第7章线性离散系统的分析与校正习题解答.pdf

第 7 章 习 题 第 7 章 习 题 7 17 1 试求下列函数的 z 变换 T t ate 1 2 23 e tt e t 2 1 3 s s sE 2 1 3 4 sss s sE 解 1 0 1 1 1 k kk az z az zazE 2 3 2 2 1 1 z zzT tZ 由移位定理得 33 332 33 332 32 1 1 T TT T TT t ez ezzeT ze zezeT etZ 3 22 111 sss s sE 2 1 1 z Tz z z zE 4 21 210 s c s c s c sE 2 1 1 3 lim 2 1 2 2 3 lim 2 3 2 1 3 lim 2 2 1 1 0 0 ss s c ss s c ss s c s s s 2 21 1 223 sss 2 2 1 2 3 2TT ez z ez z z z zE 7 2 试分别用部分分式法 幂级数法和反演积分法求下列函数的 z 反变换 2 1 10 1 zz z zE 21 1 21 3 2 zz z zE 1 解 1 2 1 10 zz z zE 部分分式法 12 10210110 2 10 1 10 2 10 1 10 2 1 10 kk kTe z z z z zE zzzzz zE 幂级数法 用长除法可得 L L 3 70 2 30 10 703010 23 10 2 1 10 321 2 TtTtTtte zzz zz z zz z zE 反演积分法 12 10 12 10210110 210 1 10 lim Re 10 2 10 lim Re 0 2 2 1 1 1 1 kTtte kTe z z zzEs z z zzEs k k kk n k z z k k z z k 2 222 1 1 13 12 13 21 3 z zz zz zz zz z zE 部分分式法 00 2 22 32 3 2 13 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 31 kk kTtkkTtkT T te tt T te z z z z zE zzz z z zE 幂级数法 用长除法可得 L L 3 9 2 7 5 3 9753 12 3 321 2 2 TtTtTttte zzz zz zz ZE 反演积分法 12 1 1 1 3 lim 1 1 Re k s z k zzz dz d zzEskTe 2 32 1 3lim 1 1 kkzzk kk s 0 32 k kTtkte 7 37 3 试确定下列函数的终值 e 1 57 1 2 3 zzz z zE 21 1 1 2 z Tz zE 解 1 由终值定理得 13 1 57 lim 57 1 1 lim 1 lim 2 3 1 2 3 11 zz z zzz z zzEze zzz 2 21 1 1 1 1 1 lim z Tz ze z 7 4 7 4 试用 z 变换法求解下列差分方程 0 0 1 8 1 6 2 1 kkckkr krkckckc 2 1 0 0 0 1 2 2 2 L kkkrTcc krkckckc 336211160 01120 c kc kc kc k ccc 解 1 令 代入原方程可得 Tt 0 Tc 对差分方程两端取变换 整理得 z 1 4 2 1 86 1 2 z z zz zR zz zC 4 1 6 1 2 1 2 1 1 1 3 1 zzzz zC 46 1 22 1 13 1 z z z z z z zC kkk kTc4 6 1 2 2 1 1 3 1 2 对差分方程两端取变换 整理得 z 3 0 1 1 1 321 1 2 1 1 2 1 1 1 32 321 1 2 1 1 2 1 1 1 2222 1 1 4 1 1 1 4 1 4 1 1 1 2 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 Re 4 1 222 1 2 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 Re 1 1 1 12 1 k k k k kk z k z k z z k kk z k z k z z k kTt k tc k kTc k zzznz z z dz d z z z dz d zzCs k k zzznz z z dz d z z z dz d zzCs zz z z z zz zC 3 对差分方程两端取变换得 z 0 6 0 11 1 0 6 2 1 0 22233 zCzczzC zcczzCzzcczczzCz 代入初条件整理得 kkkkkk kc zzz zC zzz zzz zC zzzzCzzz 3 2 5 27 2 11 1 3 2 5 2 7 1 2 11 32 1 2 5 2 1 7 1 1 2 11 6116 177 177 6116 23 23 2323 7 5 试由以下差分方程确定脉冲传递函数 1 1 1 1 2 5 05 05 0 krekcekcekc TTT 解 对上式实行变换 并设所有初始条件为0得 z 1 1 5 05 05 02 zRzezCezzCezCz TTT 根据定义有 TT T ezez ez zR zC zG 5 05 02 5 0 1 1 4 7 67 6 设开环离散系统分别如图 T7 1 a b 所示 试求开环脉冲传递函数 T 1s zG 图 T7 1 习题 7 6 图 解 a 301 019 1z z51 40 1 1 2 0 1 1 1 15 2 z 22 0 zez z ez z ss Z ss ZG TT b 301 019 1 8 024 0 1 1 15 2 22 0 zz z ez z ez z s Z s ZzG TT 7 77 7 设开环离散系统如图 T7 2 所示 试求开环脉冲传递函数 zG 图 T7 2 习题 7 7 图 解 5 2 1 1 10 5 2 10 1 G z 1 sss Zz sss e Z s 5 1 15 1 2 1 6 11 10 1 1 10 sss Z z z 3 5 3 2 3 2 3 5 1 1 3 21 3 5 1 3 2 3 5 1 1 52 75252 5252 TT TTTTT TTTT ezez eeezee ez z ez z ez z ez z z z z z zG 7 87 8 试求图 T7 3 所示各闭环离散系统的脉冲传递函数 z 或输出变换 z zC a b 5 c d e 图 T7 3 习题 7 8 图 解 a b c d 6 e 应用叠加原理有 7 97 9 设有单位反馈误差采样的离散系统 如图 T7 4 所示 连续部分传递函数 G s ss 1 5 2 输入 采样周期 试求 1 ttr sT1 图 T7 4 习题 7 9 图 1 输出变换 z zC 2 采样瞬时的输出响应 tc 3 输出响应的终值 c 解 1 1684 02966 261747 4625 9596 09933 3 61 4 1 25 61 4 1 1 25 61 4 1 5 1 1 5 1 5 1 23 2 52552 525 52 55 5 5 2 2 zzz zz zezeezz zeze zG zG z ezz zeze ezz ez z z ss ZzG 2 432 1234 1 0 15970 03838 2 8472 8991 05860 006736 0 15970 45850 8421 235 z C zz R zz z zz zzzz zzzz 2 0 1597 0 4585 2 0 842 3 1 235 4 c ttTtTtTtT 3 判断系统稳定性 7 06397 97 1 09533 4 1 3 1684 02966 261747 4625 23 DD n zzzzD 奇数 列朱利表 0 z 1 z 2 z 3 z 1 0 1684 26 2966 46 1747 25 2 25 14 1747 26 2966 0 1684 3 624 97 1149 94 649 64 64 64997 624 251684 0 20 30 不稳定 有特征根落在单位圆之外 系统不稳定 7 117 11 试用w域下的劳斯稳定判据确定图T7 5所示系统在采样周期分别为0 1s和0 2s时稳定的K值范围 8 图 T7 5 习题 7 11 图 解 C z G z T z R z 1G z 10T 10T10T KKKKzKzKze G z Z Z Z s 0 1s1 ss10z1 ze z1 ze 1 210T10T10T zz KKee1 e0 时 2 zz 0 632K1 368 0 3680 w1 z w1 2 0 632Kw1 264w 2 7360 632K 0 T0 1s K的稳定范围为 K的稳定范围为 0K4 32 T0 2s 2 zz 0 685K1 135 0 1350 2 0 685Kw1 73w 2 270 685K 0 时 0K3 31 7 127 12 设离散系统如图 T7 6 所示 采样周期 T 1 s 为零阶保持器 而 h G s G s K ss 0 21 要求 1 当时 分别在 w 域和域中分析系统的稳定性 5K z 2 确定使系统稳定的 K 值范围 图 T7 6 习题 7 12 图 解 1 9 5 61 5 4 1 5 1 5 4 1 1 5 1 5 4 5 1 1 1 1 1 5 1 1 1 12 0 1 5 5 5 52 5 55 5 5 5 55 5 5 5 5 22 1 T T T T T TT T T T TT T T T T h e Kez e Kez e e z e KezzzD ezz e e z e K ez e z K ez e z z z z K ss K ZzzGG 当时 5 K 09663 03 2 zzzD 解根得 367 0 633 2 21 系统不稳定 以 1 1 w w z代入并整理得 208 001357 0 2 wwwD wD中有系数小于零 不满足系统稳定的必要条件 2 当K为变量时 006738 01919 0 006738 180135 0 2 KzKzzD 以 1 1 w w z代入并整理得 60945 00135 2 3838 09865 1 9933 0 2 KwKKwwD 由劳斯判据可得系统稳定的K值范围为 304 30 0 0 1 0 1 1 2 K eK eKe T TT 解得 T T e e K 1 1 2 0 K 增加会使系统变得不稳定 采样周期加大会降低系统稳定范围 7 14 7 14 计算图T7 7所示线性离散系统的静态误差系数 以及在输入r t 1 t t t 2 时 的稳态误差 设采样周期T 1s pv KKK 图 T7 8 习题 7 14 图 解 系统开环脉冲传递函数为 T Ts ez z z z z Tz z sss Zz ss eZzG 1 1 1 1 111 1 1 1 1 2 1 2 1 当 T 1 时 有 368 0 1 264 0368 0 zz z zG 判别系统的闭环稳定性 11 由可以得到闭环特征方程为 z G0 1 zGzD 展开得 其特征根分别为 均分布在 0632 0 2 zz 62 05 0 2 1 jz 1z 单位圆内 因此系统闭环稳定 0 1 lim 1 1 lim z 1lim 2 1 1 1 zGzK zGzK GK z a z v z p 当r t 1 t 时 稳态误差ess 1 Kp 0 当r t t 时 稳态误差为常数 此时 1 v ss K T e 当r t t2 时 稳态误差ess T Ka 7 157 15 试求图T7 8所示离散控制系统的阶跃响应脉冲序列 T 20s 图 T7 9 习题 7 15 图 解 12 Ts1 0 01T 0 0050 50 50 50 5 G z Z ezZ s s0 01 ss0 01z1 ze 0 01T0 2 0 01T20 20 22 0 5 1e 0 5 1e 0 09 z1 ze z 1e zez1 819z0 819 2 G z 0 09 T z 1G z z1 819z0 909 232 G z 0 09z0 09z C z R z 1G z z1 z1 819z0 909z2 819z2 728z0 909 23456789 z 0 09z0 254z0 47z0 715z0 962z1 19z1 381z1 52z 10111213141516 1 6z1 618z1 579z1 492z1 368z1 222z1 07z 171819202122 0 925z0 8z0 705z0 645z0 622z0 635z L C 阶跃响应脉冲序列如图 所示 010203040506070 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 Step Response Time sec Amplitude 图 阶跃响应脉冲序列 Matlab 习题习题 7 167 16 已知离散控制系统的闭环脉冲传递函数为 389 0392 0353 0 059 0468 0117 0 23 2 zzz zz z 试应用MATLAB命令绘制该系统的单位阶跃脉冲响应特性