（应用数学专业论文）某些lie代数及leibniz代数的结构和表示.pdf

上海交通大学博士学位论文 某些l i e 代数及l e i b n i z 代数的结构和表示 摘要 结构和表示理论是李代数理论中的两个最主要的课题 众所周知 仿射李代数的顶点算子表示在数学和物理的很多领域有着非常重要和有 趣的应用 对仿射李代数基本表示的第一个构造 通常称之为主顶点表 示 它是由l e p o w s k y 和w i l s o n 1 5 发现的 在 1 4 1 v g k a c 等进一步推广 到所有a d e 型仿射李代数 在 1 1 和 1 7 1 中i b n e n k e l v g k a c 通过使用 顶点算子x 口 z 给出了a d e 型仿射李代数的基本模的另一个构造 这 对研究对偶共振理论起到了很大的作用 在这些构造中 关键的就是选 择 个合适的h e i s e n b e r g 代数 t o r o i d a l 李代数a 6 0 a o 咒是多重圈代数a o a 的泛中心扩张 其中 6 是c 上的有限维单李代数 4 c i t 士1 t 手1 碚1 i 扣 1 是l 姗n t 多项 式环 既然无扭的仿射l i e 代数是6ec l t 士1 的泛中心扩张 t o r o i d a l 李代 数可看作是无扭仿射李代数在多个变量上的推广 因此我们自然考虑到 它们的顶点表示 在文献 8 1 0 1 6 中s e s w a r ar a o r v m o o d y i b f r e n k e l 等首先研究了单边t o r o i d a l 李代数及它们的齐次顶点表示 也可参见 2 4 7 9 1 2 1 8 等 令口是a 的导子代数 则l i e 代数g 6 0 口就是所谓的结合予a 的 全t o r o i d a l 李代数 这说明g 的表示和扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数h v 打的 模有着非常密切的关系 在 5 b i u i g 讨论了月 模的结构 在 6 6 中b i l l i g 通过 3 1 和 5 的v o a 的张量积得到g 的v o a 给出了g 的表示 在本文 的第一部分我们给出了丑b 的不可分解模的一个详细构造和非单边全 t o r o i d a ll i e 代数的一个顶点表示 b l o c k 2 4 引进了一类无限维单l i e 代数 赵开明 苏育才 徐小平 朱 林生 孟道骥等人把这类代数进行了推广 这主要是因为它们和v i r a s o r o 代数或者量子平面代数密切相关 2 5 3 0 3 1 3 2 3 5 4 2 4 3 4 5 d 我们所研究 的这类b l o c kl i e 代数是c a r t a n 型sl i e 代数 阻 3 8 或p o i s s o n h a m i l t o n 代 数 4 4 3 7 3 0 1 的一种特殊情况 研究它的表示可以更好地理解c a f t a n 型 4 类l i e 代数的表示 中文摘要 l e i b n i z 代数最早是由b l o c h 在 4 6 中考虑 当时被称为d 代数 后来 l o d a y 在 4 7 4 8 中研究类似于l 沁代数同调的l e i b n i z 同调时提出了这个概 念 它是比l i e 代数更广泛的一类代数 通常不满足反交换性 对l e i b m z 代数的研究大多数都是关于同调问题的考虑 可参阅 4 7 5 1 等 对于它 的结构理论的结果还不是很丰富 5 2 5 4 等 因此在这方面做些工作是有 意义的 本论文共分三部分 第一部分给出扭的h e i s e n b e r g v i r a e o r o 代数和全 t o r o i d a ll i e 代数的表示 给出了上酞 的不可分解模的一个详细构造和全 t o r o i d a ll i e 代数的一个顶点表示 第二部分 我们给出了一类b l o c kl i e 代 数b 的v e r n m 模 对至少有一个有限维阶化子空间的不可约压阶化b 模y 进行了分类 而且y 是q u a s i f i n i t e 当且仅当它是一个v e r m a 模的非平 凡商 第三部分 我们确定了所有三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的同构 类 关键词 h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数 协r o i d a ll i e 代数 全t o r o i d a ll i e 代数 b l o c k 型l i e 代数 v e r m a 模 q u a s i f i n i t e 模 l e i b n i z 代数 不可约模 i i 上海交通大学博士学位论文 t h e s t r u c t u r e sa n dr e p r e s e n i 衄 i o n so fs o m el i e a l g e b r a sa n dl e l b n i za l g e b r a s a b s t r a c t t h es t r u c t u r et h e o r ya n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r ya r et w oo ft h ei m p o r t a n tt o p i c s i nt h et h e o r yo fl i ea l g e b r a s i ti sw e l lk n o w nt h a tv e r t e xo p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o n s o fa f f i n el i ea l g e b r a sh a v ei m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n ga p p l i c a t i o n si nm a n ya r e a s o fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s t h ef i r s tc o n s t r u c t i o no fb a s i cr e p r e s e n t a t i o n sf o r a f f i n el i ea l g e b r a s w h i c hi su s u a l l yc a l l e dt h ep r i n c i p a lv e r t e xr e p r e s e n t a t i o n w a s d i s c o v e r e db yl e p o w s k ya n dw i l s o n 1 5 a n df u r t h e rg e n e r a l i z e di nf 1 4 t oa l lt h e a i l i n el i ea l g e b r a so fa d e t y p e a n o t h e rc o n s t r u c t i o no ft h es a m eb a s i cm o d u l e s o fa l la d e t y p ea f f i n el i ea l g e b r a sw a sg i v e nb yf r e n k e la n dk a c 1 1 d a n ds e g a l 1 7 t h r o u g ht h eu s eo ft h ev e r t e xo p e r a t o r sx a z w h i c ha r ev e r yu s e f u lf o r t h es t u d yo ft h ed u a lr e s o n a n c et h e o r y as u i t a b l yc h o s e nh e i s e n b e r ga l g e b r a o ra h e i s e n b e r gs y s t e m i sc r u c i a lt ot h e s ec o n s t r u c t i o n s at o r o i d a ll i ea l g e b r ai sau n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n 百 6 圆ao 咒o ft h e i t e r a t e d m u l t i l o o p a l g e b r a 白o a w h e r e a c i 碚1 辞1 砖1 i 扣 1 i s t h er i n g o fl a u r e n tp o l y n o m i a l si nc o m m u t i n gv a r i a b l e st o t t t v 6i sas i m p l ef i n i t e d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r ao v e rt h ec o m p l e xf i e l dc s i n c et h en o n t w i s t e da f f i n el i e a l g e b r a sa r et h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n so f6oc t 士1 t o r o i d a ll i ea l g e b r a s c a nb er e g a r d e da st h em u l t i v a r i a b l e sg e n e r a l i z a t i o no fa f f i n el i ea l g e b r a s a n d 8 0i ti se x t r e m e l yn a t u r a lt oc o n s i d e rt h e i rv e r t e xr e p r e s e n t a t i o n s t h ew o r k s 8 1 0 1 6 1 w e r et h ef i r s tt os t u d ys i m p l y l a c e dt o r o i d a ll i ea l g e b r a sa n dt h e i rv e r t e x r e p r e s e n t a t i o n si nt h eh o m o g e n e o u sp i c t u r e s e ea l s o 陋4 7 9 1 2 1 8 e t c l e t 口b et h ed e r i v a t i o na l g e b r ao fa t h e nt h el i ea l g e b r ab ao 口i st h es o c a l l e df u l lt o r o i d a ll i ea l g e b r aa s s o c i a t e dw i t h6 i tt u r n so u tt h a tr e p r e s e n t a t i o n s o fgh a v ec l o s er e l a t i o n sw i t hm o d u l e so ft h et w i s t e dh e i s e n b e r g v i r a s o r oa l g e b r a 日珏 i nf 5 t h es t r u c t u r eo fm o d u l e so f 丑靠w a sd i s c u s s e d r e p r e s e n t a t i o n so f gw e r eg i v e ni n 6 b ya s s o c i a t i n gw i t hgav e r t e xo p e r a t o ra l g e b r aw h i c hi st h e i i i t e n s o rp r o d u c to ft h ev o ac o n s t r u c t e di n 3 a n dav o ao b t a i n e do nt h eb a s i so f t h ew o r k 5 i nt h i sp a p e r w ef i r s tg i v ea ne x p l i c i tc o n s t r u c t i o no fi n d e c o m p o s a b l e m o d u l e so fh v i r t h e nw eg e tac l a s so fv e r t e xr e p r e s e n t a t i o n so ft h ef u l lt o r o i d a l l i ea l g e b r ag s i n c eac l a s so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a ls i m p l el i ea l g e b r a sw a si n t r o d u c e db y b l o c k 2 4 g e n e r a l i z a t i o n so fb l o c ka l g e b r a sh a v eb e e ns t u d i e db yk z h a o y s u x x u l z h u d m e n g e t c p a r t i a l l yb e c a u s et h e ya r ec l o s e l yr e l a t e dt ot h e v i r a s o r oa l g e b r ao ra l g e b r a sa s s o c i a t e dq u a n t u mp l a n e e g 2 5 3 0 3 1 3 2 3 5 4 0 4 2 4 3 4 5 1 i ti sa l s oas p e c i a lc a s eo fc a r t a nt y p es l i ea l g e b r a s e g 4 4 3 8 o rp o i s s o n o rh a m i l t o n i a n a l g e b r a s e g 4 4 3 7 3 9 1 o n eo fo u rm o t i v a t i o n st o s t u d yr e p r e s e n t a t i o n so ft h i sl i ea l g e b r ai st ob e t t e ru n d e r s t a n dr e p r e s e n t a t i o n so f l i ea l g e b r a s0 f4f a m i l i e so fc a f t a nt y p e l e i b n i za l g e b r a sw e r ec o n s i d e r e db yb l o c hi n 4 6 w h i c hw e r ec a l l e dd a l g e b r a s l o d a yc a l l st h ea l g e b r a sa sl e i b n i za l g e b r a sw h e nh es t u d i e sl e i b n i zc o h o m o l o g y s i m i l a rt ol i ea l g e b r a sc o h o m o l o g yi n 4 7 4 8 l e i b n i za l g e b r a sa r en o n c o m m u t a t i v eg e n e r a l i z a t i o n so fl i ea l g e b r a s m o s tp a p e r so nl e i b n i za l g e b r a sa r er e l a t e d t oi t sc o h o m o l o g yf 4 7 5 1 t h es t r u c t u r et h e o r yo fl e i b n i za l g e b r a si sn o ty e t w e l l d e v e l o p e d 5 2 5 4 1 e t c i ti st h u sh e l p f u lt od os o m er e s e a r c ho ni t t h ep r e s e n tp a p e ri n c l u d et h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r tw ed i s c u s sr e p r e s e n t a t i o n so ft h et w i s t e dh e i s e n b e r g v i r a s o r oa l g e b r aa n dt h ef u l lt o r o i d a ll i ea l g e b r a s g i v ea ne x p l i c i tc o n s t r u c t i o no fi n d e e o m p o s a b l em o d u l eo fh v i fa n dg e tac l a s so f v e r t e xr e p r e s e n t a t i o n so ft h ef u l lt o r o i d a ll i ea l g e b r a s i nt h es e c o n dp a r tw e c o n s t r u c tav e r m am o d u l e so v e rab l o c kl i ea l g e b r aba n di r r e d u c i b l ez g r a d e d b m o d u l evw i t ha tl e a s to n eg r a d e ds u b s p a c eb e i n gf i n i t ed i m e n s i o n a la r ec l a s s i f l e d m o r e o v e rp r o v et h a ta ni r r e d u c i b l eh i g h e s tw e i g h tb m o d u l evi sq u a s i f i n i t e i fa n do n l yi fi t i sap r o p e rq u o t i e n to fav e r m am o d u l e i nt h et h i r dp a r ta l l 3 d i m e n s i o n a ll e i b n i za l g e b r a sn o nl i ea r ed e t e r m i n e d u pt oi s o m o r p h i s m k e yw o r d s h e i s e n b e r g v i r a e o r oa l g e b r a s t o r o i d a ll i ea l g e b r a s f u l l t o r o i d a ll i ea l g e b r a s b l o c kt y p el i ea l g e b r a s v e r m am o d u l e q u a s i f i n i t em o d u l e l e i b n i za l g e b r a s i r r e d u c i b l em o d u l e 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立 进行研究工作所取得的成果 除论文中已经注明引用的内容外 本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果 对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 蒋启芬 日期 年月 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版 允许论 文被查阅和借阅 本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印 或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密口 在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密阢 请在以上方框内打 学位论文作者签名 蒋启芬指导教师签名 姜翠波 日期 年月日 e l 期 年月日 1 1 第零章绪论 0 1背景及相关结果介绍 李代数的表示及相关问题与数学 物理等学科的许多领域密切相关 因而一 直是基础数学研究的重要领域 对无限维李代数真正的系统研究开始于二十世纪 六十年代 当时一些代数学家如g u i l l e m i n s t e r b e r g w e i s f e i l e r 等试图找到c a f t a n 关于有限维空间上单的无限维向量场李代数的分类定理的代数证明 在此后的几 十年里 无限维李代数理论得到了迅猛发展并越来越显示其强大的生命力 在被深入系统研究的几类无限维李代数中 仿射型k a c m o o d y 代数 简称仿 射李代数 由于其与有限维单李代数及数学 物理的众多分支的密切联系 从而成 为李代数研究的最活跃领域之一 这方面工作的进展尤其是仿射李代数的可积表 示方面的研究成果十分引人注目 仿射李代数的可积表示理论内容极其丰富 其中 的顶点表示理论应用最为广泛 它的基本表示的第一个构造通常叫主顶点表示 是由l e p o w s k y 和w i l s o n 发现的 1 5 1 v g k a c a k a z h d a n j l e p o w s k y 和 r l w i l s o n 把它进一步推广到仿射的a d e 型李代数 1 4 随后i b p r e n k e l 和 v g k a c 采用相同的基本模又给出了a d e 型的另一构造 即通过使用顶点算子 构造基本模 1 1 1 7 这些构造很快在微分方程 量子力学 共形场理论等学科得 到漂亮的应用 此后关于顶点表示的研究始终非常活跃 一直是李代数研究的最 热门领域之一 这方面的研究进展备受代数学家和物理学家的关注 现在 顶点表 示理论的研究早已超越仿射李代数的范围 涉及v i r a s o r o 代数 量子群 顶点算 子代数及近些年由b e r m a n b i l l i g e s w a r a r a o y u ng a o 谭绍滨 姜翠波 孟道 骥等人系统研究的扩张仿射李代数包括t o r o i d a l 代数等 应用更加广泛 许多重 要的课题需要去研究和解决 s e s w a r a 和r v m o o d y 以及i b f r e n k e l 他们首先研究了单边的t o r o i d a l 李 代数及在齐次顶点图中的顶点表示 8 1 0 1 6 s b e r m a n y b i l l i g m a f a b b r i r v m o o d y 以及厦门大学的谭绍滨教授 以及姜翠波教授 孟道骥教授等都做了 相关的研究 姜翠波教授等对广义c a f t a n 矩阵非对称的无扭仿射李代数 无限秩 仿射李代数及t o r o i d a l 代数的顶点表示进行了研究 由于广义c a f t a n 矩阵非对称 的无扭仿射李代数的实根系中有长根和短根 其结构要比a d e 型仿射李代数复 杂 从而构造其顶点表示困难得多 她们在f r e n k e l w i l s o n 等人工作的基础上 通 上海交通大学博士学位论文 过巧妙地构造新的顶点算子及表示空闻 给出了所有广义c a r t a n 矩阵非对称的无 扭仿射李代数的水平为1 的不可约齐次顶点表示 而且其结果涵盖了a d e 型无 扭仿射李代数的情形 同时给出了无限秩仿射李代数口 的水平大于1 的顶点表 示与c 的锲表示 讨论了c 与a o 的可积表示之间的关系 给出了非单边的 马型t o r o i d a l 代数与只型扩张t o r o i d a l 代数的一类齐次顶点表示 1 9 2 3 1 t o r o i d a l 李代数白 6 圆a s 是多重圈代数矗因a 的泛中心扩张 其中6 是 c 上的有限维单李代数 a c l t 手1 t 1 砖1 l 扣 1 是l a u r e n t 多项式环 既然无扭的仿射l i e 代数是6oc 胪1 的泛中心扩张 t o r o i d a l 李代数可看作是 无扭仿射李代数在多个变量上的推广 因此我们自然考虑到它们的顶点表示 在 文献 8 1 0 1 6 中首先研究了单边t o r o i d a l 李代数及它们的齐次顶点表示 也可参 见 2 4 7 9 1 2 1 8 等 令d 是4 的导子代数 则l i e 代数g 6 0 口就是所谓的 结合于白的全t o r o i d a l 李代数 我们又知道扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数c 是定 义在圆上的次数至多为1 的微分算子代数 一 t 兰 g t j l g c t t 1 u 的泛中心扩张 这说明g 的表示和扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数z 0 打的模有着非 常密切的关系 在 1 1 和 2 中研究了扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数的表示 5 6 给出了扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数的导子代数和它的自同构群 5 j 7 1 给出了只 有一个权空间有限的扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数的不可约模的分类 其中证明 了只要有一个权空间是无限维的 则每个权空间都是无限的 在 5 1 讨论了风 i r 模的结构 在 6 通过 3 和f 5 的v o a 的张量积得蓟g 的v o a 给出了g 的表 示 随着无限维李代数理论的研究和发展 新的无限维李代数不断出现 如由 k a w a m o t o o s b o r n 赵开明 苏育才等系统研究的广义c a r t a n 型李代数 b l o c k 型李代数 w e y l 型李代数等等 都有很多重要而基本的问题需要研究 b l o c k 2 4 引进了一类无限维单l i e 代数 赵开明 苏育才 徐小平 朱林生 孟道骥等人把 这类代数进行了推广 这主要是因为它们和v i r s s o r o 代数或者量子平面代数密切 相关 2 5 3 0 3 l 3 2 3 5 4 2 4 3 4 5 我们所研究的这类b l o c kl i e 代数是c a f t a n 型sl i e 代数 f 4 4 3 8 或p o i s s o n h a m i l t o n i a n 代数 4 4 3 7 3 9 的一种特殊情 况 研究它的表示可以更好地理解c a f t a n 型4 类l i e 代数的表示 l e i b n i z 代数 最早是由b l o c h 在 4 6 中考虑 当时被称为d 代数 后来l o d a y 在 4 7 4 8 中 2 第零章 绪论 研究类似于l i e 代数同调的l e i b n i z 同调时提出了这个概念 它是比l i e 代数更广 泛的一类代数 通常不满足反交换性 对l e i b n i z 代数的研究大多数都是关于同调 问题的考虑 可参阅 4 弘5 1 等 对于它的结构理论的结果还不是很丰富 5 2 5 4 等 因此在这方面做些工作是有意义的 3 上海交通大学博士学位论文 0 2 本文的主要工作 李代数的结构和表示是李代数理论中两个永恒的主体 对于李代数的表示 众所周知 仿射李代数的顶点算子表示在数学和物理的很多领域有着非常重要和 有趣的应用 从而这方面的研究备受代数学家和物理学家的关注 现在 顶点表 示理论的研究早已超越仿射李代数的范围 涉及v i r a s o r o 代数 量子群 顶点算 子代数及近些年由b e r m a n b i l l i g e s w a r a r a o y u ng a o 谭绍滨 姜翠波 孟道 骥等人系统研究的扩张仿射李代数包括t o r o i d a l 代数等 t o r o i d a l 李代数 百0 a o 咒是多重圈代数6 0 a 的泛中心扩张 其中g 是c 上的有限维单李代数 一4 c i t 土1 t 1 培1 l 扣 1 是l a u r e n t 多项式环 既然 无扭的仿射l i e 代数是百oc p l 的泛中心扩张 t o r o i d a l 李代数可看作是无扭仿 射李代数在多个变量上的推广 因此我们自然考虑到它们的顶点表示 在文献 8 1 0 1 6 中首先研究了单边t o r o i d a l 李代数及它们的齐次顶点表示 也可参见 2 4 7 9 1 2 1 8 等 姜翠波 孟道骥 谭绍滨等人研究了非单边的b i 只t o r o i d a l 李代 数的顶点表示 令口是4 的导子代数 则l i e 代数g o 口就是所谓的结合于自 的全t o r o i d a l 李代数 这说明g 的表示和扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数日靠的模 有着非常密切的关系 本文的第一部分的主要内容给出扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数月 扣的不可分解模的一个详细构造和非单边的全t o r o i d a ll i e 代数的一个顶 点表示 主要有以下定理 定理1 1 2 定义日附在k 上的作用印如下 0 0 j m 工嚣 a o h m m r c r o c 0 2 2 4 0 2 印 c 日 芸 印 o f 0 五 则 k 是z 0 i r 的一个表示 定理1 1 3 1 y o 是蜀倍的一个不可分解模 2 令l n 是由1o1 生成的k 的子模 则 n 是不可约的 3 存在 的子模序列构成的滤过0 w 0c nc cw ic 使得 磁 1 阢是风 r 的 个不可约模 定理1 2 1 2 定义从l i e 代数9 到g l v 的线性映射 r 丌 e o t t j m 口 如 口 丌 y 一1 口 pt t j e 如 口 a 4 第零章 绪论 7 r t 驴t t l 暑 d i m o 6 m 0sl s v o t t 孑o t k t 3 j 1s2 耳 t t o x 6 则 v7 r 是全t o r o i d a ll i e 代数g 的 个表示 随着无限维李代数理论的研究和发展 新的无限维李代数不断出现 如由 k a w a m o t o o s b o r n 赵开明 苏育才等系统研究的广义c a f t a n 型李代数 b l o c k 型李代数 w e y l 型李代数等等 都有很多重要而基本的问题需要研究 本文的第 二部分研究了一类b l o c k 单l i e 代数的v e r m a 模 我们所研究的这一类b l o c kl i e 代数是c a r t a n 型sl i e 代数 f 4 4 3 8 或p o i s s o n h a m i l t o n i a n 代数 4 4 3 7 3 9 的一种特殊情况 主要有 定理2 1 1 设y 是b z 的权为a 的 个不可约最高权模 下列说法等价t 1 v 是伪有限的 2 y 是v e r m a 模m a 卜 的 个非平凡商 3 f z z 0 一j 1 z 一景 是 个伪多项式且对所有歹 z 它 满足同 个常系数的非平凡的线性微分方程 定理2 1 2 设m a 最高权为a 的v e r m a 肟 r 一模 参见 2 2 1 1 关于r 的 个稠密序 卜 参见 2 2 8 m a 卜 是不可约的 辛a 0 而且 在a 0 的情况 子模 m r 0 卜 肛o a l m r f l 一 l j l 三一n 咖是不可约的 净 对所有z r n z 使得7 x 卜暑 2 关于 个离散序 参见 2 2 9 m a 是不可约的仁号b a z 一模耽 a 卜 是不可约的 l e i b n i z 代数是比l i e 代数更广泛的一类代数 通常不满足反交换性 事实上 l i e 代数是l e i b n i z 代数的一个商代数 考虑低维l e i b n i z 代数的分类是一个自然 的问题 二维非l i e 代数的l e i b n i z 代数的分类已被l o d a y 解决 众所周知 非 l i e 代数的l e i b n i z 代数从经典意义上来说都不是单的 它包含一个由它的平方元 5 上海交通大学博士学位论文 生成的非零的真理想 因此在本文的第三部分我们通过它的理想的维数和商代数 来讨论三维非l i e 代数的l e i b u i z 代数的同构类 我们有 定理3 2 9 任一个三维非l i e 代数的l e i b n i z 代数g 必同构于下面的一种 d i m i l 1 e 2 v 2 e 3 2 e 2 e l e 3 3 e l e l e 3 e 2 e 2 j e 3 4 e l e 1 1 e 3 e 2 e 1 k e 3 e 2 e 2 e 3 5 b 叫 e 3 6 e 1 e l e 3 e l e 2 e 2 e 2 e l e 2 7 e l e 2 e 2 e 2 e l 一e 2 e 3 e l k e s 8 e l e 2 e 2 e 2 e l e a e 2 e 2 e 3 e 3 e l 2 e 3 9 e l e 2 e l e 3 e 2 e 3 1 0 陋l 嗣 9 1 l e 2 e 2 e 3 1 1 e l e 2 1 e l e 3 e 3 e 2 k e 3 1 e 3 1 2 e l e 2 e 3 e 2 e 2 e 1 d i m i 2 g 只含二维理想 1 3 e 2 6 3 e l e 2 e l e 3 k e 2 其中 e l e 2 e 3 为g 的一组基 且基向量的其余括积均为o 是 0 6 第一章扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数和全t o r o i d a ll i e 代数的表示 1 1 扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数h v i 的不可分解模 在这一节我们给出了扭的h e i s e n b e r g v k a s o r ol i e 代数日 的一类不可分解 模 定义1 1 1 f 1 5 扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r ol i e 代数风倍是一个l i e 代 数 有如下的基 j n 日 n c j c j c x i n z 括积为 j m n m n j m n 如 一 竺等 o v m 日 仃 n h m n 一6 m 0 7 1 2 m c j 阻 m 日 n m 如 oc h 日陆 仍 风仰 o 日 三m c 纠 0 令q o 是由基 a o 南 生成的格 b o c o q o 在q o 上定义对称双线性型 l a o l 南 1 a o l a o 0 6 0 l a o 0 对七 z 令h o k 是b o 的一个拷贝 l e t 元o k e z b o 七 7 1 0 o z o b o 七 饨i k e z b o 膏 令v o s 彳 是由甓i 生成的对称代数 则k 是一个前 模 对o b o 一 0 a n 和b 分别是乘法作用和偏微分算子作用 且a o 作用是零 对任意的 n z 知 c 定义k 上的算子如下t 7 上海交通大学博士学位论文 若m 0 a o 0 则 l 篓 如 一七 a o 仇 a o 一七 南 m 一a o m 1 a o 品 m 膏 z 若m 0 a o 0 则 证明 工嚣 岛 一k a o k m a o 一k 而 m 一 m 1 a o m k e z 工5 0 6 0 k a o k a 0 一七 岛 七 n 对m n z 我 若a o 0 1 1 1 若知 0 in 6 0 n m a o m m 1 件 0 若a o 0 n 工5 ln s o n m m m 1 6 m o 若 0 a o n 工5 n a o n m a o m m 1 i o b n 工剀 乏 阶 卅 七十m 枞a 0 卅狮训 一a o m 1 岛 功 a o 晶 m 一a o m 1 n h o m 1 去 洒 m n 瓯 n m 一a o m 1 n 6 卧n o 8 r 矶 如 舞 笋有 什 力 盯 仃 十 七 碳 肌 训七l 卜 如 k 坼 陋 讲 砌 玎 卜 n 舭 联 a h 砸 乏 小 a 脚 1 2 第一章 扭的h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数和全t o r o i d a ll i e 代数的表示 n 如 m n a o r r t m 1 6 o a o 0 同理 若h o 如 n l 鼎 n 6 0 f r a n m m 1 6 a o n 刮 a n 如 一k a m a n a 如 七 m k e z a o m 1 f a o 力 a o 岛 m 岛 一七 a o n a o 七十r n a o n 6 0 一七 a o 詹 确 七 z a 一七 a n 如 七 m a a 一七 品 七 m 一a m 1 a 扎 南 m n 确 n a 0 m 一a m 1 n 如 i 几 n m a o m m 1 6 m 0 定理1 1 2 定义日附在k 上的作用c r 0 如下 a o j m 职 印 日 功 j m c r 0 o 2 一 2 4 a 3 印 c j 日 i n c r o o 则 印 k 是风仰的一个表示 定理1 1 3p j 是日w 的一个不可分解模 例令肌是由1o1 生成的v o 的子模 则m 是不可约的 俐存在k 的子模序列构成的滤过0 v v oc1 c c1 帆c 使得 m l w 是王0 扣的一个不可约模 证明 1 设0 t 使得 三震 t j m h o 对所有的m n 容易证明口 c 10 1 从f 5 我们知道 不可约 假设k 能分解成两个非零子 模 毛和尬的直和 由于 是一个限制模 存在非零元 1 毛和t j 2 如使 得 l 纂 v i j m 饥 0 t i 2 9 上海交通大学博士学位论文 所以v l 也 c x 0 1 这与假设尬n 如 o 矛盾 因此v o 是不可分解的 2 由 5 中的定理2 3 和三婴 1 0 可得 3 令w i 1 是由a o 一1 i 1 2 生成的v o 的子模 易知a o 一1 叠睨 由品 1 a o 1 i a o i 我们有职cm 1 考虑模 k l i k 我们有 6 0 1 a o 一1 睨 i a o 一1 一1 磁 0 m d o n a o 1 m 0 m i 1 f z 工 o a o 一1 磁 一2 a o i a o 一1 一1 磁 o 磁 l 字 a o 一1 职 o 暇 因此 v d 磁是日晰的一个最高权模 最高权向量为a o 一1 i k 对n z 令 w i d w o 一n 是由a l n 1 吼 一m a o 一1 磁 张成的睨 l 舷的子 空间 满足o i 一n i j m 或日 一n i 1si 七 k z 且n l m m 则 m 十1 磁 一1 印肌 南 一1 一1 a o 2 a o 一1 睨 若t i k 1 职 1 满足 工震 口 m 口 0 对所有m n 则 口 c a o 一1 a o 1 九 a o a a o 1 一1 矾 若 0 1 1 2 或 t c a o 1 a o 1 4 a o 2 a o 一1 磁 若a o 0 1 1 3 由于a o 一1 i 我们有 a o 一2 l 翌 a o 一1 和 a 一3 工翌 a o 一2 1 0 箜二主 壑堕堡垫竺 塑望竺垡墼塑全堡翌 垡型墨丝垡塾堕壅重 通过对i 归纳 我们想证明h o k h o 1 a o 一2 a o 一1 em 七 3 k l i 1 j i 一2 假设t 2 上式成立 则对 1 我们有 a o 一卜2 击三擎a 一l 一1 职c 职 1 1 1 4 另一方面 我们有 l 坚l a o 一1 a i 一2 n o 一七 品 一f a 一1 k k 1 0 z t t o l i a o o a o 一i 一1 1 5 o o 如 一i 一1 a o 一1 e l 因此由 1 1 4 和假设 我们得到a o 一l 一1 a o 1 l 破 1 类似地 考虑l 翌 a o 一1 2 l 1 a o 一1 3 工翌 a o 一1 一1 l 翌 a o 一1 我们获得a o 一i a o 一1 2 a o 一i 1 a 0 一1 3 a o 一3 a o 一1 a o 一2 a o c 一1 一1e 1 因此对任意 的i 2 我们有 a o 七 a o 一1 a o 一2 a o 一1 j w 气 七 3 七 f i z i i 一2 因此由事实 工翌a 一1 一1 一1 a o 一3 a o 一1 一1 一1 a o 一1 a o 氏 o a o 一2 i 一氏 o 如 一2 a o 一1 ew 和 1 1 2 1 1 3 我们证明了若ue w 1 暇 一1 满足工5 t j m t 0 对所有m n 则t 0 由文献 5 中的定理2 3 弼 i 磁是不可约的 i i 上海交通大学博士学位论文 1 2 全t o r o i d a ll i e 代数的顶点表示 设6 是复数域c 上有限维非单边五型单l i e 代数 b 是6 的c a r t a n 子 代数 令厶是关于6 的根系 q l 啦 是单根系 这里 a a 和 口 l 锄 分别表示 i 中的长根集和短根集 用r 2 表示且 a 最型 r 3 表示g 2 型 设 小 是6 上的非退化对称双线性型 使得m a x a a a 2 啦 啦 叠 1 i f 这里的6 是6 的对偶空间 对口 厶 令