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函数考点探究：一、变量与函数考点1：理解函数的概念，认识函数关系在一个变化过程中，有两个变量（如x、y），对于自变量（x）的每一个确定值，函数（y）都有唯一确定的值与它对应。如何判断函数关系：第一：是不是一个变化过程；第二：是不是有两个变量；第三：自变量每取一个值，函数有几个值与它对应。例1下面的表分别给出了变量与之间的对应关系，判断是的函数吗？如果不是，说明出理由1234536912151234571181215123212510-5-21234599999考点2：认识函数关系式中的常量、自变量与函数常量：在变化过程中，始终保持不变的量；变量：在变化过程中，可以取不同数值的量；一般地说，等式左边的是函数，等式右边的是自变量。例2指出下列函数中的自变量、函数和常量：（1）；（2）；（3）；（4）考点3：自变量的取值范围一般来说，用解析法表示的函数，自变量的取值范围就是使代数式有意义的范围。（1）分母不为零；（2）被开方数必须是非负数。例3求下列函数中自变量的取值范围：（1）；（2）；（3）；（4）考点4：函数值的讨论函数值随着自变量取值的变化而变化；反之，函数的取值也决定着自变量的取值。（1）自变量的每一个值对应着唯一一个函数值；（2）函数的每一个值对应着相应的自变量值。难点：当给出一个量的取值范围，求另一个量的取值时，要结合不等式（或不等式组）加以讨论。例4写出下列函数中自变量的取值范围，并分别求出当自变量取2时函数的值：（1）；（2）；（3）例5按要求填空：（1）在y=5x-3中，当x满足 时，y2。（2）在y=2-x中，若3x6，则y的取值为 。考点5：实际问题中函数关系式的列法及自变量取值范围的限制（一）函数式的列法：关键是要弄清各数量之间的关系（二）实际问题的自变量取值范围：不但要使得出的函数式有意义，还必须考虑到使实际问题有意义。（1）非负数；（甚至于是非负整数或正整数）（2）最大与最小的限制。例6汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围例7如图，长方形ABCD当点P在边AD上从A向D移动时，（1）试指出，哪些三角形的面积始终保持不变，哪些发生了变化？（2）假设长方形的长AD为10cm，宽AB为4cm，线段AP的长度为x cm，写出x的取值范围；写出线段PD的长度y（cm）与x之间的函数关系式；写出的面积与x之间的函数关系式。例8下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高；（4）关系式|=中的与函数考点探究：二、平面直角坐标系考点6：点坐标的特征（一）在平面直角坐标系中，任意一点都表示一个有序实数对；（二）根据点在平面直角坐标系中不同位置，具有以下不同特征：位置第一象限第二象限第三象限第四象限x轴上y轴上特征（，）（，）（，）（，）（a，0）（0，a）附：点在第一、三象限夹角的平分线，横坐标=纵坐标；点在第二、四象限夹角的平分线，横坐标纵坐标=0。例9按要求填空：（1）若点A（a，b）在第三象限，则点Q（-a+1，3b-5）在第 象限；（2）若点B（m+4，m-1）在x轴上，则m= .（3）若点C（x，y）满足x+y0，xy0，则点C在第 象限.（4）若点D（6-5m，m2-2）在第二、四象限夹角平分线上，则m= .（5）如果点，则点M可能在 象限（6）已知点在第二象限，则的取值范围是（ ）A B C D（7）已知点在第三象限，且为整数，则的值为 。（8）已知点在第四象限，则点在第 象限（9）已知点在第一、三象限坐标轴夹角平分线上，则x等于 ，y的值为 考点7：具有特殊关系的点的特征原来的点关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称（a，b）（a，b）（a，b）（a，b）例10按要求填空：（1）点M（5，-6）关于x轴的对称点的坐标是（ ）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（2）点N（a，-b）关于原点的对称点是坐标是（ ）. （A）（-a，b） （B）（-a，-b） （C）（a，b） （D）（-b，a）（3）已知点和点关于y轴对称，则a= ，b= .考点8：平面直角坐标系中的距离运算（常与勾股定理联系起来）点A坐标到x轴距离到y轴距离到O点距离到B（m，n）距离（a，b）dx=bdy=aAO=a2b2AB=（am）2（bn）2例11按要求填空：（1）在平面直角坐标系中，到x轴的距离为2，到y轴的距离为3的点有（ ）个。A、1 B、2 C、3 D、4（2）如果点A（0，0），B（3，0），点C在y轴上，且ABC的面积是5，则C点坐标为 。（3）已知点与点在同一条平行于x轴的直线上，且到y轴的距离等于4，那么点的坐标是（ ）A（4，2）或（4，2） B（4，2）或（4，2）C（4，2）或（5，2） D（4，2）或（1，2）例12如图，平行四边形ABCD的边长，若把它放在直角坐标系内，是AB在x轴上，点C在y轴上，如果A的坐标是（-3，0），求B、C、D的坐标.例13如图所示，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，B，C两点在第二角限内，OA与x轴的夹角为60，那么B点的坐标为_。函数考点探究：三、函数的图象考点9：正确理解函数图象与实际问题间的内在联系函数的图象是由一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x,y）代表了该函数关系的一对对应值。1、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；2、读懂两个量在变化过程中的相互关系；3、读懂两个量之间的变化规律。例14（常州市，2000）小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用15分钟返回家里图中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系是（ ）例15甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，请回答下列问题：（1）这是一次多少米赛跑？（2）谁先到达终点？（3）乙在这次赛跑中的速度是多少？例16如图，分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）A25m B2m C15m D1m（2002年重庆市中考试题）例17（吉林省试题，2002）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克04元将剩余土豆出售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆函数考点探究：四、一次函数考点10：理解一次函数、正比例函数的概念形如y=kxb（k0）的函数，称y是x的一次函数；特殊地，若b=0,即y=kx（k0）的函数，称y是x的正比例函数。易错点：忽视对k、b的讨论。 例18下列函数关系中（且为常数），（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6），是关于的一次函数有（ ）个。A3 B4 C5 D6例19下列函数关系中，是关于的正比例函数的有（ ）个。（1）；（2）；（3）正方形周长y和一边的长x；（4）圆的面积y与半径x；（5）长一定时矩形面积与宽；（6）15斤梨售价20元售价与斤数A3 B4 C5 D6例20已知函数，m为 时，函数是正比例函数。例21已知与成正比例（其中，是常数）（1）求证：是的一次函数；（2）如果时，时，求这个一次函数的解析式考点11：y=kxb（k0）的图象1、图象：一条直线；2、与坐标轴的交点：y=kxb（k0）交x轴于（b/k，0）,交y轴于（0，b）；y=kx（k0）过坐标原点（只有这一个交点），即（0，0）。反之，由图象与轴的交点在x轴的上方还是下方来决定的正负；交y轴于x轴上则例22已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积为24（1）求m的值；（2）当x取什么值时，？例23直线上有点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为 。考点12：y=kxb（k0）的性质k0时，y随x的增大而增大，从左到右直线上升。k0时，y随x的增大而减小，从左到右直线下降。反之，图象自左向右是上升还是下降可以决定的正负。例24已知一次函数，求；（1）为何值时，随增大而减小；（2）为何值时，函数图像与轴的交点在轴下方；（3），分别取何值时，函数图像经过原点；（4）若，求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标；（5）若图像经过一、二、三象限，求，的取值范围例25如果一次函数的自变量x的取值范围是，相应函数值的范围是，则此函数的解析式为 考点13：多个一次函数【y=kxb（k0）】图象的位置关系1、平行：几个k相等；2、相交：几个k互不相等。特别地，若几条直线交于y轴上，则b相等，交点坐标为（0，b）点；若交于其它地方，则交点坐标为几个函数方程的公共解。例26已知直线y=kxb与直线y=2x5交在y轴上，且平行于直线y=x3，则该直线为 。例27把直线y=kxb向上平移2个单位，得到的直线y=3xm与函数y=5x2的图象交于y轴上，则k= ，b= 。考点14：用“待定系数法”求函数关系式前提：1、一次函数的一般表达式：y=kxb（k0）条件：直线上任意两点的坐标；2、正比例函数（过坐标原点的直线）：y=kx（k0）条件：直线上除原点外的任意一点可变形为k=y/x；3、反比例函数（双曲线）：y=k/x（k0）条件：双曲线上的任意一点可变形为k=xy步骤：1、设（设出函数的一般表达式）2、列（根据已知点的坐标列出方程或方程组）3、解（解出方程，求出“待定系数”的值）4、答（将“待定系数”代入一般表达式中，得出函数的关系式）例28已知一个一次函数的图像经过和两点，则这个一次函数的解析式为 例29已知一次函数图像如图所示，那么这个一次函数的解析式是 。例30如图，温度计上表示摄氏温度与华氏温度的刻度，（1）用函数解析式表示摄氏温度y（）与华氏温度x（）的关系？(2)如果今天的气温是摄氏32，那么华氏是多少度？例31随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势试用你所学的函数知识解决下列问题（1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式；（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人？（2002年辽宁省中考试题）年份（x）200020012002入学儿童人数（y）252023302140例32如图表示，一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（2）轮船和快艇的行驶速度分别是多少？（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？（2003年哈尔滨市中考试题）函数考点探究：五、反比例函数考点15：理解反比例函数的概念形如y=k/x（k0）或y=kx1的函数，称y是x的反比例函数。特别地，它可变形为k=xy（也就是说，在同一个反比例函数中，每一组y与x的对应值之积为一定值，始终等于“k”）。例33下面函数中，y是x的反比例函数有（ ）个。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）A1 B2 C3 D4例34若函数是反比例函数，则m的值等于（ ）A1 B1 C D1例35如图，P是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式例36如图，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作轴的垂线，垂足为B；过C作轴的垂线，垂足为D记的面积为，的面积为，则与的关系是（ ）（2000年武汉市中考题）（A） (B)0时，x的取值为（ ）xyo-21Ax-4 Bx0 Cx-4 Dx0例45已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x0 By0 C-2y0 Dy0的解为 。4、利用特殊值化简或进行相应判断xyo1-1例47已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ）个。（1）a0，b0； （2）ab0；（3）ab0； （4）|ab|ab|=2bA1 B2 C3 D4（本题利用特殊值：x=1时，y=ab；x=1时，y=ba进行判断）5、利用图象求几何图形的面积在平面直角坐标系中求的面积，关键在于以在坐标轴上的一边为底，再利用的面积公式求解；若所求没有一边在坐标轴上时，则要利用有边在坐标轴上的来转换。（同量也涉及到点坐标的求法和点到坐标轴的距离）例48如图，一次函数y=x5的图像交x轴于点B，交正比例函数的图像于点A，且点A的横坐标为4，（1）求正比例函数的解析式（2）求AOB的面积。例49已知直线y=-x5与x轴交于点A，直线上有一点p，满足POA的面积为10，求点p的坐标。考点19：利用函数知识解决生活中的实际问题1、“分段性”问题这种问题在变化过程中，规律是动态的，在解决时应按以下步骤：（1）把具有相同变化规律的自变量取值范围看作一段，先分段建立函数关系式；（2）然后按要求分段进行处理。例50某自来水公司为鼓励居民节约用水，每月按用水量分段收费的方法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示。（1）分别写出当0x15和x15时，y与x的函数关系式；（2）若某用户该月用水21吨，则应交水费多少元？yxo39.5271520例51某市计程车收费标准如下：前5公里起步价为8元，超出5公里每公里多收费1.6元（不足1公里按1公里计算）。（1）写出收费y（元）与行程x（公里）之间的函数关系式；（2）分别求出行程为4公里、13公里的收费情况。例53某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，（1）分别求出和时，y与x的函数关系式；（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，则在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？例54（2002年吉林省中考试题）如图所示，菱形OABC的边长为4cm，动点P从O出发，以1cm/s的速度沿路线运动，点P出发2s后，动点Q从O出发，在OA上以1cm/s的速度，在AB上以2cm/s的速度沿路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线设P点运动的时间为x s，这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）的周长为y cm，请你回答下列问题：（1）当时，y的值是多少？（2）就下列各种情况，写出y与x之间的函数关系式：时，函数关系式为 。时，函数关系式为 。时，函数关系式为 。时，函数关系式为 。2、“决策性”问题此类问题，通常给出几个不同的方案，再根据实际的要求来作出相应的决策。解决此类问题的一般步骤：1、根据不同的方案，分别建立函数关系式；2、在实际要求中，分别计算出函数值；3、通过比较函数值的大小，确定相应的策略。例55（2002年哈尔滨市中考试题）哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1min，再付电话费04元；“神州行”不缴月基础费，每通话1min，付话费06元（这里均指市内通话）若一个月内通话x min，两种通讯方式的费用分别为和元（1）写出与x之间的函数关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？（3）若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式较合算？例56（2003年贵阳市中考试题）某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费（1）请写出制作纪念册的册数x与甲公司的收费（元）的函数关系式；（2）请写出制作纪念册数x与乙公司的收费（元）的函数关系式；（3）如果学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司？3、“规律性”问题某一量随另一量的变化而呈规律性变化的问题。利用函数思想是解决这类问题的一般步骤：1、列表；2、猜想（函数关系式）；3、得到规律；4、验证规律；5、运用规律解决问题。例57用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下的规律拼成若干个图案： （1） （2） （3）问（1）第4个图案中有白色地砖 块；（2）第n个图案中有白色地砖 块。4、“最值性”问题就是利用在实际问题中自变量受到的限制（可能出现最大值或最小值），来解决诸如“成本最低”、“利润最大”、“费用最少”的问题。一般步骤：1、列出函数解析式；2、根据实际问题，求出自变量的取值范围；3、根据函数的性质（一次函数的性质由k决定），在自变量的取值范围中，确定函数的最值。例58某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料50千克，右表是相关的数据：（1）设甲种饮料配制x千克，试求x的取值范围；（2）若甲、乙两种饮料每千克的成本分别为4元、3元，设两种饮料的总成本为y元，请写出y与x之间的函数关系式；并确定当甲配制多少千克时，成本总额最少。函数考点探究：二、平面直角坐标系考点6：点坐标的特征（一）在平面直角坐标系中，任意一点都表示一个有序实数对；（二）根据点在平面直角坐标系中不同位置，具有以下不同特征：位置第一象限第二象限第三象限第四象限x轴上y轴上特征（，）（，）（，）（，）（a，0）（0，a）附：点在第一、三象限夹角的平分线，横坐标=纵坐标；点在第二、四象限夹角的平分线，横坐标纵坐标=0。例9按要求填空：（1）若点A（a，b）在第三象限，则点Q（-a+1，3b-5）在第 象限；（2）若点B（m+4，m-1）在x轴上，则m= .