（数学专业论文）模李代数表示中的一些问题.pdf

摘要 摘要 本文主要利用广义限制李代数的概念研究c a r t a n 型李代数h 2 r n 的不可约模和 可三角分解李代数的积分元和中心扩张问题 在本文的第二章第一节里 我们利用代数h 2 t n 的广义限制李代数结构 对它的 本原p 包络代数p 日 进行了讨论 给出了p 日 一个分次结构 并且给出p 日 的自 同构群的结构 a u t p h a u t p 日 a u t l p h 其中a u t p 日 里的元素保持p h 的分次 a u t l p 日 里的元素保持p h 的滤过 并且证明了下面的结果 定理1 对于x p 日 1 若西 a u t p h 贝l jh t x 垂 h t x 2 若h t x 1 则存在圣 a u t 尸 h 使得x 雪 0 在第二章第二节里 我们证明了以下结果 命题2 对于x p 日 m 是牡 p 0 x 模 s 是不可约u p h o l x 一模 并且 圣 a u t p h 则 1 当h t x 1 疥 m t p 日 x o u p 日 x m 是权a 的极大向量时 若 x 町 0 或者m 不含例外权的极大向量 则对m o m 御 1 m o 是权入的极大向 量 2 疥 m r 型z x m 垂 3 若h t x 0 其i j z x s 垂竺z x s 进一步证明了 定理3 设x h 且h t x 1 并设s 是具有特征标x 的不可约h 0 l 模 若s 作为 h o 一模t 同构于任一l o a 其中a a 则承 s 是不可约的 特别地 若h t x l 则z x 8 是不可约的 在第二章第三节里 我们讨论了w m n 的特征标为x 的余诱导模孵 h o n w o u 妒 彬x f 和w m n 模q i 孵 qq 七的性质 对于映射鹾 q q x l 鹾 3 们 d x l d i 6 圆d x lad x 产 一1 例 扣引d x 7 咙 6 a m n 其中7 i 七i 七 y k i 验证 定理4 1 是一个w 模同态 2 序列0 一q i 旦噼旦 骂q 磊一0 是正合的 3 d i m fq i k e r 6 i p t 百1 在第二章第四节里 我们讨论了特征标高度为零的情况 由于h 2 r n 是w 2 r 1 1 的子代数 所以噬可以看作为日一模 从而我们研究了h 一模q x 和它的对偶模 q 摘要 i i 上的日 模同态 俨 铲 铲 7 x 弘 伊 得到了命题2 4 2 和命题2 4 4 并且对于日 模噬 q k e r a x 碟 磷 q l k e r 伊 4 i m 下芑2 和q q i i n 仉一2 证明了命题 2 4 5 最后我们证明了 定理5 当1 k 7 时 q 是具有例外权留惫的不可约u 妒 日 x 一模 且q j 笺晓f 在第三章里 我们考虑满足条件 1 也是 的子代数并且如是a d l 一幂零 2 t 是一个环面并且有一组基岛 k 和一组正整数8 1 8 使得 a d l h d p a d l h i i 1 2 r 3 mk 1 以 的李代数l l 一0tol 的积分元和中心扩张 我们将利用李代数l l o t o l 所满足的条件 1 2 3 给出 个广义限制李代 数结构 l 既 妒 并且证明三具有一组有序基b l z l 锄 l h y l 驰 利用这组有序基 我们证明了 定理6 元素 s l n 啦 1 一啦 庐 一1 y 1 t l i li i 是广义限制普遍包络代数让妒 l 的一个积分元 并且得到了 定理7 如果l 是一个广义限制李代数并且 l l l 则 日2 l f 兰成 l f h o m f l f 而且 月暑 l f 2 t 正妒 l s l o t 正 p l s l l s l t 上妒 l s l 圆u 妒 三 s 这里群 l f 础 l 只f 更进一步 我们证明了 定理8 如果l 具有三角分解l ot0l 满足条件 1 2 3 则我们有 d i m h 2 f d i m u i p 上r s l o u v l s l 一d i mu 妒 l 一d i m l4 1 a b s t r a c t a b s t r a c t b ya p p l y i n gt h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e dr e s t r i c t e dl i ea l g e b r a w es t u d yt h ei r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n so fl i ea l g e b r ah 2 r n o fc a r t a nt y p ea n dt h ei n t e g r a l sa n dc e n t r a le x t e n s i o n so fal i ea l g e b r aw i t hat r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o n i n 2 1 u s i n gt h es t r u c t u r eo ft h eg e n e r a l i z e dr e s t r i c t e dl i ea l g e b r ah 2 r n w e s t u d yt h ep r i m i t i v ep e n v e l o p ep 日 o fh 2 r n a n dg i v eas t r u c t u r eo ft h eg r o u po f a u t o m o r p h i s m so fp 日 a u t p h a u t p 日 ka u t x p h w i t ht h a t w ep r o v et h ef o l l o w i n gr e s u l t t h e o r e m1 l e tx p 日 1 巧圣 a u t p h t h e nh t x 圣 h t x 2 i h t x l t h e nt h e r ee x i s t s 圣 a u t p h s u c ht h a tx 圣 0 i n 2 2 w eh a v et h er e s u l t p r o p o s i t i o n2 l e tx p 日 l e tmb eau p h i o x 一m o d u l e sau p h l o l x m o d u l e a n d 垂 a u t p h t h e n 1 l e th t x 1 a n du z x 彳 p 日 x 圆 p h o x m b eam a x i m a lv e c t o r o fw e i g h t 入 可e i t h e rx n f f 0o rm h a sn om a x i m a lv e c t o ro fe x c e p t i o n a lw e i g h t t h e n 可 1qm ow i t hm o mi sam a x i m a lv e c t o r 盯w e i g h ta 2 z x a f 圣笺z x 量 圣 3 f fh t x 0 t h e n z x s 西竺z x s e v e n t u a l l y w ep r o v et h et h e o r e m t h e o r e m3 l e tx 日 w i t hh t x 1 a n dl e tsb eas i m p l eh i 0 一m o d u l ew i t hc h a r a c t e r x 巧si sn o th t o l i s o m o r p h i ct oa n yl o a w i t h 入 a e t h e nz x s i si r r e d u c i b l e i n p a r t i c u l a r 矿h t x 1 t h e nz x s i si r r e d u c i b l e i n 2 3 w ed i s c u s st h ep r o p e r t yo f2 t x h o m t u 妒 彬x f a n dq 2 l x 圆a f l k a n dg i v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m4 1 畦 q q x 1i saw h o m o m o r p h i s m 2 t h es e q u e n c e0 一璐旦q 旦 鱼q 荔一0i se x a c t 一嘴互q 三 xq 荔一 3 d i m e f 磋 k e r 5 p e 1 n i x 1 i n5 2 4 w ed i s c u s st h es i m p l em o d u l e so fh 2 r n i nt h ec a s eh t x 0 b e c a u s e h 2 r n i st h es u b a l g e b r ao fw 2 r n w ec a nc o n s i d e rq a sh m o d u l e h e n c e w e s t u d yt h eh h o m o m o r p h i s mo fq la n d q 1 妒 e 积 t x 亍x 0 x a n dw eh a v et h e p r o p o s i t i o n2 4 2a n dp r o p o s i t i o n2 4 4 f o rt h e 日一m o d u l e sq q k e r0 x 罐 q l n u c k e r0 噬j r x 一2 a n dq x f z k l m r k 咄w ep r o v et h ep r o p o s i t i o n2 4 5 f i n a l l y w e i i i a b s t r a c t i v p r o v et h er e s u l t t h e o r e m5 f o r1 k r q i sas i m p l eu 妒 日 x 一m o d u l ew i t ht h ee x c e p t i o n a lw e i g h t 钌知a n dq x 皇q i nt h ef i n a lc h a p t e r w es t u d yt h ei n t e g r a l sa n dt h ec e n t r a le x t e n s i o n so ft h el i e a l g e b r al l o tol o v e ra l la l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l dfo fc h a r a c t e r i s t i cp 0w h i c h s a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s 1 也i sas u b a l g e b r ao fl a n dl 士i sa d l n i l p o t e n t 2 ti sat o r u sa n dt h e r ee x i s t sab a s i sb 0 h x k o ft a n dp o s i t i v ei n t e g r a l n u m b e r s8 1 s rs u c ht h a t 觚l l h i p a d l h i i 1 2 7 3 t l 士 l 士 u s i n gt h ec o n d i t i o n 1 2 3 o ft h el i ea l g e b r al l o to l w eg i v ea l l o r d e rb a s i s 既o fla n das t r u c t u r eo fg e n e r a l i z e dr e s t r i c t e dl i ea l g e b r a l b l 妒 i n p a r t i c u l a r w eg i v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m6 trs sz 贯吣 1 鬼一0 i 庐一一1 1 i 1 t 1i 1 sa 坳i n t e g r a lo f u 妒 l t h e o r e m7 i fli sag e n e r a l i z e dr e s t r i c t e dl i ea l g e b r aa n d l l l t h e n a n d 日2 l f 竺磁 l f h o m r l f 月三 工 f 2 乱妒 l s l o u 妒 l s l l s l u 妒 l s l o u 妒 l s l w h e r e 田 厶f 眈圪 l 只f t h e o r e m8 i flw i t hat r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o nl otol s a t i s f yt h ec o n d i t i o n 1 2 3 t h e n d i mh 2 l f d i m u 妒 l s l o u 妒 l s l l d i mu 妒 l 一d i ml 1 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师指导下 进行 研究工作所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的 已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容 对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体 均已在文中以明确方式标明 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担 签名 瑕照改 珈争年石月k o 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集 保存 使用学位论文的规定 同意如下各项内容 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版 并采用影印 缩印 扫描 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提出了特征标高度的概念 1 o 3 定义 设l ol f i l 是f 上的一个分次李代数 对每个iez 设厶 il i r 对x l h o m f l f 定义x 的高度如下 h t x m i n iix l i o 张禾瑞教授在文献 l 中确定了w i t t 代数的自同构和它的不可约表示 沈光宇教授 在文献 6 7 8 中利用混合积确定了c a r t a n 型李代数l x m n x w s h k 的 阶化不可约模 x 矿 0 和x l 一 0 和滤过不可约模 x 矿 0 胡乃红教授在 3 2 3 3 1 中确定了c a f t a n 型李代数g m 1 1 的阶化不可约模和滤过不可约模 h o l m e s 和张朝文教授在文献 2 3 1 5 中利用限制李代数的概念确定了l x m 1 x w s 日 k 的特征标高度为0 和1 的不可约模 2 第一章引言 关于特征p 0 的代数闭域上李代数的上同调方面 g p h o c h s c h i l d 引进了限制李 代数的限制上同调风 l m 的概念 研究了通常的上同调与限制上同调的关系 得到 了 对于限制李代数 厶m 和限制l 模m 序列 一 成h i 厶l m m 一 h h 2 i l l m m 一 h o m f l m l l h o m f lh 厶m 1 2 一成 厶m 一日2 l m 一 1 厶m r 叫 是正合的 j f e l d v o s s 进一步得到了 等缦翟竺譬叶 l 删一 0 士1 士2 1 0 3 脚 m l 皇m l i m s l m 7 r 0 r 0 竹n 1 l m t 砩恤 咄 n 1 2 月 l m 2 月 l m e r c t u e l f 订 在模李代数的中心扩张方面 f a r n s t e i n e r 和邱森做了大量的工作 例如在 2 0 2 1 2 2 中 f a r n s t e i n e r 和邱森确定了除某些特殊的类型和特征p 2 外的几乎所有c a f t a n 型 李代数l x m n x 彬sh k 的h 2 lf 的结构 尽管限制李代数的概念在模李代数及其表示理论中起了非常重要的作用 但限制李代 数的条件较强 许多李代数都不满足这些条件 例如c a r t a n 型分次李代数l x m n x w s h k 只有当n 1 时才是限制李代数 舒斌引入了广义限制李代数的概念 1 0 4 定义 设l 是f 上的李代数 b e t t 是l 的一组基 且s s i i i s t n 若存在映射垆 b l e t e p 使得a d 4 a d e p vi i 则 厶b 称为广 义限制李代数 并证明了c a r t a n 型分次李代数是广义限制李代数 显然广义限制李代数的概念是限制 李代数概念的推广 设 l b 是代数闭域f 上有限维广义限制李代数 并设m 是不可约l 模 则 存在一个从l 到f 的映射x 使得 e t p m 一 群 m x e t p m ve i b m m 1 0 4 1 0 5 定义 满足公式 1 0 4 的l 模称为x 模 x 称为模的特征标 1 0 6 定义 设 l b 是代数闭域f 上有限维广义限制李代数 u l 是l 的普遍 包络代数 对给定的l 到f 的映射x 记由 鳄 一群 一x e t p 1 e t b 生成的u l 的理想为 b x 记u 妒 厶b x u l i b x 并记典范映射6 u l u l i b x d d 比 b p汹 0酣 p 圆 m m m 里这 3 在l 上的限制为6 l 一乱妒 厶b x 则u 妒 l b x 是结合代数 并有基 e 口 i 口 n 7 0 q i i y 6 咱 圆如倒 6 a m n 信1 理1 其中 y i 七lk y 七 z 验证了 1 0 1 0 定理 1 鹾是一个w 模同态 2 序列0 一q 5 蔓q f 旦 垒嘴一0 是正合的 3 d i m e q k e r 睽 p e t n 气1 4 第一章引言 在第二章第四节里 我们讨论了特征标高度为零的情况 由于h z r n 是w 2 r 1 1 的子代数 所以q 可以看作为日 模 从而我们研究了日一模q 和它的对偶模 q f 上的日 模同态 妒 铲 铲 7 x 于x 伊 得到了 1 0 1 1 命题 1 畎是一个日 模同构 2 1 x 6 x 6 x 7 x 爿r j 亍x 6 x 铲于x 3 7 x 否一x 一否一x r x 6 x 并且亍 x 6 x 一6 x 亍一x 否一x 4 6 x 6 x 一弘6 5 7 x 艿一x 庐 6 x 6 x r x 并且亍一x 亍j x 6 x 石一x 占x 亍一x 6 p f 歹 10 一q 磊堡q 磊一1 刍 旦q 一0 是正合 7 存在h 一模同构 k e r o x 醛 i m 雅l k e r 罐 一i m 罐n k e r 旺l i m 铲雅1 8 k e r o x 鹾 i m 6 矗l k e r 罐 i m 瞄l l c e r 罐 并且对于日一模q q k e r o x 稚 q k e r 伊鹾 i m 谯2 和q a i m r k 一2 证明了 1 0 1 2 命题 1 当0 七 r 时d i m 噬 p r i n t m 二 且对满足x d i 0 的任一f 1 f 2 r g y a o d x rin a m n y n l y j 7 隹 y 是q 的一组基 其中 牙是z 在典范映射q 一q 下的象 2 当0 尼 r 时d i m q i p l m m k 一 1 1 1 f 2 r b k 可 口 圆如1n a m n y 基 其中蚕是z 在典范映射噬一嚷下的象 一 m k 一 2 1 且对满足x 皿 0 的任一z r 七 仡 y 0 f y f 7 是q 的一组 3 当0 七 r 时 q 兰z x c 巩 并且a i m f i z p p m 一 墨 且 r n 如 1 2 七 生成q 其中i 是z 在典范映射q z q 下的象 最后我们证明了 1 o 1 3 定理 当1 七 r 时 q 是具有例外权仍k 的不可约u 妒 日 x 一模 且q 笺q 在第三章里 我们考虑满足条件 1 k 是l 的子代数并且k 是a d l 幂零 2 r 是一个环面并且有一组基岛 l k 和一组正整数8 1 s 使得 a d l 鬼 p l a d l h t i 1 2 r 3 t l 士 l 士 的李代数l l 一0 t 0 以的积分元和中心扩张 我们将利用李代数l l o r o 所满足的条件 1 2 数结构 厶现 妒 并且证明己具有一组有序基既 z l 使得 k 巧 七 m f jl 卧 协 k m a x i j 口七z 七 靠讥 3 给出 个广义限制李代 z t j i l l h r y l 纨 卧 c k x k 西m e y 这里n 七 b k c k d t e 口 f 利用这组有序基 我们证明了 1 0 1 4 定理 元素 观 矿 1n 一啦 庐 一1 1 1 秒r 1 是广义限制普遍包络代数u 妒 l 的一个积分元 并且得到了 1 o 1 5 定理 如果l 是一个广义限制李代数并且陋 纠 l 则 h 2 l f 笺吃 l f h o m f l f 而且 月暑 己 f 竺 u 妒 l s 工 o 妒 l s l l s l u 妒 l s l o t 正妒 l s l 这里月 己 f 眈圮 ef 更进一步 我们证明了 1 0 1 6 定理 如果l 具有三角分解l otol 满足条件 1 2 3 则我们有 d i m h 2 l f d i m u 妒 l s l 圆 u 妒 l s l 一d i m u i p l 一d i m l 1 5 第二章h a m i l t o n i a n 李代数的一些不可约模 2 1 本原p 包络和自同构 在这一章中f 都是指特征p 0 的代数闭域 记n n l n m 其中n l 都是正整数 并记 p n t 一1 矿 一 1 矿m 一1 设a a 1 眈 o m b b l b 2 6 m z m 若对所有1 i m 有a i 6 i 则记a 6 若a b 且n b 则记a 五皿l 五 a m n cd e r 2 m n 其中d z 8 z 口 e i 毛 6 l 面 i 根据文献 1 3 w w m n 有一组基 b w z 4 d t10 n i 1 2 m 设 s p a n x a d i i a i 歹 1 则 w 0 嘶司是分次李代数 令姒 f i 嘶 i z 定义映射m b w n 及映射 妒 b w 如下 m c z 口 t 兰 i3 妒c z n t 口 m 兰 蓁 其中d 纠是d e r 2 l m n 中导子d 的p 次幂 由广义限制李代数的定义知 彤b w 妒 是广义限制李代数 设t 妒 彬x u w j b w 妒 x 其中i b w 妒 x 是u w 的由 扩 l 一妒 z 一x z p m z b w 生成的理想 则由定义1 0 6 知u 妒 彤x 是 彤b w 妒 的x 一广义限制包络代数 固定m 2 r r 1 定义线性映射d u 纽 2 7 n 一w 2 r n 为 d h f e 仃 z 取 d i 其中 i r r i 妻 仃c t 二1 i 至r i 一 r 一 i 一1 n 则h a m i l t o n 代数h h 2 r n s p a n d h x 口 10 n 是w 2 r n 的李子代 数 在h 上有 个自然 标准 分次日 0h i l l 其中q t l s p a n o h x 口 i i a i 2 7 8第二章h a m i l t o n i a n 李代数的一些不可约模 对每个i z 令见 捌乩1 记 町 n o 以及 b 其中i 一 i j i1 i 歹 r 或7 i j 2 r i t j i1 i 歹 7 或 r i 7 j 2 r 则可定义q o 的三角分解 幽 町o bon o 易知白是h o l 的极大环面 n 0 畸 是白 n o b 町 的幂零理想 记n n o h 1 及 b b n 定义映射m b n n 及映射妒 b n h 如下 m c 日c z c d h i 口a l i 1 妒c 日c z a 日 三口 m 兰 i 则 日 b h 妒 也是广义限制李代数 设u 妒 日 x u h i b h q o x 其中i b h 妒 x 是u h 的由矿m 一妒 z 一x z p m z b h 生成的理想 则由定义1 0 6 知t i p h x 是 日 b 日 妒 的x 一广义限制包络代数 易知 日 x 是一个h o p f 代数 我们将任一 h o p f 代数a 的所有本原元组成的集合记为p a 令p h p u 妒 日 b 则p h 是 日的本原p 包络 设 mt k 一1 h oofff d 乒l q i l t i 0 是d e r 2 t m n 的子空间 则 是d e r 2 t m n 的一个限制子代数 具有映射洲 d d m 满足a d e p b d a x l e t p d 因为 是无中心的 且p h 竺 从而p h 是 一个无中心的限制李代数 见文献 1 0 2 1 1 命题 p h g p h i k 是一个分次李代数 其中 p p 2 矿 1 当 一七 p t 时 d f 七 d 掣 p h 嘲 凳 6 一h l k 最lf f 七 k 一1 1 c 七 一2 儿 s 2toc 隹 证明 当七 f i 我们有下述命题 2 1 3 命题 a u t p h a u t 尸 ka u h p h 证明 由文献f 1 4 可知 a u t h a u t hka u t l h 而由文献 1 0 命题2 6 知 对任意 讥 a u t 日及1 f l a u t l h 讥和妒l 能唯一地扩充成a u t p h 的元素 分别记做石 和石 现在我们证明石 a u t p h 和石 a u t l p 日 首先 对所有i 一1 讥 p 日 t 讥 h n 马司 对任一研 日一c l 且c 2 我们需要验证磊 研 日一c 1 令c p q 1 岛 啦一1 则 而 研 石o d i p j 磊 现 f p t 讥 觑 p 勺 2 1 2 由妒 a u t h 及现 q l 可知讥 取 q l 因此存在d k q 一1 1 使得 讥 d i d k 2 1 3 由 2 1 2 及 2 1 3 可知 若磁 0 我们有 v o d f 讥 d m d m d 尸l c j 1 0 第二章h a m i l t o n i a n 李代数的一些不可约模 从而而 a u t p 日 其次 对i 1 p 日 i 凰 因为砂l a u t l h 我们有 石一1 p h p 日 t 砂l 一1 h h i h 1 i 当1 啦一1 时令c p t j 我们有 石 i p h 吩醚 m 1 即 紫 酗踟纠 叫 2 1 4 砂 皿 6 p j 一砷 t j r吖 而由讥 a u h h 可得i b l d i d l 凰 因此存在y i i o 使得 砂1 d 酬 d t m j 妒 剪f p l p t j i s 慨3 2 1 5 其中s 历 y 是t t 是u h 上未定元 在展开式 现 矿 p j d r 旷 矿 窖f 1s i d i u t 中的系数 再由 2 1 4 和 2 1 5 可得 砂l 一1 p 1 p h 一 p h i 一 因而砂1 a u t i p h 现对任意圣 a u t p h 由于日是不可约的 从而h h h p 日 p h 日 所以圣 日 圣 p 日 p 日 睁 p 日 西 p 日 f 尸 日 p 日 h 因此一定 有西1 日 a u t h 因为a u t h a u t hka u t l 日 所以存在圣l a u t h 圣2 a u h h 使得垂1 日 圣1 圣2 又由前一部分的证明可知圣l 和圣2 可唯一地扩充成a u t 尸 h 和 a u t l p h 的元素 分别记作西1 和西2 从而存在垂 a u t p h 使得西 西1 西2 并 且西1 日 圣1 由西l 和圣2 扩充的唯 性可知圣 垂 所以a u t p h a u t p 日 k a u h p h 因为p 何 是无中心的 故每个圣 a u t p h 是限制的 即对每个z p 日 有 西 z i p l 圣 z 6 p 1 从而对x p 日 西 a u t p h d p 日 群a u t p h 通过 矿 d x 圣 d 作用在集合p 日 上 设圣 a u t p h m 是 个p 日 一模 将m 圣记为底空间是m 的p 日 一模 且 p 日 在这个模上的作用由z m 西 m 给出 其中z p 日 m m 易证m 垂是 不可约的当且仅当m 是不可约的 若m 有特征标x 则m 西有特征标x 圣 若x p 日 且圣 a u t p h 则由静广义限制包络代数的普遍性可知 t 尸 日 矿 垡u p 日 x 因此 具有特征标x 圣的p 日 一模与具有特征标x 的p 日 一模一致 在 下面的讨论中 对任意的西 a u t p h 我们将西i p 日 或c e u 仍记做西 2 1 4 定理 设x p 日 1 若圣 a u t p h 则h t x 圣 h t x 2 若h t xs1 则存在西 a u t p h 使得矿 0 证明 1 因为a u t p h a u t p h ka u t l p 日 直接验证圣 a u t p h 及垂 a u t l j p h 这两种情况即可 2 2h 2 r n 的诱导模和不可约h 2 r n 一模 2 设c s p 2 f c s p 2 r f 则c l i e c 且1 1 0 c 筌凰0 1 设矽 x l 由文献 3 1 可知 存在g c 满足 g 妒 n o 0 其中 g 妒 u 矽 a d 9 1 u 又由文献 1 4 知 存在圣 a u t p 日 使得对每个z c 满足圣 z g 1 x g 从而 x 口 n o x 圣 n o x g 一1 h o g 砂0 1 h o g 妒 a d 9 1 n o g 砂 n o 0 根据 1 h t x 垂 h t x 1 因而x 雪 p 日 1 0 故矿 0 i 2 2h 2 r r 1 的诱导模和不可约h 2 r n 模 在这一节中我们进一步假设数域f 的特征p 5 设m 是一个b 模 a f 2 7 是一 个2 r 维向量 令 众 m mlh i m m 1 i 2 r 因为 d h x e i 4 e 1 1 h 所以一个非零向量a 仅当对每个1 i 都有入 凡时才是权 众中的任一元素 都是 权入的 权向量 对非零元m 慨 当 m 0 时 称m 是 权入的 极大向 量 2 2 1 引理 设x h 叉是x 的扩张 且满足叉 0 设m 是一个u p 日 叉 模 则下列条件等价 1 m 是非零的 且可由它的每个极大向量生成 2 m 是不可约的 证明 假设 1 成立 并设m 是m 的一个非零子模 取定m 的一个不可约b 一子模 s 因为n 0 是白 n o 的p 幂零理想 所以 是b 的p 幂零理想 因为s 有特征标 叉 且叉 0 从而对每个z n 存在某个z n 使得 s x n s 0 因此 s o 见f 1 3 推论1 3 8 由此可知 s 是不可约的b 模 因为b 是交换的 从而 s 一定是一维的 见f 1 3 l 引理1 5 6 故存在非零m s 使得s f m 显然m 是极大 向量 由假设可知m 生成m 因此 m 从而 2 成立 由定义可知极大向量一定是非零的 故由 2 推出 1 是显然的 对任意缸 p 日 o 叉 模m 诱导u 尸 日 一模z 寅 m 定义为 z x a u p 日 圆u p 日 o 戈 m 由p b w 定理 任一口 z x m 可表示成t d 口 圆m o 其中竹k m a e a m n d n 兀i0 7 2 2 2 命题 设叉 p 日 且h t 叉 1 并设m 是不可约u p 日 模 则存在某个不 可约缸 p h 1 0 1 叉 一模s 使得m 是雳 s 的同态象 证明 设s 为m 的一个不可约t l p 日 o 叉 一子模 因为p g h 是p h o 的理想 所以由引理2 2 1 的证明可得到p 日 1 在s 上的作用是平凡的 由此可知s 是不可 约u p h 1 0 1 又 模 包含映射s m 是一个u 尸 日 f 0 1 叉 一模同态 因而可诱导一个 t p 日 模同态z 又 s 一m 由于m 是不可约的 所以这个同态是满的 1 2 2 2 3 引理 在代数u p 日 中公式 第二章h a m i l t o n i a n 李代数的一些不可约模 日 z c b c 口 一 c i 兰 c 俨c z c 扣c c a 7 始终成立 证明 定义如 y y x l z y x y 则k 一比 a d z 易知 因此 l d i r d j r d j l d t l d t l d j l d j l 皿 r d l r 岛 r d j r d d h z d 口 盯 i z b d d t n 膨 i l j l 2 r2 r 盯 i l d j a d d 叼 z 6 引d i d l 2 r 仃 i j l 2 r n 1 c j l d j q 一勺 a d d j 勺 z p 吖慨d i 1 j lc j s 勺 c 口 一 尸 d c a c d h z 6 一c 2 2 4 引理 设秒 d 口 圆m 口是z x m 的权入的权向量 则m 口是权a n 的 a 6 a m n 权向量 其中a n t 九一盯 i 锄一o i 证明 由于 是z x m 的权a 的权向量 所以对于b 的基 d h x e i e 一 li 1 2 2 r 有 u 凡t fd 口 圆 m 2 2 1 a e a m n 首先假设1 isr 由引理2 2 3 可得 h 舢 d 日 z 针印 d n 固仇口 a f a m n f f 一 一 a f a m n c 之o a e a m n 一1 c i 兰 d c z t e 一c 钉亿口 口 日c z 忙t 毛 qm 口 a e a m n a e a 1 产 三 胪咱 即 m n 1 i e t i 品 z 口一 一 上 h z e 圆钉亿口 2 2h 2 r n 的诱导模和不可约h 2 r n 一模 d a 乜圆m 口十 口t d 口呻t d 圆m 一 毗 d d 一即 职 m 口 a m r t a e a m r 1 a e a m n d 屯 m 一训 a m n 结合等式 2 2 1 及 2 2 2 我们可得下述公式 乜 m 口 a 一啦 口t m d 其中盹 m 1 i r 在 i 2 r 时可得到同样的结果 因此m 是权a q 的权向量 一 对0 七 2 r 设 i u 七 一 白 吼 t 1 0 k 墨r r 七 具有例外权u dk 0 1 r 的极大向量的不可约h 2 t n 一模将在第3 节和第4 节中考虑 到目前为止 m 口和d o 都是定义在a a m n 中的 为了方便以后的讨论 我 们将定义扩充为 若a z m 且口 i n 杪 一1 p t h 一1 则m a o 若口 a m n 且a i 0 令r n 口一e x d 矿 m d 矿k 一1 毛 对任一a z m 存在唯一的o 0 a m n 及n 1 2 严z m 使得n a 0 a 1 从 p h x 的定义 我们有d 口 x d 口1 d 扪 2 2 5 定理 设x p 日 且满足h t x 墨1 设m 是u p h o i x 模 u z x m 是 权a 的极大向量 若x 晴 0 或者m 不合例外杈的极大向量 则t 1om o 其中 m o m 在证明这个定理之前 我们先证明一些引理 2 2 6 引理 1 当2 t 矿t l 且7 i 2 r 时 或当3 t 矿一1 时 有 b o i2 吲挣帆 2 k 0 f1 州 k 一 2 一 玩 1 a 6 民 十盯 t 7 k 1 仃 t 饥 1 以 m 6 t 1 d h x 2 e 1 m 印 3 对j 垡 i i 一 6 t 1 d h x e e e j m c t 盯0 7 垒匕掣咻2 e t 一留一 1 d h z 豁 m e 盯 i 幻 1 b j 1 m b e 矿 一如 0 4 对歹隹 l i b l i d h z i 勺 r r l b e t b i i d h z 矗 勺 m 6 盯 j 玩 1 玩 1 m 6 叼一 岛 1 一a 6 勺x 一口 i 玩 a i b i 7 功件勺 0 七 l i l 一七 中其 1 4 第二章h a m i l t o n i a n 李代数的一些不可约模 5 若1 i j 则d u z 目 勺 m b 一 玩 1 r o b 旬一勺 一 b 1 m 勺一e t 0 6 若 i j 2 r 则d h0 慨 勺 仍b 慨 1 m 一叩一 b 1 m 弭勺一印 0 证明 1 假设所给条件成立 我们有d h z 蛾 n 因此 利用n v 0 及引理2 2 3 可得 0 d 日 z c 蛾 h d h z d b o m d a e a m n t 1 da t 1 i d h 鲫b 2 t 蚴d a t 2 e t d h 删 m 口 q 2 2 嘶 1 2 沙 t 1 e e 1 固 1 m a 一1 卜2 d a t 2 e t 2 d 耳 o 缸 m 口 其中d 日 z c 印 一a i d t 记n a 1 口 i 0 2 m d e q w fd d 一 t 一1 e i 托 on d fd 口一 印幅 j j 一 a e a m n a ea m n n t 2 一1 n t l n t p 一l fd b 一 一1 即一o 一1 岛 又 d 矿 n 口 a e a m n n i t 1 a i p t 一1 d 6 叉 n 一眦 t 1 印 1 s b e a e a m n 6 s p 1 t b i 0 d 伯 圆阱 h 一 b f a q a m n 6 矿 l t 6 i 0 2 2 3 2 2 4 2 t 2h 2 r n 的诱导模和不可约h 2 r n 一模 其中b a 一 t 一1 一 矿 一1 t 对公式 2 2 3 右端的第一个和式做指标平移 得到表达式 因此 d 6 r i b 炫 z 一 o b e a m n 0 d 沪 卜啦m n a d p 圆m t 吨 a e a m n b e a m n 对公式 2 2 2 右端的最后一个和式做类似的指标平移 则公式 2 2 2 可改写成 0 d 汀 z 拓 口 萎 d 6 嘲删 1 幻t 1 州 k k a m n 1 t 2 l i2 喇红 帅叫 因此结论成立 2 因为d h x 缸t 托 n 所以利用 v 口 0 及引理2 2 3 可得 0 1 5 d h x 仁汁毛o t d h x 陋 印 d 忙 om 口 三一 护 喇甜印 m n 三 芸 沙也t 喇印 m 口 三一 三 扩t 喇引炯口 引a e ae m a 加 喇 胁口 一胪吖 固 t d 日 汁印 m 口 佃似吖 m d 一 d 口一 t 圆0 d h x 拈i m 口 盯 i d o 引p 口i 口t m a 圳n 叫 讲 0 t m a 归似叫 考 m zd 口 叫圆n i d h x 协 傀 a i d 叫 圆叩r m 口 伊吲 6 1 坤怕 i m b e l o i 玩 1 m 旬 一 b i d h x 拈t 7 n b 即 盯 i 饥 1 b i m b 矗 故结论成立 1 6 第二章h a m i l t o n i a n 李代数的一些不可约模 3 因为d h x 2 e v 勺 n 所以利用n v 0 及引理2 2 3 可得 0 d 日 z 拈 可 t n a d 日 x 2 e v 勺 d 口 圆m a 一 品 沙 蹦扣 e 一 圆舰 三一 驴卜训蹦牌 咐 a e a 2 0 d a 2 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