连续时间傅里叶变换.doc

第二章 连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积。(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数集可以是三角函数集或复指数函数集，函数周期为T1，角频率为。(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。(4) 三角形式的FS：(i) 展开式：(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：(b) n次谐波余弦分量：(c) n次谐波的正弦分量：(iii) 系数和统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。(iv) 称为信号的基波、基频；为信号的n次谐波。(v) 合并同频率的正余弦项得：(a)(b) 和分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。(vi) 傅里叶系数之间的关系：(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(5) 复指数形式的FS：(i) 展开式：(ii) 系数计算：(iii) 系数之间的关系：(iv) 关于n是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。(v) 正负n (n非零)处的的幅度和等于或的幅度。(6) 奇偶信号的FS：(i) 偶信号的FS：；(实，偶对称)；(ii) 偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。(iii)奇信号的FS：；(纯虚，奇对称)；(iv) 奇的周期信号的FS系数只有正弦项。(7) 周期信号的傅里叶频谱：(i) 称为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。(ii)称为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。(iii)称为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率(或频率)上有值。(v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为。(vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。(viii)称为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。(ix)称为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。(8) 周期矩形脉冲序列的FS谱的特点：(i) 谱线包络线为Sa函数；(ii) 谱线包络线过零点：(其中为谱线间隔)：，或，即当时，。(iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。(iv) 带宽或只与矩形脉冲的脉宽有关，而与脉高和周期均无关。(定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)(9) 周期信号的功率：(10) 帕斯瓦尔方程：2 非周期信号的频谱分析傅里叶变换(FT)(1) 信号f (t)的傅里叶变换：是信号的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。(2) 频谱密度函数的逆傅里叶变换为：(3) 称为FT的变换核函数，为IFT的变换核函数。(4) FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。(5) FT具有可逆性。如果，则必有；反之亦然。(6) 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成(i) 称为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性；(ii) 称为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。(7)FT频谱可分解为实部和虚部：(8)FT存在的充分条件：时域信号绝对可积，即。注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。(9) FT及IFT在赫兹域的定义：；(10) 比较FS和FT：FSFT分析对象周期信号非周期信号频率定义域离散频率，谐波频率处连续频率，整个频率轴函数值意义频率分量的数值频率分量的密度值3 典型非周期信号的FT频谱(1) 单边指数信号：幅度谱：相位谱：单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。图1 (a)单边指数信号 (b)幅度谱 (c)相位谱(2) 偶双边指数信号：，为实偶函数。幅度谱：相位谱：偶双边指数信号及其频谱如图2所示。图2 (a)偶双边指数信号 (b)频谱(3) 矩形脉冲信号： (脉宽为t、脉高为E)，为实函数。幅度谱：相位谱：矩形脉冲信号及其频谱如图3所示。图3 (a)矩形脉冲信号 (b)频谱矩形脉冲FT的特点：(i) FT为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积；(ii) FT的过零点位置为；(iii)频域的能量集中在第一个过零点区间之内(iv) 带宽为或，只与脉宽有关，与脉高E无关。信号等效脉宽：信号等效带宽：图4 (a)信号的等效脉宽 (b)等效带宽(4) 符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT。幅度谱：相位谱：符号函数及其频谱如图5所示。图5 (a)符号函数 (b)频谱(5) 冲激信号：均匀谱/白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的。强度为E的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度。单位冲激信号及直流信号的频谱函数总结：FT定义FT可逆性FT可逆性IFT定义(6) 阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT在处有一个冲激，该冲激来自中的直流分量。单位阶跃信号及其幅度谱如图6所示。图6 单位阶跃函数及其幅度谱4 FT的性质(1) 线性性：线性性包括：齐次性；叠加性。(2) 奇偶虚实性：偶偶奇奇实偶实偶 (FT可变为余弦变换)实奇虚奇 (FT可变为正弦变换)实信号的FT：(实信号可分解为：实偶+实奇)实部是偶函数，虚部是奇函数：实实偶+j实奇偶共扼对称：幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数：实实偶EXP(实奇)虚信号的FT具有奇共扼对称性：偶共轭对称或奇共轭对称的函数满足幅度对称：。实信号或虚信号的FT幅度谱偶对称，幅度谱函数是偶函数。(3) 反褶和共轭性：时域频域原信号f(t)F(w)反褶f(-t)F(-w)共扼f *(t)F *(-w)反褶+共扼f *(-t)F *(w)(4) 对偶性：傅里叶正逆变换的变换核函数是共轭对称的：；表示按自变量w进行傅里叶变换，结果是t的函数。IFT可以通过FT来实现。FT的对偶特性：若为偶函数，则；若为奇函数，则。(5) 尺度变换特性：此性质表明：时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩。(6) 时移特性：时移不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位。与尺度变换特性综合：(7) 频移特性：与尺度变换特性综合：频谱搬移：时域信号乘以一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率位置处。利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号达到频谱搬移目的。(8) 微分特性：时域微分：频域微分：如果连续运用微分特性，则