（理论物理专业论文）复标量场的拓扑规范理论及其在物理前沿中的应用.pdf

兰州人学研究牛学f 讧呛文 摘要 在这篇博士学位论文中，我们致力丁研究由段一士教授提出的争映射拓扑流 理论和规范势的分解理论。我们同样给出了在学爿这些理论期问关于这些理论一些 新的发展。这些发展包括了用这一理论研究甲期宇宙弦在四维空间的情况，包括了 用这一理论去研究n i e l s e n 和o l e s e n 场的理论，也包括用这一理论研究某些超导理 论。扣映射拓扑流理论和规范势的分解理论是研究物理系统拓扑结构的强有力的工 具。在这篇论文以前，这一理论已经成功的应用于磁单极的拓扑结构，拓扑弦理论， 拓扑分岔理论，g a u s s - b o n n e t c h e r n 定理的拓扑结构，c h e r n - s i m o n s 涡旋的演化，多 扭结系统的拓扑结构，b e c 问题的拓扑结构和超导中l o n d o n 方程的拓扑结构，等 等。 在第一章中，我们给出了简单的介绍和所必需的数学准备。主要的内容包括了 加映射拓扑流的一般性的理论和乒映射理论的分岔理论的一般性的理论。这一章 的内容是其他各个章节的基础。 在第二章中，我们研究了早期宇宙中的宇宙弦，我们首先给出了u ( 1 ) 规范势 分解的理论，然后我们利用标架场构造了具有u 0 ) 对称性的挠牢。不同于以前的 工作，我们通过这一挠率在四维空间中构造了张量拓扑流，我们发现这一张量拓扑 流在早期宇宙中可以形成世界面，这一世界面正是早期宇宙弦所扫过的。 在第三章中，我们研究了n i e i s e n o l e s e n 场论的拓扑。这一章包括、2 个主要部 分。第一部分，我们研究了n i c t s c n - o l e s e n 场论存非相对沦情况下的拓扑结构。发 现了在这一情况下n i e l s e n o l e s e n 场论中存在涡旋结构，并给出了涡旋的拓扑性质。 第二部分我们从c h e r n - s i m o n s 场论的观点出发研究n i e l s e n 局域场的对偶弦理论。 从c h e m s i n - o n s 场论我们构造了张量拓扑流，并通过使用这一张量流和仁映射隐 函数理论我们得到n i e l s e n 的拉氏函数和n a m b u - g o t o 的拉氏函数是等效的。 在第四章中，我们研究了超导的拓扑结构。这一章也分为两部分。第一部分，我 们研究了两组分的超导体。f a d e e v 和n i e m i 曾使用o ( 3 ) 一。模型来研究两组分的超 导体，我们的工作与f a d c e v 和n i e n f i 工作不同于，我们直接用毋一映射理论上研究 两组分超导体而没有用o ( 3 ) 一。模型，结果更加直接。我们也给出了两组分超导体 的拓扑结构。第部分，我们讨沦了共价键超导模犁，在用玻色描述的t j 模型的 第1 页 兰州人学研究牛学付论文 基础上我们给出了共价键超导模型的拓扑结构。 最后，我们给出了这篇论文的总结。 第1 i 页 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ed e v o t et os t u d yt h eo - m a p p i n gt o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r ya n dt h e t h e o r yo fd e c o m p o s i t i o no f g a u g ep o t e n t i a l w h i c ha r ep r o p o s e db yp r o f d u a n ，w ea l s o g i v et h en g wa p p l i c a t i o n so ft h et h e o r i e si i m l u d i n gt h a tw ea p p l yt h et h e o r i e st oc o s m i c s t r i n go fe a r l yu n i v e r s ei nf o u rd i m e n s i o n ，t on i e l s e n o l e s e n sf i e l dt h e o r ya n dt os o m e s u p e r c o n d u c t o r s 西一m a p p i n gt o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r ya n dt i l et h e o r yo f d e c o m p o s i t i o no f g a u g ep o t e n t i a la r ep o w e r f u lt o o l st os t u d yp h y s i c ss y s t e m b e f o r et h i st h e s i s ，t h et h e o r i e s w e r es u c c e s s f i d l yu s e di nt o p o l o g i c a ls t n m t u r eo fm o n o p o l c s t o p o l o g i c a ls t r i n gt le o r y , t o p o l o g i c a lb i f u r c a t i o nt h e o r y , t h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fg a u s s - b o n n e t - c h e r at h e o r e m ， t h ee v o l u t i o no fc h e r n - s i m o n sv o r t i c e i ，t o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fm a n yk n o t s ，t o p o l o g i c a l s t r u c t u r eo fb e c ，t o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fl o n d o ne q u a t i o ni ns u p e r c o n d u c t i v i t ya n ds o 0 n i nf i r s tc h a p t e r ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dm a t h e m a t i c a lp r e l i m i n a r yt h em a i n c o n t e n t sa r et h eg e n e r a it h e o r yo f & - m a p p i n gt o p o l o g i c a lc u r r e n tt h e o r y , t h eg e n e r a lt h e o r y o fb i f u r c a t i o no f 出m a p p i n gt h e s ec o n t e n t sa r et h eb a s eo fn e x tc h a p t e r s ， i ns e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h ec o s m i cs t r i n gi ne a r l yu n i v e r s e w ef i r s tg i v et h e d e c o m p o s i t i o no fu ( 1 ) g a u g ep o t e n t i a l t h e nw ec o n s t r u c tt o r s i o nw i t hu ( 1 ) s y m n m t r yb y u s i n gv i e r b e i n t h ed i f f e r e n tf r o mb e f o r ew o r ki sw ec o n s t r u c tt e n s o rt o p o l o g i c a lc n r r e n t i nf o u r d i m e n s i o ns p a c e w cf i n dt h i st e n s o rt o p o l o g i c a lc u r r e n tc a l lt b r mw o r ds h c w tt h a t t h ec o s m i cs t r i n gs w e e p si ne a r l yu n i v e r s e i nt h i r dc h a p t e r w es t u d yt o p o l o g yo ft h en i e l s e n o l e s e n sf i l e dt h e o r yt h ec o n t e n t s i n c h i d et w op a r t s ，o n ei sw es t u d yt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fn i e l s e n o l e s e n sf i e l dt h e o r y i nn o n r e l a t i v i t yc o n d i t i o nw ef i n dt h e r ei sv o r t e xs t r u c t u l ei nt h i sc o n d i t i o n ，w ea l s o g i v et h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so ft h ev o r t e x t i l eo t h e ri sw es t u d yt i l ed u a ls t r i n go f t h en i e l s e n sl o c a lf i e l dt h e m yf r o mt h ev i e wo fc h e l 。n s i n t o n sf i l e dt h e o r y w ec o n s t r u c t t h et e n s o rt o p o l o g i c a le l l r r e l i tf r o mc h e r n s i m o n st h e o r y a n dt h e nw ef i n dt h el a g r m l g i a n o fn i e l s e n st h e o r yi se q u a lt on a m b u - g o t o sl a g r a n g i a nb yu s i n gt h i st e n s o rt o p o l o g i c a l c u r r e n ta n d 击一m a p p i n gi m p l i c i th u t c t i o nt h e o r y 兰州人学研究牛学化沧文 i nf o u r t hc h a p t e r ，w es t u d yt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fs u p e r c o n d u c t o r t h ec o n t e n t sa l s oi n c l u d et w op a r t so n ei sw es t u d yt i l et w o - g a ps u p e r c o n d u c t o r f a d e e va n d n i e m iu s e dt h eo ( 3 ) 一口m o d e li ns t u d yt h et w o g a ps u p e r c o n d u c t o r o u rw o r ki sd i f f e r e n t f r o mf a d e e va n dn i e m i w ei i s ( j 扯m a p p i n gt h e o l yi ns t u d yt i l es u p e r c o n d u c t o rw i t h o u t o ( 3 ) - 口m o d e l t h er e s u l ti sd h e c t l yw ea l s og i v et h et o p o l o g i c 。ds t r u c t u r eo ft h et w o - g a p s u p e r c o n d u c t o r t h eo t h e ri sw ed i s c u s st h er e s o n a t i n gv a l e n c eb o n d ( r v b ) s u p e r c o n d u c - t i v i t y t h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fr v bs u p e r c o n d u c t i v i t yi sg i v e nb a s e do na b o s o n i c d e s c r i p t i o no ft h et jm o d e l f i n a l l y w eg i v et h ec o n c l u s i o n so ft h i st h e s i s 第1 v 页 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 开究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 赛据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 丑含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 畏做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：皇丛卷 日期：丛! 互车生日 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅：本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名： 盟导师签名：乒 日期：丕! 逝生d 兰州人学研究，+ 学他沦文 第一章简介和准备 广义相对论和量子力学的出现使得物理学进入了一个新纪元，同时也给物理学 家带来新的机遇。广义相对论和量子力学足现代物理学的两个重要的基石。广义相 对论赋予我们新的观点去理解时间和空间的关系，这种观点完仝不矧于牛顿时空 观。广义相对论已经成为研究现代宇宙学的强有力的工具捌。作为现代物理学另外 一个基石的量子力学在研究微观物理系统中已经成为重要的角色f 3 l ，例如电了和 原子核系统等等。量子力学最重要的发展是量子场论的出现。量子场论是研究粒子 物理的强有力的系统理论。1 9 5 4 年，杨振宁和m i l l e s 在研究原子核的同位旋的时候 提出了s u ( 2 ) 非阿贝尔规范势理论f 4 】o 于是人们发现规范场可以有不同的内部对 称性，具有内部对称性的规范场可以看成不同粒子相百作用中的介子场，例如，描 述电磁相互作用的规范场是具有u ( 1 ) 内部对称性的。从这一重要的观点出发，物 理学家成功盼利用s u ( 2 ) u ( 1 ) 规范场理论统一了电磁相互作用和弱相互作用 并且s u ( 3 ) 规范理论也成为了研究q c d1 6 】6 的最自然的理论结构。关于量子场论 的一些重要的发展过程是这样的：1 9 6 4 年，h i g g s - k i b b l e - b r o u t e n g l e r t 提出了规范 场的自发对称性破缺机制【7 8 。这一机制成功地解决了规范场不能具有质量的重 要问题。1 9 6 7 年，物理学家f a d d e e v 和p o p o v 通过用路径积分的方法找到了规范 场量子化的途径，这种方法就是f a d d e e v p o p o v 规范场路径积分方法| ! ) - l0 】。1 9 7 0 年，v e l t m a n 和t h o o f t 证明了规范场通过自发对称性破缺机制获得质量的理论是一 套可莺整化的理论| 1 1 1 。 另一方面，几何学和拓扑学在数学和物理学中发挥的作用越来越火，并且关丁 这一方面人们已经做了大量的工作1 1 ，3 5 ，4 3 4 4 ，4 5 ，4 6 ，4 7 1 从数学的观点来看( 主 要是微分几何) ，规范场就是微分几何中主纤维丛上的联络。这些工作的一个方面是 我们可以在儿何学和拓扑学的理论框架内研究和规范场相关联的物理系统的整体拓 扑性质。段一士教授使f = i j 规范场的分解理论和毋一映射拓扑流理论研究物理系统的 整体拓扑性质已经获得了报大的成功f 1 4 2 4 2 5 ，2 6 4 8 j 。通过在物理系统中使用这 一理论，我们发现物理系统的整体拓扑性质与相应物理系统序参数的零点有着重要 的联系，也就是说系统的物理性质和其序参数的6 函数有着重要的联系。这一理 论在许多物理系统中有着广泛的用途。这些物理系统是：规范场的分解理论和咖映 第l 页 兰州大学研究牛学似论文 射拓扑流理论已经被汪明在研究磁单极的拓扑流问题【1 7 】，弦的拓扑理论f 2 0 l 连续 介质的位错和旋错的问题f 2 9 ，2 2 l ，早期宇宙的时空缺陷的拓扑结构和拓扑分叉理论 f 3 0 ，2 3 ，3 9 】，刳丑结系统的拓扑结构的问题【1 2 1 。g a u s s - b o n n e t c h e r n 理论的拓扑结 构的问题f 2 l ，l g l ，分数和整数量子雀尔效应中的拓扑问题f 1 8 ，3 1 】，太阳黑子的电密 度问题 4 l 】，超导体的伦敦方程的拓扑结构f 2 8 ，l o l 】，b o s e e i n s t e i n 凝聚中旋量的拓 扑结构【1 3 l ，光束的波分义线的研究1 2 7 l ，p - b r a a l e s 的拓扑流问题【1 6 】，c h c r n s i m o n 8 涡旋的演化问题 3 6 1 ，复玻色子场中孤立子的演化问题【3 2 】，和g b c 定理以及m o r s e 理论的内部结构f 3 3 1 等问题中发挥着重要作用。 在这篇论文中，我们是如下章节安捧的。第一章，我们给出了曲一映射拓扑流 理论和庐一映射拓扑理论的分叉理论中所需要的数学知识以及西一映射拓扑流理论 和西一映射拓扑理论的分又理论的一般性的理论。然后。在规范势分解理论和西一 映射拓扑流理论的基础之上，我们讨论了以下问题：第二章，通过使用标架场，我们 在三维空间构造了具有u ( 1 ) 对称结构的挠率弦。进而我们发现这种挠率弦在四维 时空中可以形成世界面，这一世界面可以看成是挠率弦在空间运动扫过形成的。第 三章，我们讨论了n i d s e n o l e s e n 弦理论的拓扑性质。首先，在u ( 1 ) 规范势分解理 论和曲一映射拓扑流理论的基础上，我们讨论了n i e l s e n o l e s e n 弦理论在非相对论 近似情况下的的拓扑结构。其次，从c h e r m s i m o n s 理论的观点出发，我们运用母一 映射拓扑流理论研究了四维时空中n i e l s e n 场论中的对偶弦理论，最后我们得到了 和n a m b u - g o t o 相同的结论并且我们没有使用任何假设条件。在第四章，我们研究 了超导体的拓扑性质。这分为两个方面。其中一个方面是我们没有使用0 ( 3 ) 一口模 型运用西一映射理论更加直接的给出了三组分超导体的拓扑复合结构。另乡 一方商 是我们使用西一映射拓扑流理论研究了共价键超导模型的拓扑性质。 1 1咖映射拓扑流理论 为了得到西一映射拓扑流理论，我们假i 殳x 为一个( d + 1 ) 维光滑流形，这个 光滑流形卜的局部肇标为( p = 0 ，1 ，d ) 其中r 0 = 井日，我们可以另外令 是维数为d 的欧几里德空间。我们考虑一个光滑的映射曲：x r “，这一映射定义 了一个在流形x 上d - 维光滑矢量场 矿= 矿( z ) n = 1 ，2 d ( 1 1 ) 第2 页 祆z ) 韵表示方向的单位矢量场可以写为 儿赢i i 廿1 1 2 卅” ( 1 2 ) 这一单位矢量场满足下列关系 泸n 。= 1 ( 13 ) 很明显在微o - j l 何学中，单位矢量场俨( z ) 是一球丛s ( x ) 的截面【3 4 】。从单位欠量 场元( ) 出发，我们可以构造矢量场霰z ) 的拓扑流，这一拓扑流列。以写成以下形式： ”( z ) = a ( s d - 1 。二) l ( d - 一1 ) 1 5 ”“n n 一钆- ”4 1 啦一”“4( 1 4 ) 其中系数a ( s “1 ) = 2 ”g r ( j ) 是( d 1 ) 一维单位球面- 1 的表面积。我们能够发 现这个拓扑流仅仅在矢量场面z ) 的零点不消失，或者，我们可以把这个矢量场的零 点也可以称之为单位矢量场元( z ) 的奇点。很明显，拓扑流( 1 - 4 ) 是一个自然守恒量， 满足下列关系等式： 乱，= 0 ( 1 5 ) 把( 1 2 ) 代入到( 1 4 ) 。并且考虑到下列关系式 驴= 篙卅q 。( 高) 扯s ， 我们得到这一拓扑流的进一步的表达式，可以写为以下形式 j “= 。i l “w 。，钆。矿钆：”啡。矿“蔷磊妄( g “( 1 l 曲1 1 ) ) ( 1 - 7 ) 这里e 。是个常数，它有两种不剧的取值，这两种不i _ j 的取值可以写成r 列的形式 白= 守z 兰 s ， 并且g d ( 是一个普遍的函数，对应于常数e f ，这一函数也有两种不同的取值， 分别是 ， g d ( 1 l 曲1 1 ) ：南儿r d2 ( 1 9 ) d ： 酽p “”2 ( 1 9 ) ii n ( 1 l c h i ) ， d = 2 如果我们定义j a c o b i a n 行列式为下列形式 e “l “。”( ：) = e “。叱r 嗥。曲“ ( ，。) 兰州人学研究牛学似论文 并且利用毋空间的l a p l a c i a n 关系 3 7 i 酬g “ ：一高相( 1 1 1 ) 这里符号十= 赫螽表示了在咖空间中的d - 维l a p l a c i a n 算符，因此利用 j a c o b i a n 行列式和l a p l a c i m t 关系，我们可以得到这个拓扑流用乱函数表示的表达 式 广训而。一( ! ) ( 1 捌 从上边的方程式中人们可以看出，这一拓扑流仅仅在矢量场氟z ) 的零点处不消失； 于是，我们很有必要去考察矢量场虱z ) = 0 的解。这对于我们进一步研究相应拓扑 流的性质是很重要的。 为了研究这一矢量场的零点解，我们首先假设这一矢量场放z ) 具有个零点， 我们可以将这些零点可以记为乏0 = l ，) 。按照隐函数理论【3 8 】，当这些零点 盂是矢量场虱z ) ，的正则点的时候，换句话说，当j a c o b i a n 行列式满足下列条件的 时候 。( 轨= 等篙 ( 1 - 1 3 ) 这里，式中d ( 州。) = d o ( 咖肛) 是一般的j a c o b i a n 行列式。那么，我们发现矢量场 氟。) 存在并且仅仅存在一个连续的解，我们可以把这个解方便地写成f 列形式 矿( z ) = 0 ，n = 1 ，2 ，d ， 或者，我们可以把它表达为下列形式， 盂= 置( ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 而这正是矢最场前z ) 第t 个零点的轨迹方程。 为了研究这些孤立零点处的拓扑性质，我们令流形 ，是流形x 中的一个子流 形，这个子流形上的坐标参量为z l ，一一。对于每一个被给定的t ，并且我们可以 进一步假设尬是子流形m 中孤立零点墨( t ) 的邻域，这一邻域的边界为a 聪。于 是，在这一孤立零点的邻域内一般的w i n d i n g 数可以通过高斯映射给mf 4 2 l ，这一 映射是n ：驯峨一s d 1 眠= 邳两 n + ( 1 嘶jt 1 1 1 d n “2 d n “4 ) j 0 m 第4 页 兰州人学研究牛学似跄文 这里式中是高斯映射n 的拖回。普遍的w i n d i n g 数是一个拓扑不变量，并且。我 们可以将这一w i n d i n g 数称之为高斯映射度【3 4 。4 2 | o 在拓扑学里w i n d i n g 数的意义 为当点童覆盖孤立零点的邻域的边界d 抛一次，单位矢量场五将覆盖单位球 1 也就是说石覆盖相应的区域眦次。众所周知在拓扑学中，眦是对应于第一同伦群 ”f 俨一j - z ( 整数集合) 的f 1 7 j o 通过使用s t o k e s 定理的外微分形式，我们可以将以 t ：的w i n d i n g 数写为下列形式 m = 可孕丁；瓣厶“r w 靠t 铲1 - 钆“俨4 如m a ad x g a 通过类比方程式( 1 1 2 ) 的推导过程，我们可以得到w i n d i n g 数眦的紧凑的形式，这 一形式足 眦= 五，硼。( 9 如( 1 1 6 ) j m ，z 因为5 函数满足以下的关系式 相= + 。o o 细f o r 石= ：， ( 1 1 7 ) 因此，我们可以得到 ，= 苫嚣舞 也就是说，我们可以将乒函数和矢量场的孤立零点联系起来，并且应该其有这样的 行为 ， 咿刮，= 4 - 。 ) 6 篇篡； 划 于是，我们可以假设f 通过分析j ( ，( z ) ) 函数的推导过程j 6 ( 被。) ) = 了_ q d ( f 一盂( t ) ) ( 1 2 0 ) 很明显，我们发现这一等式中的系数q ( i = 1 ，n ) 必须为正的。也就是说q = 吲。 把等式( 1 2 0 ) 代入到w i n d i n g 数的表达式( 11 6 ) 中去，我们可以把w i n d i n g 数表达 为下列形式 嘶= 厶势p 荆，口( ；) d d x = 0 我们可以得到在t t + 情况下的分岔解，反之，我们 可以得到在t t 情况下的分岔解。 b 岐点处的分岔过程 在这一节中，我们将研究在岐点处拓扑流的分岔过程。我们首先给出在岐点 ( 盂，r ) 处方程组( 1 1 4 ) 的约束条件 。恻胪( 魄m0 ：，一，。 a t ， d 1 ( ! ) i ( 最。， = 1 2 ，d 、14 我们发现这些方程将导致个蘑要的事实，那就是参数t 和参数z 3 ( a = 1 2 ，一d ) 之间的关系在岐点( 磊r ) 的邻域内h i 是唯一确定的。通过使用廿一拓扑流理论，我 们可以很容易从等式( 12 8 ) t i - 得到这一事实。我们可以将参数，1 在岐点处的速度 表达式写成卜列形式 等l：祭磐j 乩2 d (148)d f 拙i ( it + )( 咖) i ( i i ) 。 、。 兰州人学研究牛学化论文 这一等式直接表明了在等式( 1 4 7 ) 的限制下，等式( 1 4 8 ) 的秘分曲线的方向在岐点 ( 茜，t + ) 处是不确定的。这就是为什么我们把这一岐点( 乏r ) 称为方程组( 1 1 4 ) 分岔 点的原因。 为了寻找在岐点处所有分岔曲线的不同的方向，我们首先假设相应j a c o b i a n 矩 阵【a 曲o z 】的阶是d 一1 。这样做是因为j a c o b i a n 矩阵【o 0 z i 的阶在岐点慨：r ) 处 应是小于d 。那么我们就可以任意令d l = 【硝】( n = l ，2 ，d 一1 ；j = 2 ，3 ，一，d ) 是 j a c o b i a n 矩阵【o o z j 的一个( d 一1 ) ( d 一1 ) 子矩阵，并且这一( d 1 ) ( d 一1 ) 的 j a c o b i a n 矩阵满足d e t d l 0 ，其中钟表示执。由隐函数定理我们可以知道，在 这种情况下存在并且仅仅存在一个函数关系 z = ，( z 1 、) ，i = 2 ，3 ，d ( 1 4 9 ) 我们可以将这一函数分别对参数t 和参数一分别求导数，那么这些偏导数可以被 记为下列的形式 矗= 丽o f ：矗= 箬； f l ，：磊= 嘉：尼= 嘉0 s 0 ) 从等式( 1 1 4 ) 和( 1 4 9 ) 中，对于n = i ，2 ，d 一1 我们得到矢量场用等式( 1 a 9 ) 表 达的等式 妒8 = 扩( 1 ，2 ( z 1 ) f s ( z ，】一f t ( x 1 ，t ) f ) = 0( 1 5 1 ) 分别对参数t 和参数一求偏微分，我们可以得到下列的等式 筹= 钟+ 翌o f j 竖o x i = 。 ( 1 5 2 ) 竺o t 一- - a + 妻筹等= o ( 1 删 再一次做同样的步骤，将等式( 1 5 2 ) 分别对参数z - 和求偏微分我们下列的形式 蟛矗= 一1 2 蟛- ，f + ( 咏m 崩一蚪t j = 2 j = 2 k = 2 - fdd 嵋矗= 一【吩爿+ 啦- f + ( 钙。带) 巾毋4 1 t 第1 0 页 ( 15 4 ) ( 1 与5 ) 兰州人学研究牛学能论文 并且将方程式( 1 5 3 ) 对参数求偏微分，我们可以得到下列的形式 ( 15 6 ) 其中啦 ：= 护妒o x j o x 。= d 2 扩o x j o t 。我们发现方程式( 1 5 3 ) 关于对参数z 1 求微分后的结果和方程式( 1 5 5 ) 的表达是一样的。通过对方程武( 1 5 4 ) ( 1 5 5 ) 和 ( 1 5 6 ) 运用高斯消去法，我们町以给出二阶微商，i l f i ，和晶。从以上讨论看出，我 们没有对矢量场的最后。个分量扩( z ，t ) 进行任何操作。为了找到在岐点( 置，r ) 处 出1 i d t 的不同的值，我们可以首先给出( z t ) 在岐点( 而，t + ) 处邻域中的t a y l o r 展 开式。将等式( 1 4 9 ) 代入到c d ( x ，t ) ，将矢量场的最后一个分量重新标记后，我们得 到具有两个变量z - 和t 的一个函数f f ( z 1 ，t ) = 毋“( z 1 ，2 ( z ，t ) 一，。( z 1 ，) ，t )( 1 5 7 ) 因为在矢量的零点处，并且按照等式f 1 3 7 ) ，那么这一函数f 必须在岐点处为零 f ( 2 l t + ) = 0( 1 5 8 ) 进一步，从等式( 1 5 7 ) 中，我们可以得到函数f ( z 1 ，) 关于参犀z 1 的一阶偏微商， 我们可以将它写成下列形式 筹= 州+ d 鳄，f ， 丽o f = 硝+ d 蟛疗 ( 15 9 ) 利用等式( 1 5 2 ) 和( 1 5 3 ) ，我们可以将方程式( 1 4 7 ) 的第一个等式在孤立零点处表 达成下列的形式 胪( 洗= d 一 j = 2 l 一 j = 2 1 ， 一 垆! 第1 1 页 西5 醒 。 蟛 0 ( 16 0 ) 疗一 廖 喂 。 + 矗 吩 2 i 坤 一 = 绣 唠 。伸 秘钟 兰州大学研究牛学化论文 因为c r a m e r 规则，我们可以将等式化简( 1 4 7 ) 成下列的形式 因为( d 一1 ) ( d 一1 ) 子矩阵的行列式满足条件d e t d i 0 ，我们可以将上碰的等式 写成下列的形式 等j ：o )ox 1k 】一 ” 同理。我们可以得到下列等式 百o f f ：o ( 1 6 3 ) 优| 茜1 】。 ” 函数f 的二阶偏微商也是可以很容易的被计算出来的发现，我们可以将这些二阶 偏微商写成下列的形式 a 2 f ( 阮1 ) 2 a 2 f a z l 疣 dd = 观+ l 妈+ 孵，f + 蟛矗+ ( 唠d 女j t k i 】， ( 1 - 6 4 ) 护f 夏f 。 j ；2 知= 2 dd 张+ f 2 蝣矗+ 硝，矗+ ( 椎费) 露 j = 2 k = 2 在岐点( 乏，t ) 处，我们可以将这些二阶偏微商重新进行标记，我们得到下列的表达 形式 a = 器b ) b = 罴k ，c = 第b ) e s ， 然后注意到等式( 1 5 8 ) ，( 1 6 2 ) ，( 1 6 3 ) 和等式( 1 6 5 ) ，我 f - - f 以利用这些等式将函数 f ( z 1 ，t ) 在岐点( 磊t + ) 的邻域内进行t a y l m 展开，这一t a y l o r 展开武可以写成下列 的形式 f 扫1 t ) ：i a 0 1 一i ) 2 + b 扛1 。? ) ( 一z + ) + i c ( t z + ) 2 + 。 ( 16 6 ) 它就是矢量场的最后一个分量( 。) 在岐点( 磊t 4 ) 邻域内的t a y l o r 展开式。从在 岐点处函数f 为零的条件( 1 5 8 ) 中，在岐点( 墨t ) 处，我t f 刚a 得到表达式 4 ( x 1 一z j ) 2 + 2 b ( z 1 一z ? ) ( t f + ) + c ( t 一) 2 + = 0 ，( t 6 7 ) 第1 2 页 6m i i r 慨 ddd 竺融 = r磊 鹕媚疗鲥 畦镌妒趔 n 蟛 o oo。芦 + 一 钾 删n 珐 吗 。 + 月 彩 + d 玎 缈 。：要 + 鲥 = 兰州人学研究牛学化论文 用一z + ) 2 去除上式。并且分别耿极限t 一和t 一。i i 我们可以得到在岐点处 一个关于参量z ，的速度的二次常微分方程，可以写成下列形式 ( 警) 2 铷面d y ；1 + c o ( 1 e s ) 同样的方法，我们可以得到另外的一个表达，我们将这一表达写为下列形式 c ( 等) 2 伽砉+ a o n 因此，我们发现在岐点处的分岔曲线的不涮的方向由方程式( 1 6 8 ) 或者( 1 6 9 ) 决定。 其余的分量d x t 出“= 2 ，3 ，d ) 相应的关于速度的方程，我们可以从函数关系式 ( 14 9 ) 用同样的方法汁算出来，他们是下列形式： 面d x = 月等+ 矗，z 铊3 ：，d ( 1 7 0 ) 其中，偏微商的系数， 和，f 已经在表达式( 15 2 ) 和( 1 5 3 ) q 1 给出。从这些关系式 中我们发现在岐点( 置t ) 处，如。d t ( i = 2 ，3 ，d ) 的值也可能是不同的，这是因为 ( 1 6 8 ) 或者( 1 6 9 ) 可能赋予d x l 疵不同的值。 c 在一个高阶退化点处的分岔过程 现在，我们考j a c o b i a n 矩阵的阶是d 一2 的情况( 对于这种情况矩阵p 如】的 阶是小于d 一2 ，蒯题讨论的方法和以前是一样的) 。这一情况就是拓扑流在高阶退 化点处的分岔过程。我们可以令j a c o b i a n 行列式d 2 = 咖翱( n = 1 2 d 一2 ；j = 3 ，4 ，d ) 是j c v , ：o l ，i a l l 矩阵i a 纠0 x j 的个( d 一2 ) ( d 一2 ) 子矩阵，并日假设这。 j a c o b i i n 矩阵的行列式满足d e t d 2 0 。利用得到( 1 4 9 ) 同样的方法，我们可以得到 函数关系式 。= ，( z 1 z 2 ) i = 3 4 d ( 1 7 1 ) 将关系式( 1 7 1 ) 代入到方程式组( 11 4 ) 的最后两个式了，并且我们重新标记这最后 两个式子，我们得到含有三个自变量z iz 2 t 的两个函数关系，这两个函数关系可 以被写成下列形式 z 2 ，) = 咖4 1 ( x l ：z 2 f 3 ( z 1 ：f 2 t ) 一，) = 小。( z 一，3 ( z 1 一) ，。( x i 一= o( 1 7 2 ) 一( z p ) t ) = 0 我们可以将函数j 一和b 对变量z 1 z 2 和分别计算一阶偏微分，并且注意到等 式( 1 7 1 ) ，进一步利用与等式( 1 6 2 ) 和( 1 6 3 ) 相似的六个表达式，也就是下列的形 第1 3 页 皇州人学研究牛学 1 ；) = 论文 式 等k ，姐篆l ，扎鲁b ，姐 c ，乩z ，r s ， 在高阶退化点( 孟，) 的邻域内，我们得到函数f l 和局的关于高阶退化点( 磊，) 的t a y l o r 展开式，这些展开式可以被我们写成下列形式： f j ( x l , z 2 , t ) 2 ，- ( x 1 - - 毒) 2 + ，z ：1 一。 ) ( 。2 一毒) + 与：( 。1 一z ( 1 _ 7 4 ) 0 一扩) + a j 4 ( 茹2 一。；) 2 + 如j ( z 2 一) ( 一l + ) + d t 一矿) 2 + ，= 0 ， 。 其中j = l ，2 在a j l o ，a j 4 0 的情况下，我们可以用o 一矿) 2 去除上边的等式， 并且取极限t t ，我们得到两个关于如d t 和c h 2 d t 的二次等式 山，( 等) 2 + ：百d x l 百t 2 + 如百d x l + 锄( 等) 2 + 如百d x 2 + 如。_ o i ( 1 ，s ) 消去变量如1 班，我们得到关于变量d x 2 疵的一个行列式形式 a na l a v + a 2 3 0 a n 2 la 2 2 v + a 2 a 0 a 2 1 a 1 4 2 + 4 1 5 + a 1 6 1 2 + a 1 3 2 4 2 + a 2 5 勘+ a 2 6 a 2 2 v + a 2 3 0 a 1 4 v 2 + a 1 5 缸+ a 1 6 0 a 2 4 v 2 + a 2 5 + a 2 6 其中”= d x 2 d t ，这一行列式是一个关于出z 班的四次方程 n o ( 等) 4 蛔( 等) 3 十啦( 等) 2 + a s ( 等) + n t 姐 扯z z ， 于是，我们得到了在分岔点处相应的不同分岔曲线的不同的方向。分岔曲线的不同的 方向的最大数日是四。如果j a c o b i a n 矩阵f o 咖o z l 的退化度更高，也就是说，j a c o b i a n 矩阵【a 妒o z l 的阶比现在( d 一2 ) 的情况更低的情况，我们可以用和以上类似的方法 研究问题，但是推导的过程将会更加复杂。一般来说，女l i 果假设矩阵f o 毋o z l 的阶 为( d k ) ，那么那么分龠曲线可能的不同的方向的数目最多为2 k 。 第1 4 页 兰州人学研究牛学位论文 第二章宇宙弦 在这一章中，我们将研究存在在早期宇宙中的挠率弦的拓扑结构。我们发现这 一弦在早期宇宙的四维时空- i i 可以形成世界面，而这一世界面正是这一挠率弦在四 维时空中运动所扫过的曲面。 2 1 简介 在最近几年里人们对于宇宙学中的旋量和挠率的兴趣越来越高。因此，人们 也就对于早期宇宙中关于旋量和挠率这一方面做了大量的研究工作1 4 9 ，5 0 卜为了弄 清楚早期宇宙中挠率的形成机制，人们考虑到了引力具有内部自旋的情况【5 1 ，5 2 l _ 并且，人们同样也考虑到了将自旋和挠率张量相互关联的做法f 5 3 ，5 4 】。但是，人们 还是对于早期宇宙中的挠率在物理学和几何学中的产生机制还不十分的清楚1 5 5 】。 一些文献f 5 6 l 的作者的做法是建议在早期宇宙中存在时空缺陷的观点去研究这一 问题，而这早期宇宙的时卒缺陷是因为存在自发对称性破缺而引起的。 在这一章中，我们将详细的讨论早期宇宙中时空缺陷的拓扑问题。首先，我们 给出了u ( 1 ) 几何规范势分解的理论。我们在此也给出了u ( 1 ) 几何规范势和s o ( 2 ) 几何规范势之间的关系。其次，我们使用标架场这一数学工具构造了挠率张量。这 一挠率张量具有u ( 1 ) 对称性的内部结构。最后，在具有u ( 1 ) 内部对称性的挠率 张量的基础上，我们研究挠率张量在二位曲面上的拓扑性质。发现这一挠率张量和 拓扑不变量有关系。并且我们可以用这个挠率张量在三维时空中构造拓扑流。这一 结果促使我们在四维时空中去构造个新的张量流，这一张量流在四维空间中可以 形成世界面，这一世界面止是早期宇宙中具有u ( 1 ) 对称结构的挠率弦运动所扫过 的。 2 2u ( 1 ) i i , t - - i 规范势分解理论 为了研究早期宁宙中的弦我们可以令妒是个具有u ( 1 ) 规范对称性的复标 量场。我们也口j 以把这个复标量场称之为早期宇宙中的序参数场。最近住一些文 献一i 作者给出证明，这一序参数场在早期宇宙的演化i i 一起着非常重要的角色。不考 第1 5 页 兰州人学研究牛学住论文 虑规范势和其他场相互作用的耦合系数，我们可以定义协变微