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经济数学基础辅导10温州电大 叶挺峰第四编 矩阵代数 第九章 矩阵一、mn矩阵由mn个数aij（i1，2，m，j1，2，n）排成一个m行n列的矩阵数表 a11 a12a1n a21 a22a2n am1 am2amn称为mn矩阵，其中aij是矩阵第i行第j列交叉处的元素。矩阵常用大写字母A、B、C表示。有时为标明一个矩阵的行数和列数，用Amn或（aij）mn表示一个m行n列的矩阵。当mn时，A是nn矩阵，称为n阶方阵，简记An。二、矩阵的运算1.矩阵加法 设A（aij）mn，（bij）则A+B（aij+ bij）mn 由此可得 A-BA+（-B）2.数乘矩阵 若A（aij）mn，是任意数，则 A（入aij）mn a11 a12a1n am1 am2amn例1 已知A 3 -2 B 4 -3 5 0 ， 8 2 求矩阵方程A+2XB解：2XB-A 4 -3 3 -2 X(B-A) 8 2 5 0= 4-3 -3+2 = 1 -1 8-5 2-0 3 2 = - 13.矩阵乘法 （1）定义 设A（aij），B（bij）sn则A与B乘积记为CAB，C是mn矩阵，即C（cij）mn其中cijai1bij+ai2bij+ aisbsj（i1，2，m，j1，2，n）可见：元素aij等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。注意：AB可乘条件是A的列数B的行数。例2： 2 -1已知A -4 0 B 7 9 3 1 ， -8 10求AB和BA 27+(-1)(-8) 2(-9)+(-1)10 22 -28解：AB (-4)7+0(-8) (-4)(-9)+010 -28 36 37+1(-8) 3(-9)+110 13 -17B的列数A的行数,BA不可乘,故BA无意义。（2）运算法则乘法满足：10结合律（AB）CA（BC）,（KA）BK（AB），（K常数）20左分配律A（B+C）AB+AC 右分配律（B+C）ABA+CA乘法不满足：10交换律ABAC20消去律ACBA且C0，不能推出AB（3）当ABBA时，称A、B可交换4.矩阵的转置： a11 a12a1n（1）定义： a21 a22a2n设A为mn矩阵，AT am1 am2amn把A的行、列按原顺序互换得到nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT，即AT a11 am1 a12 am2 如：A 1 2 3 1 4 4 5 6 ，则AT 2 5 am1 amn 3 6（2）运算法则（A T）A （A+B）TA T+B T （ KA）TKA T（K常数）（AB）TB TA T三、特殊矩阵：特殊矩阵都是方阵，常见的有以下五种：1、单位矩阵： 主对角线上元素都是1，其余元素全是零的n阶方阵，称为n阶单位矩阵记为I为In即In 1 1 0 0 1对任何矩阵Amn，有I1nAmnAmn I1nAmnI1nAmn若A为n阶方阵，有IAAIA并规定A的零次幂为I，即A0I2、数量矩阵： 主对角线上的元素为同一个非零数，其余元素全是O的矩阵 K 0 O K 称为数量矩阵，记为KI。3、对角矩阵 主对角线上元素不全为零，其余元素全是零的n阶矩阵 d1d2 0 0 dn称为对角矩阵4、三角形矩阵 主对解线下方的元素全为O的方阵 a11 a12 a1n a22 0 ann称为上三角形矩阵。主对角线上方的元素全为O的方阵 a11 0 a21 a22 an1 aNN 称为下三角形矩阵上、下三角形矩阵绕称为三角形矩阵。5.对称矩阵 设n阶方阵A（aij）n，若满足ATA，则称A为对称矩阵。 用这定义可判别或证明一个矩阵是不是对称矩阵。 例如：证明两个同阶对称矩阵和仍为对称矩阵。 证：设A、B为同阶对称矩阵，则ATA BTA 因（A+B）TAT +BT A+B故A+B为对称矩阵。四、矩阵初等行变换与矩阵的秩 （一）矩阵初等行变换 1.矩阵初等行变换是指： （1）对换变换：互换矩阵某两行的位置。 （2）倍束变换：用非零常数遍乘矩阵某一行。 （3）倍加变换：将矩阵的某一行遍乘一个常数K加到另一行上。 2.矩阵A经过初等行变换化为B，记作AB 注意：在A、B之间，不能用“”因为AB，只能用“” （二）阶梯形矩阵 1.定义：满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵： （1）各个非0行（元素不全为O的行）的第一个非O元素的列标随着行标的递增而严格增大； （2）如果矩阵有O行（元素全为O的行）在矩阵最下方。例如： 1 -1 2 3 1 -3 0 0 0 2 0 4 和 0 -2 0 1 0 0 5 -2 0 0 0 1 0 0 0 0都是阶梯形矩阵。 2.通过初等行变换，矩阵A可化为阶梯形矩阵。 具体求法是：在矩阵A中，从上到下，逐行把每行中第一个非零元下的元素化为零，便得A的阶梯形矩阵。例如：化矩阵A为阶梯形矩阵。 1 -5 2 1 -1 1 -5 2 1 1 1 -5 2 1 -1A 0 16 -7 -5 5 0 16 -7 -5 5 0 16 -7 -5 5 -1 -11 5 4 -4 0 -16 7 5 -5 0 0 0 0 0 2 6 -3 -3 2 0 16 -7 -5 9 0 0 0 0 4 1 -5 2 1 -1 0 16 -7 -5 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 上式最后一个矩阵就是所求的矩阵。 （三）矩阵的秩： 1.定义：矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r（A）。 例如：在上例中，A的阶梯形矩阵中，非零行为3行，则秩（A）3。 2.满秩矩阵 设A是n阶矩阵，若秩（A）n，则称A为满秩矩阵，或非奇异或非退化的矩阵。 任何满秩矩阵都能经过初等变换化成单位矩阵。 3.规定零矩阵O的秩为O，即秩（0）O五.逆矩阵 1.定义：设矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得ABBAI，则称A是可逆矩阵（简称A可逆），并称B为A的逆矩阵，记作A-1，即BA-1，A也可称为B的逆矩阵，有B-1A。 2.如何判断矩阵A可逆？ 用下面A可逆充要条件。n阶矩阵A可逆 A为满秩矩阵，即秩（A）n。 3.可逆矩阵的性质： （1）A可逆，则A-1可逆，且（A-1）-1A （2）A、B均可逆，则AB可逆，且（AB）-1B-1 A-1 （3）A可逆，则AT也可逆，且（AT）-1（A-1）T 4.逆矩阵求法： A可逆，求A逆矩阵的方法是（AI） 初等行变换 （IA-1） 上式右边：矩阵A左边写上同阶单位矩阵I，构成一个n2n矩阵（AI），再对（AI）施行初等行变换，将A化成I，同时I被化成A-1。例3 设A 3 -12 -1 ，求A-1解：（AI） 3 -1 1 0 1 0 1 -1 1 0 1 -12 -1 0 1 2 -1 0 1 0 -1 -2 3 1 0 1 -1 0 1 2 -3 故A-1 1 -1 2 -3 1 0 1例4 设A -1 1 -1 求A-1 -2 1 -1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0解：（AI）-1 0 -1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 -2 1 -1 0 0 1 0 1 1 2 0 1 0 0 1 1 -1 1 1 0 0 0 1 -1 0 1 -1 0 1 0 1 1 0 故A-1 1 1 0 0 0 1 1 -1 1 1 -1 1 要确定A-1是所求的A的逆矩阵，可用AA-1是否等于I来验证 5.矩阵方程解法 （1）AX解法 若A可逆 A-1存在 A-1AI A-1AXA-1B 则XA-1B （2）XAB解法 若A可逆 A-1存在 A A-1I XAA-1BA-1 则XBA-1自测题：一、选择题1.设A是mn矩阵，若AIA，那么I是（ ）矩阵。A. mn B.n C.m D. nm2.设A为mn矩阵，且mn，那么以下运算正确的有（ ）。A.AAT B.AAT+ATA C.A+AT D.A23. 1 0 0 0 矩阵 0 1 0 0 是（ ） 0 0 0 0 0 0 0 1A.单位矩阵 B.数量矩阵 C.对角矩阵 D.可逆矩阵4.设A是mn矩阵，B是kl矩阵，若等式（ ）成立，则AB有意义。A.mn B.kl C.ml D.nk5.设A、B均为方阵，则下列结论正确的是（ ）A.（AB）TA T B T B.若A TA，则（A2）TA2C.AA TA TA D.若A TA，B TB，则（AB）TAB6.已知矩阵A 1 0 0 0 2 0 则r（A）（ ） 0 4 0A.0 B.1 C.2 D.37.设A、B是同阶方阵，若满足条件 则A可逆。A.AB0 B.ABI C.ABBA D.A0二、填空题：1.已知 2 0 -1 1 1 A 35 2 B -1 0 0 -1 2 0 3 则AB 。2.设A是35矩阵，B是24矩阵，且乘积矩阵ACB有意义，则C T是 矩阵。三、计算题： 1 -1 2 1 01.求矩阵 2 -2 4 2 0 的秩 3 0 6 -1 1 0 3 0 0 1 1 -3 22.设矩阵A -3 0