分离变量法在电磁学中的应用.doc

LULIANG UNIVERSITY分类号： 密 级： 毕业论文（设计）题 目: 分离变量法在电磁学中的应用 系 别: 物理系 专业年级: 2013级专升本班 姓 名: 吴思孔 学 号: 20130505124 指导教师: 高 平 助教 2015年 5 月 23 日吕梁学院本科毕业论文（设计）原 创 性 声 明本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文，是在指导老师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 日 期： 关于毕业论文使用授权的声明本人在指导老师指导下所完成的论文及相关的资料（包括图纸、试验记录、原始数据、实物照片、图片、录音带、设计手稿等），知识产权归属吕梁学院。本人完全了解吕梁学院有关保存、使用毕业论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权吕梁学院可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本毕业论文。如果发表相关成果，一定征得指导教师同意，且第一署名单位为吕梁学院。本人离校后使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为吕梁学院。论文作者签名： 日 期： 指导老师签名： 日 期： 摘 要目前，科研机构在做电磁系统设计，譬如，手机天线设计，基站天线设计，电磁波的设计等，基本上都涉及到静电场边值的问题。而对其进行高效求解并能够简洁直观的描述有利于完成上述设计。同时，在完成这些设计过程也是对基本电磁理论的一次巩固学习并且能够更好利用其解答繁琐的数学求值问题。也能够为实际的电磁工程实际应用中高难度的建模设计与仿真优化等项目提供了依据，因此求解静电场具有丰富的内容和实用价值。本论文首先介绍了分离变量法在在电磁学中应用的背景及意义，探究了分离变量法在目前的研究动态，并指出目前分离变量法的研究方向。然后介绍了分离变量法和常规应用的定义，着重研究分离变量法在静电场的边值问题中的应用，并分析了变量分离的方法和一般步骤在边值问题中的应用的利弊，最后重点分析分离变量法在求解电偶极子均匀介质球中应用情况的利弊。关键词：电磁学；分离变量法；应用；吕梁学院本科毕业论文（设计）AbstractCurrently, research institutions doing Electromagnetic Design System, for example, cell phone antenna design, the base station antenna design, electromagnetic design, basically related to the problem of static electricity on the sidelines value. And it solved efficiently and be able to describe simple and intuitive design in favor of the above. Meanwhile, the completion of the design process is a basic electromagnetic theory reinforce learning and be able to make better use of its evaluation to answer complicated math problem. It can also provide a basis for practical application in electromagnetic engineering design and simulation modeling of difficult optimization projects, thus solving electrostatic field with rich content and practical value.In this paper, we first introduce the application of the method of separation of variables in this paper, the background and electromagnetism, in the current dynamic method of separation of variables were studied, and points out the research direction of the method of separation of variables. Then it introduces the definition and application of the method of separation of variables in the direction, mainly concentrated in the advantages of the method of separation of variables, variable method and solve the shortage of general steps to discuss the boundary value problems in application and analysis in the process of electrostatic value problem, which is used to solve the pros and cons of electric dipole analysis method of separation of variables in a homogeneous medium concentration.Key Words: Electromagnetism; Separation of variables; Application;目 录第1章 绪 论- 1 -1.1 课题来源及研究意义- 1 -1.2 国内外发展现状及背景- 1 -1.3 研究目标和内容- 1 -1.3.1 研究目标- 1 -1.3.2 研究内容- 2 -1.4 论文结构及内容安排- 2 -第2章 分离变量法求解边值问题- 3 -2.1 问题提出- 3 -2.2 分离变量法- 3 -2.3分离变量法的应用实例- 4 -2.3.1球坐标下分离变量法的应用- 4 -2.3.2极坐标系下的求解应用- 7 -2.3.3 柱坐标系下的求解应用- 8 -2.4 讨论- 9 -2.5 本章小结- 9 -第三章 均匀介质球中电偶极子的电场- 10 -3.1 均匀介质球中的电偶极子- 10 -3.2 电偶极子位于导体球中空间各点的电势- 13 -3.3 分离变量法的解题步骤- 14 -3.4 本章小结- 14 - 第四章 总 结- 14 -参考文献- 16 -致 谢- 18 - 18 -第1章 绪 论1.1 课题来源及研究意义目前，科研机构在做电磁系统设计，譬如，手机天线设计，基站天线设计，电磁波的设计等，基本上都涉及到静电场边值的问题。而对其进行高效求解并能够简洁直观的描述有利于完成上述设计1。同时，在完成这些设计过程也是对基本电磁理论的一次巩固学习并且能够更好利用其解答繁琐的数学求值问题。也能够给予实际的电磁工程中愈来愈庞大的建立模型与仿真及优化计划等题目供给了根据。例如，对某个电场问题介质中电荷分布确定时，如何用最简便的方法解空间的电场分布。这时，我们就引入分离变量法，该方法对静电问题的简答有重要的参考价值。1.2 国内外发展现状及背景2011年，张保花等针对分离变量法在静电场问题中的应用进行了研究，论述电磁场理论中利用分离变量法求解静电问题的一般步骤，以及分离变量法在不同情况下，如：已知静电场中的介质或导体及电荷量等，它对实际情况边界条件或边值关系的选择与求解3。2013年，四川农业大学生命科学与理学院龚逸菲等利用分离变量法构造辅助函数，给出了Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的另一种证明方法，得到了微分学应用中的几个结果5。2014年，南京邮电大学理学院应用物理系的周澜对分离变量法处理疑难边界条件问题进行了探究，介绍了如何使用分离变量法求解非齐次边界条件及第三类边界条件下的一维偏微分方程定解问题，将求解过程简单化，易于理解6。2014年，王平心对分离变量法在求解波动方程中的应用进行了研究，试着用分离变量法求解相当多的定解问题，特别是对一些常见区域上混合问题和边值问题7。从以上研究进展可以看出，现在有关分离变量法在静电学中应用的研究主要是对出现边值问题求解，定解问题求解及静电磁场边值问题具有重要的意义。1.3 研究目标和内容1.3.1 研究目标通过本论文的撰写，能比较全面系统的掌握在不同情况下运用分离变量法求解一般的静电问题， 并对静电场满足的边值问题熟练地给予解答，对利用分离变量法求解问题的典型应用做一次梳理总结，分析出分离变量法在这些应用是否有规律可循。这对推行分离变量法的应用有较为明显的实际意义。1.3.2 研究内容本论文是把基本的电磁理论运用到一些实际情况，首先研究分离变量法求解静电问题的标准化的解答步骤，和分离变量法在有区别的情况下的求解，如：已知静电场中的介质或导体及电荷量等，它对实际情况边界条件或边值联系的选择与求解；在此基础上，运用具体实例分析，并归纳和总结分离变量法的应用技巧和在不同条件下应用此方法的利弊。1.4 论文结构及内容安排第一章绪论主要是介绍论文选题的来源及意义，当前对这一课题的研究状态，最后对论文的研究目标和研究内容做了一个阐述；第二章主要对从基本静电学问题中引出分离变量法的应用，主要是针对分离变量法在静电场边值问题中的分别在球坐标下、极坐标下、直角坐标下的应用，讨论分离变量法在此类问题下的运用利弊并提出运用分离变量法解题一般步骤；第2章 分离变量法求解边值问题2.1 问题提出静态场域的边值问题一一Poisson equation或Laplasse equation的定解问题的求解。静态场域的边值题目便是求解该场域边值条件的偏微分方程，逐一泊松方程或拉普拉斯方程的定解问题的满足解21。出现对称边界情况时，针对这一类特殊例子，采用分离变量法可以很容易地将其解给解出来。而利用该方法求解边值问题的一般解题思路：首先要正确分析该类边值问题，做到具体问题具体分析。接着根据分析得到的边界条件、衔接条件选用合适的坐标系。最后通过定解条件确定出级数解中的待定常数在应用实际的推导运算求解得到广义傅里叶级数解。静电场问题的分离变量法是基于唯一性定理，该定理告诉我们：某一区间范围在V中，与自由电荷 或 的分布，和V接口的边界条件： 则V内的电场E唯一的确定。根据唯一性定理，我们知道，在某一区间范围在V中，如果该区域边界S上已知或已知，则V内的电场E是唯一的。2.2 分离变量法静电学的一般问题是求出给定边界条件的泊松方程满足的解8。只有在界面的形状相对简单的几何表面，可以得到解析解，并在不同的具体情况下有不同的解决方案。事实上，静电场是由带电体激发的3。如平行板电容器通过带电电荷确定两导体板电场电容器内的电极Error! Reference source not found.；其特点是在一些导体的表面上只有自由电荷的出现，在空间中别的自由电荷分布不存在8。即有：若是将区域V的边界由这些导体表面确定，那么在V内部自由电荷密度，因此泊松方程（Poisson equation）可化为较简单的拉普拉斯方程（Laplasse equation）8 (2-1)因此，这种题目的解法是在边界条件下求拉普拉斯方程满足的解3。2.3分离变量法的应用实例2.3.1球坐标下分离变量法的应用分离变量法可以求出(2.1)的通解，先根据界面形状选取合适的坐标系，而后再在其中用分离变量法解Laplasse equation11。通常用的是球坐标系和柱坐标系，其中球坐标用表示，R为半径，为极角，为方位角。拉普拉斯方程在球坐标中的通解为3： (2-2) 其中为任意常数，在实际问题中由其边界条件确定。例如该问题中具有对称轴，并将此轴设为极轴，则电势不依赖于方位角，即有通解： (2-3) 一个导体球壳的内径和外径分别为和，电荷为Q，导体球的半径为，且该导体球同心 ( )。若导体球接地，则其感应电荷和空间各点的电势是多少。因为具有球对称性，所以电势不依赖于角和。所以取(2.3)中n=0项，设导体球壳外和球壳内的电势为： (2-4) 本题的边界条件是：1) 内导体接地，故 (2-5)2) 整个导体球壳为等势体，故 (2-6)3) 球壳带总电荷Q，因此 (2-7)把(2-4)代入确定的边界条件中，得 由此解出 (2-8)其中 将所求得的值代入(2-4 )，得电势的解 (2-9)导体球上的感应电荷为： (2-10)电荷量q均匀地分布在半径为a 的圆环上，此外都是真空。试求空间任一点的电势。因所求的电势满足拉普拉斯方程，取球坐标系如图所示，根据对称性，只是r和的函数，而与方位角无关；又在和时为有限值，故得拉普拉斯方程的解为 （2-11）在ra的区域里，于是 （2-12）在.于是 （2-13）下面由的特殊值定出以上两式中的系数.在轴线上离环心为r处，很容易有积分算出的值为 （2-14）在的区域里，将上式展开 （2-15）这时，（2-12）式化为 （2-16）比较（2-15）（2-16）两式中项的系数得 （2-17）于是得 （2-18）在的区域里，将（2-14）展开 （2-19）此时，（2-13）式化为 （2-20）比较（2-19）（2-20）两式中项的系数得 （2-21）于是得 （2-22）（2-18）式和（2-22）式便是所求的电势。当P点在圆环的轴线上时，这时 （2-25）（2-18）式和（2-22）式都化解为（2-14）式，正是电磁学里得出的结果。利用 （2-26）（2-18）式和（2-22）式分别写作 （2-27） （2-28）2.3.2极坐标系下的求解应用问题：设接地导体 角域内置有无限长线电荷，线电荷密度为 ，求角域内的电势分布。根据己知条件，上述定解问题实为平面场，利用极坐标系，令线电荷位于z平面上的 处写出关于此问题的泊松方程及其边界条件，定解问题是： (2-29)在极坐标中作变量代换，则泛定方程 (2-30)可变为 (2-31)考察的情形，故 (2-32)其解为： (2-33)将代入上，即可得到电势分布：2.3.3 柱坐标系下的求解应用圆柱形空腔内电磁振荡的定解问题为： （2-35）试证电磁振荡的固有频率为 证明：由边界条件知u与无关（n=0）故令： （2-36）代入（2-23）分离变量得： （2-37） （2-38）解本征值问题： （2-39）解本征值问题（2-38）得本征值 （2-40）所以： （2-41）即由题设因此，本文运用分离变量法做为解的方法求解的解析解可能是一个系列或甚至无穷的广义傅里叶级数。但是，这一无限多项级数的解一般为不容易直观地掌控静态场域电位的分布环境，并且求解进程也较麻烦。2.4 讨论分离变量法在求解静电场边值问题的一般步骤：第一步，正确分析静电场的边值问题是必需的，根据第一步的具体情况，选择通用的解决方法和正确的边界条件，最后确定待定常数的通用的解决方案，根据边界条件来确定。需着重理解的几个问题：（1）坐标系需建立适当，这样求解才较为方便；（2）电位通解要写得正确，因为不同条件下的通解是不同的；（3）边界条件是否写得正确，因为不同的边值问题所确立的边界条件是不同的。2.5 本章小结本章主要是对几个典型问题的求解静电场变量值分离法，通过求解应用这种方法，可以发现在求解简单边值问题应用分离变量法较为简便，但是应用到无穷多项级数甚至广义傅立叶级数问题求解时，过程非常复杂，不推荐应用。第三章 均匀介质球中电偶极子的电场本章主要探究分离变量法12-17在均匀介质球中电偶极子的电场的应用。3.1 均匀介质球中的电偶极子设均匀介质球的半径为， 电容率为 ，电偶极子为位于该球的中心，且另一种电容率为 的介质包围了该球。如图3-1所示图 3-1 图 3-2 均匀介质球的介电常数为 ，球外充盈另一种介电常数为 的均匀介质，在介质球的中心放有一电偶极矩为pr自由电偶极子，半径为R0，其解属于求解三维介质球外Laplaces equation和三维介质球内Poissons equation的边值静电场定解问题18。假设介质球中心与坐标系原点重合，电偶极矩方向选定为球坐标的极轴，则电场的分布与电势有轴对称的特性。 ，在电位移矢量，正常组件视图中电位分布连续，连续球面边界表面，3维电势方程和边界条件进行了简化为 (3-1) (3-2) (3-3) (3-4)(3-1) 式中l电偶极子对等效相反的点电荷之间的间隔，电位分布的偶极矩也必须考虑表面电荷和偶极极化介质对球贡献，而且电势的分布具备轴对称性18。采用分离变量法，(3-1)式和(3-2)式具有轴对称解 (3-5)(3.2) 式中电势由两块构成，第一块由电偶极子自己所产生，另一块通过极化电荷偶极极化效应在球体的平面产生18。通常情况下，场点到构成电偶极子的一对等量异号点电荷之间的间隔I远比他们的间隔小得多18，因此，除开临近电偶极子的范围之外(3-5)式将电偶极子对电势分布作用确切的表达出来，且越发远离电偶极子的场点，(3-5)式中第一部分的表述更加精确。 在介质球内，电势分布根据(3-5)式来求解，在处，极化面电荷的电势可知是有限的，所以把(3-5)式的第二部分设成是有极限值的，即 有限值 (3-6) 可见系数 (对所有n) (3-7)因而介质球内的电势分布为 (3-8)极化面电荷的电势在 处，趋近于零，把(3.5)式的第二部分设成是有极限值的，有 (3-9) 可见系数 (对所有n) (3-10) 因而介质球外的电势分布为 (3-11)将(3-5)式和(3.8)式代入衔接条件，得 (3-12) (3-13)比较(3-12)式两端同阶Legendre function的系数，会发现 ，即 (3-14)再把(3-13)代入到(3-14)式中，并且比较同阶Legendre function的系数，求解出 (3-15)又把(3-15)代入到(3-14)式中，得到 (3-16)由上述各式，得到介质球内外的电势分布 (3-17)考虑到在自由表面电荷的介质球的边界面上的边界条件为 (3-18)由(3-18)可以分布在界面上的极化电荷 (3.19)对电势求梯度，求解出电偶极子位于均匀介质球中时球外随意一点的E。 (3-20)因此 = (3-21) 3.2 电偶极子位于导体球中空间各点的电势设空心导体球壳的内外半径为和，球中心置一电偶极子 球壳上带电 的电场将使导体球的感应到电荷的分布。以球心坐标为原点，令 ，具有Z轴对称性。导体球壳的电势 为常数。球腔内电势 ，球壳外电势 ，全部定解条件为 (3-22) (3-23) (3-24) (3-25)由对称性以及 和 的条件，将电势方程的解写成 (3-26)(3-27)利用条件(3-22 )，( 3-23)和(3-24 )，解出 (3-28)(3-29)(3-30)球腔内V1的第一项是位于球心的P产生的偶极场，第二项是内球面感应电荷 产生的均匀场，第三项为常数项。由于球心处的偶极子P与内球面感应电荷 在球壳外产生的偶极场互相抵消，故球外V3是外球面均匀分布的面电荷 产生的球对称场。3.3 分离变量法的解题步骤1、确定唯一性设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界S上给定电势或或电势的发线方向偏导数，则V内的电场唯一确定。2、列方程写出电势所满足的Laplace方程3、边界条件列出该题所满足的边界条件，包括物理边界条件和自然边界条件；根据边界条件选取合适的坐标系；写出通解；把边界条件代入通解，确定待定系数，得到问题的解。3.4 本章小结本章主要利用分离变量法，在均匀介质球中电偶极子的电场的应用，可以发现，在有对称性条件下，运用分离变量法求解相关电磁场中的问题较为简便。因此，分离变量法在电磁学中的应用需要在特定条件下求解较为简单第四章 总 结目前，科研机构在做电磁系统设计，譬如，手机天线设计，基站天线设计，电磁波的设计等，基本上都涉及到静电场边值的问题。而对其进行高效求解并能够简洁直观的描述有利于完成上述设计。同时，在完成这些设计过程也是对基本电磁理论的一次巩固学习并且能够更好利用其解答繁琐的数学求值问题。也能够为实际的电磁工程应用中越来越复杂的建模与仿真及优化设计等问题提供了依据，因此求解静电场具有丰富的内容和实用价值。本论文主要探究了分离变法目前在电磁学中的研究状态，对分离变法的应用做了一定的阐述，着重分析了分离变量法在静电场中边值问题求解并归纳了其一般的解题步骤及注意的问题，接着通过分离变量法在求解电偶极子在均匀介质球中电场的情况，分析得到分离变量法的使用利弊以及其需要在特定的条件下使用才较为简便。参考文献1 吴志荣, 林杞楠. 应用分离变量法求解静电场的一点见解J. 宁波职业技术学院学报, 2007, 11:11-14. 2 关秀丽, 李栋. 静电场边值问题的解法浅析J. 长春大学学报：自然科学版, 2008, 18(3):53-56.3 张保花, 郭福强, 李艳青. 分离变量法在静电场问题中的应用J. 昌吉学院学报, 2011, (4):93-96. 4 吴银忠. 分离变量法求解静电场问题的探讨J. 常熟高专学报, 2000, (2):90-92.5 龚逸菲, 刘岳巍, 龚东山. 分离变量法在微分学中的应用J. 高师理科学刊, 2013, (2):5-6. 6 周澜. 分离变量法处理疑难边界条件问题的探究J. 江苏第二师范学院学报, 2014, (8):19-21.7 王平心. 分离变量法在求解波动方程中的应用J. 科技视界, 2014, (34).8 张国文, 王福谦. 在电磁学中讲授静电场的唯一性定理J. 长治学院学报, 2005, 22(2):45-47. 9 李德明. 关于静电场中介质球电场的分析讨论J. 内蒙古电大学刊, 2005, (10):63-64. 10 刘彭义,