给抽象型函数插上翅膀.doc

给抽象型函数插上翅膀张海君抽象型函数问题表面上高度抽象，但它必定脱胎于中学数学中常见的具体初等函数，必然有我们熟悉的痕迹，因此根据题设给出的特征式，结合中学中常见的最基本的函数模型（如一次函数、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、三角函数模型等）归类建模，给抽象型函数插上翅膀，使学生头脑中有一个函数模型，从而有明确的解题方向。一、一次线性函数模型一次线性函数特征式为：f（x）kx（k0）-f（xy）f（x）f（y）例1函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x时，f(x)0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.分析：在学过的函数中一次函数满足上述条件，而一次函数具有单调性，从而根据题设条件运用函数单调性定义加以证明。在证明的过程中为了扣紧题设条件有一定的变形技巧。解：.(1）证明：设x1x2,则x2x1,由题意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)0,f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.解：设，则x2x10,由题意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1) 0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：从条件f（ab） f（a）f（b），a、bN来看指数函数具有上述运算特征；从f（2）4来看应为f（x）2x；同时也满足了f（x）0,xN。先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明.证明略。三、对数函数模型对数函数特征式为：f（x）logax（a0且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（）f（x）f（y）例5设f (x)是定义在R+上的增函数，且f (x)=+ f (y)，若f (3)=1，求x的取值范围。分析：在学过的函数中对数函数满足上述条件，由f (3)=1，结合对数函数的定义知，从而借助对数的运算性质渐渐转化为左右两边仅含一个函数符号的不等式，再利用函数的单调性解决。但在推理的过程中不能以具体函数代替抽象函数，它仅给我们推理指明方向。解：f(3)=1 f (3)+ f (3)=2 f ()+f (3)= f (9) =2f (x)=+ f(y) 即f (x)- f(y)=f x(x-5) f (9) f (x)是定义在R+上的增函数 解得：四、三角函数模型三角函数特征式为：f（x）tanx- f（xy）f（x）cotx- f（xy）f（x）cosx -f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)例6设函数f（x）定义在R上，对任意x、yR，都有：f（x+y）+f（x-y）=2f(x)f(y)，且f(0) 0，若存在常数c，使，试问f（x）是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。分析：由题意很难发现f(x)的周期性，这时联想到三角公式，发现f(x)=cosx满足条件，由此猜想出f(x)是以2c为周期的函数。证：，即，所以f(x)是以2c为周期的函数例7f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意的x1x2，都有f(x1-x2)=，则f(x)是（ ）A、奇函数 B、偶函数 C、即是奇函数也是偶函数 D、非奇非偶函数简析：由三角公式联想到函数y=cotx满足上述模型，所以获得结论A。例8、设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.分析：由(i)f(x1x2)=联想到两角差的余切公式，从而令，又且的周期为，由(ii)存在正常数a使f(a)=1.可猜想出f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.这给我们证明此题提供了方向。证明：(1）不妨令x=x1x2,则f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函数.(2）