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第2章 连续控制系统的数学模型 第2章 连续控制系统的数学模型 2 1 控制系统数学模型的概念 2 1 控制系统数学模型的概念 控制理论分析 设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型 所谓数学模型就是 根据系统运动过程的物理 化学等规律 所写出的描述系统运动规律 特性 输出与输入 关系的数学表达式 数学模型就是 根据系统运动过程的物理 化学等规律 所写出的描述系统运动规律 特性 输出与输入 关系的数学表达式 2 1 1 数学模型的类型 2 1 1 数学模型的类型 数学模型是对系统运动规律的定量描述 表现为各种形式的数学表达式 从而具有不同 的类型 下面介绍几种主要类型 1 静态模型与动态模型静态模型与动态模型 根据数学模型的功能不同 数学模型具有不同的类型 描述系统静态 工作状态不变或 慢变过程 特性的模型 称为静态数学模型 静态数学模型一般是以代数方程代数方程表示的 数学 表达式中的变量不依赖于时间变量不依赖于时间 是输入输出之间的稳态关系 描述系统动态或瞬态特性的模 型 称为动态数学模型 动态数学模型中的变量依赖于时间 一般是微分方程微分方程等形式 静态 数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况 2 输入输出描述模型与内部描述模型输入输出描述模型与内部描述模型 描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型 如微分方程 传递函 数 频率特性等数学模型 而状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入 输出之间的关 系 所以称为内部描述模型 内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系 而且描述 了系统内部信息传递关系 所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性 3 连续时间模型与离散时间模型连续时间模型与离散时间模型 根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号 数学模型分为连续时间模型和 离散时间模型 简称连续模型和离散模型 连续数学模型有微分方程 传递函数 状态空间 表达式等 离散数学模型有差分方程 Z传递函数 离散状态空间表达式等 4 参数模型与非参数模型参数模型与非参数模型 从描述方式上看 数学模型分为参数模型和非参数模型两大类 参数模型是用数学表达 式表示的数学模型 如传递函数 差分方程 状态方程等 非参数模型是直接或间接从物理 系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型 如脉冲响应 阶跃响应 频率特性曲线 等 数学模型数学模型虽然有不同的表示形式 但它们之间可以互相转换可以互相转换 可以由一种形式的模型转 换为另一种形式的模型 例如 一个集中参数的系统 可以用参数模型表示 也可以用非参 数模型表示 可以用输入输出模型表示 也可以用状态空间模型表示 可以用连续时间模型 表示 也可以用离散时间模型表示 2 1 2 建立数学模型的方法 2 1 2 建立数学模型的方法 建立系统的数学模型简称为建模建模 系统建模有两大类方法 一类是机理分析建模机理分析建模方法 称为分析法 另一类是实验建模方法 通常称为系统辨识系统辨识 机理分析建模方法是通过对系统内在机理的分析 运用各种物理 化学等定律 推导 出描述系统的数学关系式 通常称为机理模型 采用机理建模必须清楚地了解系统的内部结 构 所以 常称为 白箱 建模方法 机理建模得到的模型展示了系统的内在结构与联系 较好地描述了系统特性 但是 机理建模方法具有局限性 特别是当系统内部过程变化机理 还不很清楚时 很难采用机理建模方法 而且 当系统结构比较复杂时 所得到的机理模型 往往比较复杂 难以满足实时控制的要求 另一方面 机理建模总是基于许多简化和假设之 上的 所以 机理模型与实际系统之间存在建模误差 系统辨识是利用系统输入 输出的实验数据或者正常运行数据 构造数学模型的实验 建模方法 因为系统建模方法只依赖于系统的输入输出关系 即使对系统内部机理不了解 也可以建立模型 所以常称为 黑箱 建模方法 由于系统辨识是基于建模对象的实验数据 或者正常运行数据 所以 建模对象必须已经存在 并能够进行实验 而且 辨识得到的模 型只反映系统输入输出的特性 不能反映系统的内在信息 难以描述系统的本质 最有效的建模方法是将机理分析建模方法与系统辨识方法结合机理分析建模方法与系统辨识方法结合起来 事实上 人们在 建模时 对系统不是一点都不了解 只是不能准确地描述系统的定量关系 但了解系统的一 些特性 例如系统的类型 阶次等 因此 系统象一只 灰箱 实用的建模方法是尽量利 用人们对物理系统的认识 由机理分析提出模型结构 然后用观测数据估计出模型参数 这种方法常称为 灰箱 建模方法 实践证明这种建模方法是非常有效的 机理分析提出模型结构 然后用观测数据估计出模型参数 这种方法常称为 灰箱 建模方法 实践证明这种建模方法是非常有效的 本章介绍机理建模方法 着重介绍几种常用的数学模型 系统辨识建模方法将在第10 章介绍 2 2 状态空间模型 2 2 状态空间模型 状态空间模型是控制系统的内部模型 描述了系统内部状态 系统输出与系统输入之间 的关系 深入地揭示了系统的动态特性 是现代控制理论分析 设计系统的基础 2 2 1 状态与状态空间的概念 2 2 1 状态与状态空间的概念 K Y t F t f M 图2 1 弹簧 阻尼器系统 为了说明状态的概念 首先考察一个熟悉的例子 如图 2 1 所示弹簧 阻尼器系统 根据物理学定律可知 在外作用力已知的情况下 如果知道了物体在某一时刻 的位移及速度 就能确定系统未来的动态响应 如果仅 知道物体的位移或速度 就不能确定系统未来的动态响 应 另一方面 物体的位移 速度及加速度这三个量显 然是不独立的 即可以根据其中的两个量确定另外的一 个量 因此这个量对于描述系统的状态是多余的 因此 可以选择物体在某一时刻的位移及速度作为弹簧 阻尼 器系统在某一时刻的状态 从上面这个例子可以看出 状态对于描述系统特 性应该是充分且必要的 因此 状态可以定义如下 状态是系统中一些信息的集合 在已知未来外部 输入的情况下 这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的 状态是系统中一些信息的集合 在已知未来外部 输入的情况下 这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的 上述定义中的必要性意味着这些信息中缺一就不能完全描述系统 充分性意味着再加 入一些信息则多余了 系统在各个时刻的状态是变化的 能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数变量的 一组变量称为状态变量状态变量 例如 弹簧 阻尼器系统的物体的位移与速度是一组状态变量 把描述系统状态的n个状态变量 2 1 nitxiL 作为一个向量的个分量 这个向量 称为状态向量 记为 即 n tx 2 1 T n txtxtxtx 21 L 例如 弹簧 阻尼器系统的状态向量为 ty ty tx Magnitude dB Bode Diagrams 60 40 20 0 20 10 2 10 1 10 0 10 1 200 150 100 50 0 图2 54 例2 25的伯德图 例2 26 系统的开环传递函数为 例2 26 系统的开环传递函数为 1004 2 5 2000 2 ssss s sHsG 解 1 将传递函数写成 10 10 2 0 21 2 1 1 5 1 1 50 2 s sss s sHsG 系统的开环频率特性为 10 10 2 0 21 2 1 1 5 1 1 50 2 jjjj j jHjG 则开环传递系数为 转折频率为50 K2 1 5 2 10 3 2 绘制对数坐标 并将各个转折频率标注在坐标轴上 3 确定低频段 因为系统是1型系统 50 KdbK3450lg20lg20 所以 可以过1 dbL34 这一点 作一条 20db dec的斜线得到对数幅频特性低频段 如图2 55所示 实际上 除了上面的确定方法 还有其它的方法 由式 2 122 可见 对于1型系统 当K 时 0 L 因此 低频段或者它的延长线在K 时与横轴相交 因此 在K 处作一条 20db dec的斜线 这条斜线上在第一个转折频率之前的那一部分即为1型系统的低 频段 在本例中 可以在50 处作一条 20db dec的斜线 这条斜线上在第一个转折频率之 前的那一部分即为1型系统的低频段 如图2 55所示 4 绘制开环对数幅频特性的渐近线 将低频段延伸到第一个转折频率2 1 因为第一个转折频率是惯性环节的转折频率 所以 开环对数幅频特性的渐近线下降20db dec 再延伸到第二个转折频率5 2 因为是 一阶微分环节 所以增加20db dec 再延伸到第三个转折频率10 3 因为是振荡环节 所以减少40db dec 如图2 55所示 5 绘制相频特性 绘制各个环节的对数相频特性曲线 然后逐点叠加 6 在转折频率处进行适当的修正 可以达到较为准确的对数幅频特性 对于惯性环节 在转折频率处减少3分贝 对于一阶微分环节 在转折频率处增加3分贝 对于振荡环节 根据式 2 112 得转折频率10 n 处的误差值为 db8 2 02 1 lg20 2 1 lg20 或者根据式 2 113 求出最大误差值为 6 921 2 max n dbL1 8 12 1 lg20 2 max 根据这两个值 对渐近线进行修正 如图2 55中实线所示 Frequency rad sec Phase deg Magnitude dB Bode Diagrams 100 50 0 50 100 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 300 200 100 0 图2 55 例2 26的伯德图 例2 27 系统的开环传递函数为 例2 27 系统的开环传递函数为 22 10 1 0 2 0 1000 sss s sHsG 解 1 将传递函数写成 22 10 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 20 sss s sHsG 系统的开环频率特性为 22 10 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 20 jjj j jHjG 开环传递系数为20 K 转折频率为1 0 1 2 0 2 10 3 2 绘制对数坐标 并将各个转折频率标注在坐标轴上 3 确定低频段 在本例中 因为有2个积分环节 系统是2型系统 20 K dbK2620lg20lg20 所 以 过1 dbL26 这一点作一条 40db dec的斜线就得到系统的低频段 如图2 56 所示 由式 2 102 可见 在第一个转折频率之前 2型系统的对数幅频特性近似为 lg40lg20lg20 2 K K L 所以 2型系统的对数幅频特性的低频段是斜率为 40db dec的斜线 当K 时 0 L 因此 2型系统的低频段或者它的延长线在K 时与横轴相交 因此 可以在横轴上 K 处作一条 40db dec的斜线 即为2型系统的低频段 在本例中 47 420 1 因此 可以在横轴上47 4 处作一条 40db dec的斜线 即为该系统的低频段 如图2 56所示 4 绘制开环对数幅频特性的渐近线 将低频段延伸到第一个转折频率1 0 1 因为第一个转折频率是惯性环节的转折频率 所以 开环对数幅频特性的渐近线下降20db dec 延伸到第二个转折频率2 0 2 因为是 一阶微分环节 所以增加20db dec 延伸到第三个转折频率10 3 因为是两个惯性环节 所以减少40db dec 如图2 56所示 5 绘制相频特性 绘制各个环节的对数相频特性曲线 然后逐点叠加 6 在转折频率处进行适当的修正 可以达到较为准确的对数幅频特性 对于两个相同的惯性环节 则在转折频率处减少6分贝 如图2 56中虚线所示 Frequency rad sec Phase deg Magnitude dB Bode Diagrams 200 100 0 100 200 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 350 300 250 200 150 图2 56 例2 27的伯德图 2 7 6 由伯德图确定传递函数 2 7 6 由伯德图确定传递函数 1 最小与非最小相位系统的概念 1 最小与非最小相位系统的概念 线性系统可以分为最小相位系统和非最小相位系统 如果系统的传递函数在右半S平面 上没有极点和零点 而且不包含滞后环节 则称为最小相位系统 如果系统的传递函数在右半S平面 上没有极点和零点 而且不包含滞后环节 则称为最小相位系统 否则 称为非最小相位 系统 也就是说 只包含比例 积分 微分 惯性 振荡 一阶微分和二阶微分环节的系统是 最小相位系统 而包含不稳定环节或滞后环节的系统则是非最小相位系统 在伯德图上 若一个最小相位系统和一个非最小相位系统具有相同的幅频特性 则最小 相位系统的相角滞后 总是小于非最小相位系统的相角滞后 例如 从不稳定典型环节的伯 德图上明显地看出 它们的相角滞后都大于所对应的稳定的典型环节的相角滞后 下面讨论最小相位系统的一个特征 利用这个特征可以判断系统是否是最小相位系统 设一个最小相位系统的传递函数的分子 分母的最高次数分别是和 则当nm 时 系 统的相频特性必然趋于 但对应的所有非最小相位系统虽然具有相同的幅频特 性 o mn90 时 系统的相频特性不等于 在伯德图上 当系统的对数相频特性 的高频段趋于 则为最小相位系统 否则 是非最小相位系统 o mn90 o mn90 2 由伯德图确定传递函数 2 由伯德图确定传递函数 对于最小相位系统 幅频特性和相频特性是单值对应的 因此 根据系统的对数幅频 特性就可以写出系统的传递函数或者频率特性 对于最小相位系统 幅频特性和相频特性是单值对应的 因此 根据系统的对数幅频 特性就可以写出系统的传递函数或者频率特性 例2 28例2 28 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图2 57所示 确定该系统的传递函 数 图2 57 最小相位系统的伯德图 L 0 10 1 0 4 0 1 20 40 20 40 20 60 4 44db db 解 由于对数幅频特性的低频段是decdb 20 的直线 所以 系统的传递函数有一个积 分环节 根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的变化 容易写出系统的传递函数为 10 10 1 21 4 0 1 1 1 2 s sss sK sG 由于低频段的延长线与0线 横坐标轴 的交点为db10 因此 10 K 由于在转折频率处对数幅频特性和其渐近线的误差为4 44 由式 2 112 得 db 44 4 2 1 lg20 3 0 所以 系统的传递函数为 1006 4 0 1 400 01 006 01 5 21 1 10 22 ssss s ssss s sG 例2 29例2 29 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图2 58所示 确定该系统的传递函 数 图2 58 最小相位系统的伯德图 L 0 101 0 2 20 60 20 解 由于对数幅频特性的低频段是decdb 20 的直线 所以 系统的传递函数有1个积分环 节 根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的变化 容易写出系统的传递函数为 2 2 2 2 51 1 01 2 0 1 1 10 1 1 ss sK ss sK sG 在本例中 没有给出低频段的延长线与横轴的交点频率 也没有给出低频段的延长线在 1 处的值 所以 不能用前面介绍的方法 在本例中 给出了穿越频率1 因此 可 以由 或者0 1 L1 1 jG确定K 由于在穿越频率附近 转折频率在穿越频率左边的惯性环节的幅频特性可以认为是 的斜线 即可以近似为一个积分环节 而转折频率在穿越频率右边的惯性环节的 幅频特性可以认为是的水平线 即可以近似为1 一阶微分环节 二阶微分环节 振荡 环节等可以进行类似的近似处理 从而简化计算 decdb 20 db0 在本例中 在穿越频率1 附近 可以作下列近似 32 22 22 25 5 5 1 1 0 1 KKK 因为在1 开环对数幅频特性为 或者幅值为1 即 db0 1 25 1 3 K 得 25 K 所以 系统的传递函数为 2 2 51 1 01 25 ss s sG 3 频率特性的实验确定法 3 频率特性的实验确定法 对于稳定的线性系统 可以根据实验得到的频率特性曲线 确定系统的传递函数等参数 模型 基本方法是采用正弦波发生器产生频率可调的正弦波 作用于被测系统 测量系统稳 态输出的正弦波的幅值和相角 在尽可能宽的频率范围内不断改变输入正弦波的频率 可以 测得一组实验数据 然后根据实验数据绘制伯德图 然后在对数幅频特性图上 用一组斜率 为 decdbn 20 L 2 1 0 n 的直线逼近系统的对数幅频特性曲线 作为系统对数幅频 特性的渐近线 显然 所选择的逼近对数幅频特性曲线的直线不是唯一的 事实上 如果选择的直线的 段数多 则可以比较精确地逼近 但系统数学模型的阶次较高 反之 如果选择的直线的段 数少 则不能精确地逼近 但系统数学模型的阶次低 便于控制系统的分析与设计 所以 应该在满足建模精度的前提下 选择较低阶的模型 也就是说 选择的直线段数尽可能少 假设系统是最小相位的 则根据所选择的对数幅频特性的渐近线 可以写出系统的传递 函