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经济数学基础重难点解析第4章 一元函数积分学1 理解原函数与不定积分概念。这里要解决下面几个问题：（1） 什么是原函数？若函数的导数等于，即，则称函数是的原函数。 （2） 原函数不是唯一的。由于常数的导数是0，故都是的原函数（其中是任意常数）。（3） 什么是不定积分？原函数的全体（其中是任意常数）称为的不定积分，记为=。（4） 知道不定积分与导数（微分）之间的关系：不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即=,例1 填空、选择题1. 某区间上，如果F（x）是f（x）的一个原函数，c为任意常数，则下式成立的是（ ）A. B. C. D. 解 如果F（x）是f（x）的一个原函数，则F（x）c都是f（x）的原函数，故有，即正确的选项是C。2. 如果，则f（x）=（ ）A. 2sin2x B. 2cos2x C. 2sin2x D. 2cos2x解 根据不定积分的性质可知f（x）=正确的选项是D。3. 已知，那么常数a=（ ）。解 因 故，即正确的选项是D。4. （）。 AB. C. D. 解 两种方法，其一是凑微分直接计算：其二是求导计算：四个备选答案中都含有项，对它求导 与被积函数比较可知，是的原函数。 正确的选项是B。5. 设是函数的一个原函数，则（ ）。 A B. C. D. 解 因是函数的一个原函数，即有=，故故正确的选项C。6. 设的一个原函数是，则（）。 A. B. C. D. 解 因的一个原函数是，故（故正确的选项B。7. 设函数, 则=( )。A. x2+c B. C. D. 解 因，故，于是=故正确的选项B。8.已知=sinx+c，则f（x）=( )A. B. xsinx C. D. xcosx 解 对=sinx+c两端求导，得故f（x）=，正确的选项是C。例2 试证明与是同一函数的原函数.证 与是同一函数的原函数. 2.熟练掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分和定积分： 幂函数与指数函数相乘； 幂函数与对数函数相乘； 幂函数与正（余）弦函数相乘；例3 计算下列积分（1）（2） （3）解 （1） （2） （3） = = 3了解定积分的概念，知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分。要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式。例4 填空、选择题 1. 积分=（ ）。解 在对称区间上求定积分，首先要考虑被积函数的奇偶性，可以利用奇偶函数在对称区间上的积分的性质简化计算。因为是偶函数，故=2. （）。解 因为是奇函数，故03. 广义积分= （ ）。 解 =4. =( )。A. ln(x2+1) B. ln(x2+1) C. ln(x2+1)2x D.ln(x2+1)2x解 根据变上限定积分的性质可知ln(x2+1) 故正确的选项是A。例5 计算下列定积分（1）解：