《研究性课题：杨辉三角》教学案.doc

研究性课题：杨辉三角教学案教学目标:知识目标: 进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络；能力目标: 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学难点: 杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学过程一、课题引入1引言: 为什么要研究杨辉三角？(1)在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系(2)通过探究杨辉三角，不断培养创新能力(创新是发展的不竭动力)(3)了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；2什么是杨辉三角？ 二项式(a+b)n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角(如图)3介绍杨辉古代数学家的杰出代表杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有详解九章算法十二卷(1261年)、日用算法二卷、乘除通变本末三卷、田亩比类乘除算法二卷、续古摘奇算法二卷其中后三种合称杨辉算法，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界. “杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的(Blaise Pascal， 1623年1662年)，他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的二、问题研究观察杨辉三角所蕴含的数量关系1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11杨辉三角基本性质(1)表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是(2)三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是(3)杨辉三角具有对称性(对称美)，即(4)杨辉三角的第n行是二项式(a+b)n展开式的二项式系数，即(5) 当n为偶数时，第n行有奇数项，中间一项最大；当n为奇数时，第n行有偶数项，中间两项相等且最大这条性质就是二项式系数的性质2下面，师生一起继续探究杨辉三角蕴含的数量关系，形成知识网络2杨辉三角有趣的数字排列规律问题1：杨辉三角的第1，3，7，15，行，即第2K-1(k是正整数)行的各个数字有什么特点？分析：观察可知，它们均为奇数第2K行除两端的1之外都是偶数.延伸：除两端的1之外，哪些行的各个数字是3的倍数？分析：第3、9、3k(k是正整数)行.问题2：杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数是什么数？分析：如2，3，7，11等行行数是质数(素数).问题3：计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：第1行112第2行121422第3行1331823第4行146411624第5行151010513225第n行分析：第n行数字的和为2 n前n行(含第0行)所有数的和为2 n 1，它恰好比第n行的和2 n小1 问题4：从杨辉三角中一个确定的数的“左(右)肩” 出发， 向右(左)上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数例如：101234，2013610，一般地，在第m条斜线上(从右上到左下)前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：111 1 (第1条斜线)123 (第2条斜线)136 (第3条斜线)1410 (第4条斜线)(第r+1条斜线)问题5：第1条斜线上的数字构成了常数列1，1，1，1；第2条斜线上的数字依次构成等差数列1，2，3，4，；二阶等差数列(其一阶差分数列是等差数列)1，3，6，10，；三阶等差数列(其二阶差分数列是等差数列)1，4，10，20，；问题6：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列an满足， a1=1，a2=1， 且an=an-1+an-2 (n3)这就是著名的斐波那契数列3与杨辉三角有关的应用杨辉三角与“纵横路线图”“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数有趣的是，B处所对应的数70，正好是答案(70)一般地， 每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系杨辉三角与“堆垛术”(三角垛，正方垛， )将圆弹堆成三角垛：底层是每边n的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆弹，求总数4教学小结：古代数学家杨辉，通过“弹子游戏”了解现代数学家华罗庚，增强爱国情感；系统探究杨辉三角蕴含的数字排列规律，培养观察、探究及创新能力；展示部分探究成果，相互交流学习5作业1、(06湖北卷)将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 .令，则 .2、(07湖南理15)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1