讲座7：李亚普诺夫函数的确定.pdf

麻省理工学院 电气工程与计算机科学系 6 243j 2003秋季 非线性系统动力学 A Megretski 讲座7 李亚普诺夫函数的确定1 这一讲介绍了确定给定动力系统李亚普诺夫函数和能量函数的基本方 法 7 1 能量函数的凸搜索 沿系统轨迹不增的系统状态的所有实值函数集合是凸的 也就是 这个 集合对于加法和因子为正常数的乘法是闭合的 这是确定李亚普诺夫函数或 能量函数的一般过程的基础 7 1 1线性参数化的备选能量函数 考虑系统模型由离散时间状态空间方程 x t 1 f x t w t y t g x t w t 7 1 描述 其中x t X Rn是系统状态 w t W Rm是系统输入 y t Y Rn是系统输出 f X W 7 X g X W 7 Y是给定函 数 对于函数V x 7 R和 Y W 7 R 如果对 7 1 的每一解有 V x t 1 V x t y t 7 2 成立 也就是 V f x w V x g x w w x X w W 7 3 成立 那么函数V x 7 R是系统 7 1 供给率为 Y W 7 R的能量 函数 特殊的 当 0时 这推导出李亚普诺夫函数的定义 在非线性系统结构分析中 给定供给率 找到有效的能量函数 或者至 少证明有一个存在 是很困难的 最常用的方法基于备选能量函数V V V x N X q 1 qVq x x X w W 7 4 的线性参数化子集 其中 Vq 是基础函数的定集合 k是要确定的参数 这 里 V里的每一元素都是一个备选能量函数 我们可以通过有效的方法确定 k得到满足 7 3 的函数V 12003年9月26日版 1 例7 1考虑有限状态自动控制系统由方程 7 1 确定 值域为 X 1 2 3 W 0 1 Y 0 1 动态定义为 f 1 1 2 f 2 1 3 f 3 1 1 f 1 0 1 f 2 0 2 f 3 0 2 g 1 1 1 g x w 0 x w 6 1 1 为了表明输出中1的数量永远不会大于输入中1的数量的三分之一 我们可以 考虑找到一个供给率为 y w w 3 y 的能量函数V 三个基础函数V1 V2和V3由 Vk x 1 x k 0 x 6 k 定义 加在 1 2和 3上的条件可以写成六个仿射不等式 7 3 的集合 其中两个 当 x w 1 0 和 x w 2 0 时 自动成立 其它四个如下 当 x w 3 0 时 2 3 1 当 x w 1 1 时 2 1 2 当 x w 2 1 时 3 2 1 当 x w 3 1 时 1 3 1 这个线性不等式组的解为 1 c 2 c 2 3 c 1 其中c R是任意的 习惯上 将能量函数和李亚普诺夫函数标准化使其最 小值为零 这样得到c 0和 1 2 2 0 3 1 现在 由t 0到t T将不等式 7 2 相加得到 3 T 1 X t 0 y t V x 0 V x T T 1 X t 0 w t 因为V x 0 V x T 不可能大于2 所以上式表明了想要得到的1的数量在 输入和输出中的关系 2 7 1 2通过割平面法得到能量函数 如上面例子所示 一般趋势都是通过凸优化简化找到有效能量函数的方 法 当检验条件 7 3 圣谕 的简单过程存在的时候 有一种常见的情况可 以有效地找出能量函数 假设对每一给定元素V V都能检验出条件 7 3 是否成立 并且当答 案是否定时 得到一对使不等式 7 3 不成立的向量 x X w W 在参 数向量空间 q N q 1 中选择一个足够大的集合T0 这个集合将限定有效 能量函数的查找 令 是T0的 中心 由 定义V 并且对其应用检 验 圣谕 如果V是能量函数 那么搜寻过程结束 否则 由圣谕产生 无 效验证 得到的超平面把 和定义有效能量函数的 未知 集合分开 这 样就去除了搜寻集合T0的大部分 将其减小为T1 现在 重定义 为T1 的中心 重复上面的过程得到一系列单调递减的搜索集合Tk 直到找到一个 有效的能量函数或者Tk收缩为空集结束 选择适当种类的搜索集合Tk 最常用椭圆体和多面体 和适当定义的 中心 用于多面体时也叫 分析中心 Tk的体积可以指数递减 这样 可以使搜索算法收敛更快 7 1 3平方的完备化 上一节提到的搜索方法是否成功很大程度上依赖于基础函数Vk的选择 对给定V 验证 7 3 是否成立也很困难 可以证明对函数F Rn7 R 目前我们仅知道允许有效验证其元素为非负的大线性空间为二次型 F x x 0 0 Q x 0 Q Q0 的集合 这里 二次型的非负相当于系数矩阵Q的半正定 当 f x w A x B w g x w C x D w 是线性函数 x w x w 0 x w 是二次型的时候 上面的情况应用于线性二次型 自然可以得到唯一的备选 二次型能量函数 V x x0P x 并且 7 3 转化为 对称 矩阵不等式 PA A0PPB B0P0 7 5 3 因为这个不等式对参数P和 是线性的 所以 即使P和 有额外的线性 约束条件 也可以相对有效地得到解 请注意 当且仅当它可以写成线性函数平方和的形式时二次型函数是非 负的 通过把一个函数描述成给定线性集合中函数的平方和形式来验证这个 函数的非负性的方法也可以用在搜索一般非线性系统的能量函数上 事实上 令 H Rn Rm7 RM和 V Rn7 RN是任意的向量值函数 对每一 RN 只要S S0 0是半正定对称矩阵 那么有 V x 0 V x 成立的条件 7 3 可以由恒等式 0 V f x w 0 V x H x w 0S H x w x w x X w W 7 6 来表示 请注意 约束条件 7 6 关于备选能量函数参数 和 平方和 参数 S S0 0都是线性的 这样 搜索有效能量函数的过程简化为半定程序 特殊地 向量 H中的标量成分应该包括足够多的元素以便对每一 RN 选择合适的S S0 不是必须为半正定的 使恒等式 7 6 成立 例如 如 果f g和 是多项式 那么用多项式 V 并且定义 H为给定阶的单项式 的向量也许是个不错的方法 7 2 供给率为二次型的能量函数 如前一节所述 我们可以通过备选能量函数的线性参数集来找到能量函 数 可以证明由给定系统的子系统得到的能量函数可以做为方便的结构元素 也就是 V的成分Vq 事实上 假设Vq Vq x t 是供给率为 q q z t 的能量函数 典型地 x t 做为元素包含于z t 并且z t 还包含其它一些 元素 例如输入 输出和其它系统状态与输入的非线性组合 想要找到供给 率为 的能量函数V 我们可以搜索如 V x t N X q 1 Vq x t q 0 7 7 形式的V 其中 q是搜索参数 请注意在这种情况下 通过推理可以得出 7 7 中的每一V 都是供给率为 z t N X q 1 q q z t 7 8 的能量函数 因此 为了找到供给率为 z t 的能量函数 只要找到 q 0使得 N X q 1 1 q z z z 7 9 4 成立即可 当 和 q是一般函数时 即使很简单的情况也很难解决 但是 当 和 q是二次泛函这一重要的特殊种类时 搜索 7 9 中的 q就变成了 半定程序 这一节讨论了供给率为二次型的能量函数的使用 7 2 1 LTI系统的能量函数 对LTI系统 x Ax Bw 7 10 来说 当且仅当矩阵不等式 7 5 成立时二次型V x x0P x是供给率为 x w x w 0 x w 的能量函数 对给定A B 著名的卡尔曼 波波夫 雅库伯维奇引理 或者正 实引理给出了这样的P P0存在的有用频域条件 定理7 1假设 A B 是可控制的 那么当且仅当 x w 0 x w 0只要对某些w R有jw x A x B w 7 11 成立时满足 7 5 的对称矩阵P P0存在 而且 如果存在矩阵K使得 A BK是Hurwitz矩阵 并且 I K 0 I K 0 那么 所有这样的矩阵P P0是半正定的 例7 2令G s C sI A 1B D是稳态传递函数 也就是矩阵A为Hurwitz矩 阵 A B 是可控的 那么当且仅当存在P P0 0使得 2 x0P A x B w w 2 C x D w 2 x Rn w Rm 成立时对所有 R G j 1 当 x w w 2 C x D w 2 和K 0时应用定理 7 1 可以证明这一点 7 2 2扇形非线性能量函数 只要系统轨迹z z t 的两个元素v v t 和w w t 是这样相关的 v t w t 位于直线w k1v和v k2v之间的圆锥区域内 那么V 0是 z t w t k1v t k2v t w t 的能量函数 例如 如果w y v t 3 那么 z t v t w t 如果 w t sin t sin v t 那么 z t v t 2 w t 2 5 7 2 3标量无记忆非线性的能量函数 只要系统轨迹z z t 的两个元素v v t 和w w t 是这样相关的 w t v t 其中 R 7 R是可积函数 v t 是系统状态中的一个部 分 那么V x t v t 是供给率为 z t v t w t 的能量函数 其中 y Z y 0 d 7 3 隐能量函数 我们知道 在非线性系统分析中 依赖于能量函数的一些重要结论是没 有显式公式的 他们通常十分有效地为能量函数提供一个较低的界限 例如 已知其仅含有非负值 并且得到供给率 的解析式 为了处理这些 隐 能量函数 需要一些定理保证给定供给率的非负能 量函数的存在 为了这个目的 可以认为定理 7 1 是这样一个例子 确定线 性时不变系统的能量函数存在的隐式频率相关矩阵不等式 这一节 我们给 出应用于非线性系统的一些这样结论 7 3 1抽象系统的隐能量函数 考虑由函数z 0 7 Rq构成的行为集B z 定义的系统 通 常 系统可以为自治的 此时z t 是t时刻的输出 或者系统有输入 此时 z t v t w t 是输入向量v t 和输出向量w t 的集合 定理7 2令 Rq7 R是一个函数 B是一个由函数z 0 7 Rq构 成的行为集 假设在每一R 内的有界区间 t0 t1 上对所有z B是可积 的 对t0 t1 R 定义 I z t0 t Z t t0 z d 下面的条件是等价的 a 对每一z0 B和t0 R I z t0 t 的集合是下有界的 所有t t0 和z B定义了和t0时刻状态z0相同的状态 b 存在供给率为 的非负能量函数V B R 7 R 使得只要z1 和z2在t时刻定义B中的相同状态时V z1 t V z2 t 而且 当条件 a 成立时 由 b 得到的能量函数V可由 V z0 t0 infI z t0 t 7 12 定义 其中下确界是使所有t t0和z B定义了和t0时刻状态z0相同的 状态 6 证明 由能量函数的定义直接可以得到 b a 这需要对t1 t0和z0 B 有 V z0 t1 V z0 t0 I z t0 t1 7 13 成立 将上式与V 0联立可得对在t0时刻定义B中的相同状态的所有z 和z0有 I z t0 t1 V z t0 V z0 t0 成立 现在假设 a 是成立的 那么 7 12 存在有限下确界 做为下有界非空 集合的下确界 并且这个下确界是非正的 因为I z t0 t0 0 因此V 定义正确并且是非负的 为完成这个证明 我们来说明 7 13 是成立的 事 实上 如果z1定义与t0时刻状态z0相同的状态 那么 z01 t z0 t t t1 z1 t t t1 在t00 inf w W x Be x0 x w V x f x w 0 inf w W x0 w V x0 f x0 w x0 Rn 7 15 成立 但是 因为 即使对很光滑的f 得到的能量函数V也不是一定可 微的 所以在很多情况下需要很小心地使用 7 15 7 3 3 Zames Falb二次供给率 60年代后期 G Zames和P Falb提出了一种重要并且很有用的二次供给率 的隐能量函数 定理7 3A B C为矩阵 A为Hurwitz矩阵 且 Z 0 CeAtB dt 1 R 7 R是单调奇函数 且 0 w w w 2 w R 那么对所有 0使得 R 1 G jw 1 H jw w R 成立 其中H是L1范数不超过1的函数的傅立叶变换 并且 G s Cp sI Ap 1Bp 那么 系统 x t Apx t Bp Cx t v t 具有有限L2增益 在某种意义上说就是对所有解存在 0使得 Z 0 x t 2dt x 0 2 Z 0 v t 2dt 成立 7 4 带有立方非线性和延时的例子 考虑如下带有不确定常数延时参数 的系统微分方程2 x1 t x1 t 3 x2 t 3 7 16 x2 t x1 t x2 t 7 17 当 0时很容易分析这个系统 但是当 是区间 0 0 上的任意常数时分 析这个系统就有些困难 这个系统不是对任意 值都为指数稳定的 我们的 目的是说明 尽管不是指数稳定的 二次供给率的能量函数方法仍然可以使 用 0的情况 对 0 我们开始于用行为集 Z z x1 x2 w1 w2 描述 7 16 7 17 其中 w1 x3 1 w2 x 3 2 x1 w1 w2 x2 x1 x2 由Z的线性方程给出二次供给率 LTI z 2 x1 x2 0 P w1 w2 x1 x2 其中P P0是定义能量函数 VLTI z t x t 0Px t 2由Petar Kokotovich提出 9 的任意对称的2 2矩阵 在对Z有效的重要二次供给率 中 最简单的定 义为 NL z d1x1w1 d2x2w2 q1w1 w1 w2 q2w2 x1 x2 对应能量函数为 VNL z t 0 25 q1x1 t 4 q2x2 t 4 其中dk 0 可以证明 容易证明 得到 0的供给率的唯一凸组合是使 LTI NL 0的 例如 P 0 50 00