2019年极限定义证明范文.doc

极限定义证明范文 趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2 这两个用函数极限定义怎么证明? x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 证明：对于任意给定的0，要使不等式 |sinx/x-0|=|sinx/x|成立，只需要 |sinx/x|22,即sinx2/xsinx2/2, |sinx|1只需不等式x1/2成立， 所以取X=1/2，当xX时，必有|sinx/x-0|0，要使不等式 |1-4x2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|成立，只 需要0|x+1/2|/2成立.所以取=/2,则当0|x+1/2|时，必有 |1-4x2/2x+1-2|=|2x+1|a=0,M1; 那么存在N1,当xN1,有a/MN2时，0Ni时，0N,有 (a/M)n=f1(x)n=f1(x)n+.fm(x)n 所以a/M=f1(x)n+.+fm(x)n(1/n) 对n取极限，所以a/M=g(x)N时成立; 令x趋于正无穷， a/M=下极限g(x)=上极限g(x)1,ba都成立，中间两个极限都是固定的数。 令M趋于正无穷，b趋于a; 有a=下极限g(x)=上极限g(x)=a; 这表明limg(x)=a; 证毕; 证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。 还有个看起来简单些的方法 记g(x)=limf1(x)n+.+fm(x)n(1/n)，n趋于正无穷; g(x)=maxf1(x),.fm(x); 然后求极限就能得到limg(x)=maxa1,.am。 其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。 有种简单点的方法，就是 maxa,b=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。 多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式， 故极限可以放进去。 2 一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: Th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过