h 是无关的在d i r i c h l e t n e u m a n n 算法情况下，当地= 1 时， 模型问题的收敛因子为 p = ；i1 7 1 + 、7 一6 7 1 - i - 1i ( 2 1 2 ) 3 0 0 是加速因子，口l 和盯2 是正的权系数 对上述迭代进行如( 1 2 5 ) 一样的f 0 u r i e r 展开，使用基本解( 1 2 9 ) 衔1 j 子区域上 也p 1 ( 妒，m ) = 矗；+ 1 ( 妒，m ) = o f + 1 ( 妒，m ) = 谚“( 妒，m ) = ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 因此， 玉十1 ( m ) = ( 1 一( 2 l ( 2 矗+ 2 如) ) 如( m ) ( 2 4 8 ) 所以同样有以下结论 命题2 2 2n e u m a n n 一e 姗礼谜代算法偿3 圳一偿4 剀在球面的两个非重叠区域上 两步收敛，其中加速因子满足下列关系 。= 。一2 志 ( 2 4 9 ) 1 3 鬈餐 ) n n n 1 o f f k ( ( 气a 妒 辩 球面3 e l a p l a c e 方程优化区域分解算法 第3 章重叠两子域优化s c h w a r z 算法 3 1 古典加- 陛s c h w a r z 算法 古典s c h w a r z 法( 见文献【2 1 ，2 2 】) 自p l l i o i l s 的杰出工作( 见文献【2 5 ，2 6 】) 之后 被广泛应用于求解椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方程的连续解或离散解f 见文 献 2 5 3 0 】) ，成为经典的区域分解算法将球面分解成两个可重叠子区域如图2 1 ， 其中0 a b 7 r ，则加性古典s c h w a r z 算法描述如下： fc 瞄“= 0 于q l ， i 让 + 1 ( b ，目) = 耻l ( 6 ，口) ， jc 乱1 = 0 于q 2 ， i “i + 1 ( d ，口) = 札 ( ，疗) 类似前章的f o u r i e r 分析，可得 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 将式( 3 3 ) 代八剁( 3 1 ) 和【3 1 ) 甲嗣传输边界条件得 矗i + 1 ( 。，m ) 2 p 由i 一1 ( n ，m ) ， ( 3 4 ) i 砬f 1 ( 6 ，m ) = 肿；- 1 ( b ，m ) ， 、7 p = 涨渊 s ， 命题3 1 1 设单位球面上按纬度a 6 分解成两个重叠区域则对于每个m 0 ， 古典加性s c 砌口吻连代算法倦1 ) 一阻2 j 线性收敛且收敛因子为 p = ( 蒜帛) 2 hj ( 捌) 2 胁j ( 3 6 ) 由式( 3 6 ) 知，古典加性s c h w a r z 算法( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的收敛速度取决于频度参数i m | 和子区域的重叠程度( 称为重叠尺寸) ( 6 一n ) ，当重叠尺寸( 6 一n ) 很小时，b “口则j dz 1 ，即算法几乎不收敛当重叠尺寸( 6 一n ) 确定时，算法对于高频的l 叫能较快的收 敛，而对于低频的1 m f 收敛很慢 1 4 磬 硕士学位论文 3 2 加性优化s c h w a r z 算法 lc “p 1 = o 于q l ， ( 1 p ( 日) 劫“p 1 ( ) ：( 1 + p ( 口) 南) u l ( 6 棚， 一 篇。磊飘牡”础豺既 s ， l ( 1 + q ( 口) 劫舻1 ( o ，目) = ( 1 + q ( 口) 劫让 ( 0 日) ， 叫 篱盂蕊h 。m 唧 毗 。， l ( 1 + 西( m ) 昴) 砬 “( 6 ，m ) = ( 1 + 叠( m ) 南) 磁( 6 ，m ) ， p 。 篇。m = ，0 舻于f h 。2 n 川。钟吣 江删 l ( 1 + 口( m ) 赫) 砖“( n ，m ) = ( 1 + 口( m ) 南) 也 ( n ，m ) p “ 鹆( 妒，m ) = a ( m ) 外( 妒，m ) + b m ) g 一( 妒，m ) ，j = 1 ，2 ( 3 1 1 ) 曩。黔 i 筹= 一面i m l 喀 p “ 竺靼帅) 】 ( 1 忡( m 替沁“6 ，m ) ”、“ ( 3 1 3 ) 型掌“埘 ( 1 - 撕) 荔) “口) m ) 。 球面t - l a p l a c e 方程优化区域分解算法 将( 32 ) 代入算法( 3 9 ) 一( 3 1 0 ) ，得到边界上的递归计算公式 其中收敛因子为 由( 3 1 5 ) 不难导出下面结论 命题3 2 1 对于每个m 0 ，当选取 或者 ( 3 1 4 ) 然黜m ) ga ( 3 1 5 )g + ( 6 ，一，m ) 7 】；( m ) = s i n b i m l ，口( m ) s i n a i m 时，加性s c 伽。形算法p 矽一p 刀两步收敛 叠( m ) 一s i n b j m 当区域非重叠( o = 6 ) 时，由式( 3 1 5 ) 可知命题( 3 2 1 ) 仍然成立 1 6 m m o 以 时磁 = | l 嘲哪慨 h 札 掣谚 ，ll-cll 鼎焉 m m 甙一载 + 一 一 h h 鼎焉 m m 烈一烈 一 一+ 硕士学位论文 第4 章非重叠三子域区域分解算法 图4 1 ：三个非重叠于区域 y 在全球大气、海洋等数值模拟实验中，往往更关心气象活动频繁剧烈的低纬 度区域，如赤道附近区域相比之下两极覆盖的广大区域，人类活动稀少，同时对 低纬度区域气侯的影响很有限通常会将包含两极的高纬度区域同低纬度区域分 割开。在低纬度区域使用较密的网格来提高数值精度，在高纬度区域使用较稀疏 的网格来降低计算量，因此有必要研究将球面分解成三个子区域或更多子区域时 的区域分解算法为了研究多区域上是否也有类似前两章中的最优结果，将球面 按图4 1 划分为三个非重叠区域，其中0 q 口 7 r ，本章研究其上的区域分解 算法 4 1d i r i c h l e t n e u m a n n 算法 对于三个子区域的情形，在q 1 和q 2 边界上使用d i r i c h l e t n e u m a n n 边界条件 在q 2 和q 3 边界上使用n e u m a n n - d i r i c h l e t 边界条件，可得到如下算法： ic 札p 1 = 0 于q 2 ， 钆u p l ( a ，目) = u p l ( a ，口) la 讪乱! + 1 ( 卢，目) = a 母u 3 + 1 ( p ，扫) 1 7 ( 4 1 ) ( 4 2 ) q 妒于砖 l l 0) = 一 o p ，l 午“ 觑钟 ，j、l 球面f l a p l a c e 方程优化区域分解算法 辫染勰 s ， 【“纩1 ( 卢，目) = 鸠( 口) ， r “ 其中 潞汜麓搿矧1 凇： h a ， la f l ( 目) = 1 2 ：+ 1 ( 卢，p ) + ( 一加) a l ( 目) ” 如第二章中对两子域情形的分析相似，得到算法转化到f o u r i e r 域下子区域上 的有界解形式 舻1 ( 蜘) = 热“埘 矗!+1(妒，m)=里竺!；：；j：3_；j挚。+(妒，m) + 业坐等糌罂粉挚幽“帆9 军( o ，m ) 一鳃( p ，m ) 弘w 一”几 谢，m ) _ 黼“埘 ( 4 5 ) ( 砖；k “a - 1 ( r i 2 , 牝) 嘏矜 拈 1 蠹。羹端2 舭，_ | 丝斋箬铲 +、五，m ) ( 1 一2 ) z 一4 9 十( n ，m ) 9 晕，m ) ，锄 ( 4 6 ) f 4 7 ) ( 4 8 ) 分离p ( a ) 式分子中不包含根号的项和根号里的项得 9 2 、f i g ，m ) + g ；( 卢，m ) ( t + 2 1 ) = o ， f 4 9 ) 【g i ( z ，m ) ( ，一2 ) 2 4 9 + ( 8 ，m ) 藓( 卢，m ) 啊2 = 0 。 由此可得，当 硕士学位论文 时，在球面的三个非重叠区域上两步收敛 4 2 n e u m a n n - n e u m a n n 算法 纠当松弛因子为 非重叠三区域n e u m a n n - n e u m a n n 算法描述如下 fc 钍r 1 = 0 于n 。 1 让p ( ，口) ：对( 口) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 旦 竺 两 阱 墨 竺 一 一 q 碍 一 一 一一一一一一一一一一 1啊嬲一 可 一磷一一一一一瞬一瞬 iq 徊 ： 女1 k 2 于a 一 = i l o) | | 一 0 卢 ，l，l 孝“ 觑谚蝣 ，illij、iili、 c = p于砖 | | 0) 一一邯 瞄 ，il，、_l、 势势铲锗攀 堂 堂蓝 盟 盟盟 每拳均 。盟 。盟旦 虬挚虬挚挚 砖监 谚监监 砌c 黾一 助c s 一踟一 球面上l a p l a c