第17讲 勾股定理和勾股数组.doc

第17讲 勾股定理几何学有两大珍宝，其一是毕达哥拉斯定理，另一个是分一线段为中外比。前者我们可比之为黄金，后者，我们可称之为贵重的宝石。 开普勒知识方法扫描勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：即如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用。它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算是一种重要的数学方法。勾股定理的逆定理常用来证明两条直线互相垂直。经典例题解析例1已知ABC中，C=90，D，E分别是BC，AC上的任意一点求证：AD2+BE2=AB2+DE2分析 求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手证明 由勾股定理得AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例2（1988年上海市初三数学竞赛题）如图，在凸四边形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90，则DAB的度数是_ 解 连结AC，设AB=2k，则BC= 2k，CD=3k，DA=k.在RtABC 中，在ACD中,例3（2001我爱数学初中生夏令营试题）点D、E分别为ABC的边AC和BC上，C为直角，DEAB，且3DE2AB，AE13，BD9，那么，AB的长等于_。解 由DEAB，得记k，m，则有CE2k，CB3k，CD2m，CA3m。因C为直角，故由勾股定理，得CE2CA2AE2，CD2CB2BD2，即两式相加，有k2m2因此AB2BC2CA29k29m2于是AB评注 设比例因子k与m，可使线段用长度表出，以便利用勾股定理求出线段之长。 例4(2003第1届“创新杯”数学邀请赛试题)在直角三角形ABC中，C=90，I是ABC的三条内角平分线的交点，过I作IDAB于D，若BD=m，CD=n，那么ABC的面积为 .解 因I是ABC的三条内角平分线的交点，故I到三边的距离相等，作IEAC，IFBC，显然AIDAIE，BIDBIF，CIFCIB，于是BF=BD=m, AE=AD=n.设 CE=CF=r，因AC2+BC2=AB2，故(n+r) 2+(m+r) 2=(m+n) 2. 化简得 r2+mr+nr=mn. ABC的面积=(m+r)(n+r)=(mn+mr+nr+r2)=(mn+mn)=mn.例5( 2003年北京市中学生数学竞赛试题)一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等试确定这个直角三角形三边的长。解 设a，b分别为两个直角边，则斜边c=，由于a,b,c均为正整数，所以ab，不妨设ab. 依题意有 a+b+=，两边平方整理得：，消去ab，得。即 (a-4)(b-4)=8=81=42。由于a,b为正整数，ab, 则或所以a=12, b=5, c=13或 a=8, b=6, c=10.例6（2002年上海初中数学竞赛试题）若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m的取值范围是_。解 设RtABC（C90）的两直角边BCa，ACb，则BC边上的中线长为，AC边上的中线长为，依题意，得m， 即m2，亦即0。所以（4m21）（m24）0，解得m24，故m2。例7如图,AM是ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)证明 过A引ADBC于D由勾股定理，AB2=AD2+BD2=AD2+(BM+MD)2=AD2+BM2+2BMMD+MD2AC2=AD2+CD2=AD2+(MC-MD)2= AD2+MC2-2MCMD+MD2注意到 BM=CM， 故AB2+AC2=2AD2+2BM2+2MD2=2(AD2+MD2)+2BM2=2(AM2+BM2)评注 (1)如果设ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式,(2)涉及到含有线段的平方证明题，在初二的学习范围内，多是用勾股定理作为工具来证明的。在解答此类问题时所用的辅助线，最常用的是作三角形的高，有时还要用到某些几何变换，如平移，旋转，对称等等。例8（1978年中国科学技术大学少年班入学试题）设M是ABC内任意一点，MDAB,MEBC,MFCA,又BD=BE，CE=CF,求证:AD=AF. 分析 这里有很多垂线，很自然地想到勾股定理。证明 如图，连结MA，MB，MC。由条件中的垂直关系，有AD2 = DD12+AD12 = BD2-BD12+AM2-MD12 = AM2 +BE2-( BD12+ MD12)= AM2 +BE2- BM2= AM2 +BD2-( ME12+ BF12)= (AM2- ME12)+( BE2- BF12)= AM2- ME12+ EE12.同理可证 AF2 = AM2- ME12+ EE12，于是AD2 = AF2，AD=AF. 评注 更进一步，可以把已知的等式BD=BE，CE=CF改为不等式BDBE，CECF，结论则变为AFAD。同步训练一 选择题1(1993年吉林省初中数学竞赛试题)在ABC中，则ABC的面积为（ ）8m10m(A) 10 (B) 10 (C) 12.5 (D) 152(2002年四川省初中数学竞赛试题)如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（ ）（A）等于1米 （B）大于1米（C）小于1米 （D）不能确定3（2001年希望杯数学邀请赛试题）如图，正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AEa，AFb,且SEFGH，则=（ ） （A） （B） （C） （D）4（2002年澳大利亚数学竞赛试题）如图，PQR是一个直角三角形，它的斜边PR被点S及点T三等分，若，则k之值为何？(A) (B) (C) (D) 2 (E) 5（第十四届“五羊杯”数学竞赛试题）图中的正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE，BCF，CDG，DAH，则四边形AFGD的周长为（ ）。（A）422 （B）222（C）424 （D）224二 填空题6（2002年希望杯数学邀请赛试题）.RtABC中，ABC90，C60，BC2，D是AC的中点，从D作DEAC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是。7（2004年第二届“创新杯数学邀请赛试题）如图，等边三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在三条互相平行的直线上，其中的距离为1，的距离为2，AC与相交于D，则BD= 。8(1990年全国初中数学联赛题)在ABC中，ABAC2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，p100, 记mi=APi2+BPiPiC (I=1,2，100)，则m1+m2+m100=_9（2001年河北初中数学竞赛试题）在矩形ABCD中，DC5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30cm2，那么折叠的AED的面积为_。10（1995年福州市第三届初中数学竞赛试题）三角形三边长是一组勾股数，它的面积等于60，则它的周长等于 三 解答题11在ABC中，已知AB= 17AC= 15, BC边上的中线BD=4求SABC12求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍.13（1992年第九届缙云杯初中数学邀请赛试题）设a、b、c分别表示ABC中A、B、C所对边,h表示AB边上的高。 (1) 求证: a+b. (2) 说明: 当已知ABC具备什么条件时,上述结论中的等号成立?14在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D,E在BC上,且DAE=45, 求证：CD2BE2=DE2. 15（2003年全国初中数学竞赛试题）如图所示，在ABC中，ACB=90.（1）当点D在斜边AB内部时，求证： .（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.同步训练题参考答案1C如图，作AB的垂直平分线DE交AC于D交AB于E， ，连结BD，那么AD=BD 在RtBDC中，在RtABC中，解之，得 2B如图AB=10，AC=8，可得BC=6。梯子的顶端下滑1米到D，梯子的底端的滑动到E，梯长AB=DE=10。于是72+（6+BE）2=102，BE= 。3C 根据勾股定理a2+b2=EF2SEFGH 4SAEFSABCDSEFGH， 2ab= 得 （a-b）2=，4A如图，作SAQR，TBQR。=+5A如图，连AG，等腰ABF顶角为9060150，等腰FCG顶角为36090260150，又ABBCFC，所以ABFFCG，AFFG。同理AFAG，设AB中点为K，连GK，易见AKG为直角三角形，AK1，KG2，由勾股定理，得AG。四边形AFGD的周长为：AFFGGDDA2（）2242267如图，自A, B作AEl3, BFl3, 设等边三角形边长为x, 易得方程, 解之得x2, 故SABC, 又SABCBD3, 故BD. 8400如图，作ADBC，则BD=DC。设BD=DC=y，DPi =x, 则 .916.9cm2。由折叠的对称性，得ADAF，DEEF。由SABFBFAB30及AB5，得BF12。在RtABF中，AF13。所以AD13cm。设DEx，则EC5x，EFx，FC1。在RtECF中，EC2FC2EF2，即（5x）21x2，解得x。故SADEADDE1316.9cm2。10. 40设三角形三边为a,b,c,则有ab=120, 于是(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+240 (a+b+c)(a+b-c)=240注意到a+b+c 、a+b-c的奇偶性相同，及a+b+ca+b-c有a+b+c1206040302420a+b-c246 81012a+b613223191716因ab=120, 上表中仅a+b=23时有a=15, b=8的一组整数解，这时c=17, 它的周长等于4011延长中线AD至E，使DE= AD，连结CE ADBEDC 故CE= AB=17在AEC中，SABD = SEDC 12设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P联结BQ、DQ。由例7，在BDQ中，BQ2+DQ2=2PQ2+2(BD)2=2PQ2+BD22BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2 在ABC中，BQ是AC边上的中线，所以BQ2=(2AB2+2BC2-AC2) 在ACD中，QD是AC边上的中线，所以DQ2=(2AD2+2DC2-AC2) 将，代入得(2AB2+2BC2-AC2)+ (2AD2+2DC2-AC2) =4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ213 如图，AH是BC边上的高，设BH=x，CH=y，原不等式等价于：+ 即要证：+也就是xy+h2即要证：(xy+h2)2即 x2y2+x2h2+y2h2+h4x2y2+2xyh2+ h4即x2h2+y2h22xyh2, (xh-yh)20最后一不等式显然是成立的，逆推过去，不难证明原不等式成立。当x=y也就是ABC中，a=b时结论中的等号成立14如图, 将ABE绕点A逆时针旋转90得ACF, 则ACF=B=45, BE=CF, BAE=CAF. 又ACF=45, DCF=90. EAD=4