高中数学(人教A版)必修五精讲精练【讲义】.pdf

新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第一章 解三角形 1 第 1 讲 1 1 1 正弦定理 学习目标 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理的推导过程 并能运用正弦定理解 决一些简单的三角形度量问题 知识要点 1 正弦定理 law of sines 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 sin sinsin abc ABC 2 应用正弦定理 可以研究两类解三角形的问题 1 两角和任意一边 求其它两边和一角 2 两边和其中一边对角 求另一边的对角 进而可求其它的边和角 注意结合实际情况进行讨论 例题精讲 例 1 在 ABC 中 已知 4526 Aacmccm 解三角形 精确到 1 0 1 cm 解解 根据正弦定理 623 sinsin 222 c CA a 60120 CC 或 当 60 C 时 180 75 BAC sin2sin75 2 7 sinsin45 aB bcm A 120180 15 CBAC 当 时 sin2sin15 0 7 sinsin45 aB bcm A 2 7 6075 bcmCB 0 7 12015 bcmCB 或 例 2 在 ABC 中 BD 是 ABC 的平分线 如图 用正弦定理证明 AB AD BCDC 证明证明 在 ABD 内 利用正弦定理得 sin sinsinsin ABADABADB ADBABDADABD 即 在 BCD 内 利用正弦定理得 sin sinsinsin BCDCBCBDC BDCDBCDCDBC 即 BD 是 ABC 的平分线 ABD DBC sin ABD sin DBC ADB BDC 180 sin ADB sin 180 BDC sin BDC sinsin sinsin ABADBBDCBC ADABDDBCCD AB AD BCDC 例 3 在 ABC 中 已知 2 2 aabc 223 abc 若 sinC sinA 4 13 求 a b c 解解 sinC sinA 4 13 c a 4 13 设 c 4k a 13 k 则 2 13132 4 13283 kkbk kbk 由 消去 2b 得 2 131630 kk 解得 k 3 13 或 k 1 k 3 13 时 b 0 故舍去 k 1 此时 a 13 b 5 13 2 c 4 点评点评 利用正弦定理 可以把角正弦的比值关系转化为边的比值关系 反之也行 由比值而设参数 k 通 过方程思想求出参数 k 从而解决解三角形的问题 例 4 在 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 的对边 且 2 tan tan acB cC 求角 B 的大小 解解 2tan tan acB cC 根据正弦定理 得 2sin sintansincos sintansincos ACBBC CCCB 化简为2sincoscossinsincos ABBCBC 2sincossin ABBC 在 ABC 中 sin sin BCA 1 cos 2 B 0180 B A 为最大角 由余弦定理有 222 1 cos 22 bca A bc 0 120 A 又 3 sin 2 A 535 3 sinsin 7214 c CA a 例 2 设a x 1 y1 b x2 y2 a 与b 的夹角为 0 求证 x1x2 y1y2 a b cos 证明证明 如图 设a b 起点在原点 终点为 A B 则 A x1 y1 B x2 y2 AB b a 在 ABC 中 由余弦定理 b a 2 a 2 b 2 2 a b cos b a 2 AB 2 x 2 x1 y2 y1 2 x 2 x1 2 y 2 y1 2 a 2 x1 2 y 1 2 b 2 x 2 2 y 2 2 x2 x1 2 y 2 y1 2 x 1 2 y 1 2 x 2 2 y 2 2 2 a b cos x1x2 y1y2 a b cos 即有a b x1x2 y1y2 a b cos 例 3 在 ABC 中 bcosA acosB 试判断三角形的形状 解法一解法一 bcosA acosB 222222 22 bcaacb ba bcac ii b 2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 a b 故此三角形是等腰三角形 解法二解法二 设 2 sinsinsin abc R ABC 则 b 2RsinB a 2RsinA bcosA acosB 2RsinBcosA 2RsinAcosB sinAcosB cosAsinB 0 sin A B 0 0 A 0 B A B A B 0 即 A B 故此三角形是等腰三角形 点评点评 上面两种解法分别是利用余弦定理将角化为边 利用正弦定理将边转化为角 边角互换是正弦定 理和余弦定理的特殊功能 通过将角的关系与边的关系互相转化 从而使许多问题得以解答 例 4 在 ABC 中 10 ab cosC 是方程 2 2320 xx 的一个根 求 ABC 周长的最小值 解解 2 2320 xx 12 1 2 2 xx 又 cosC是方程 2 2320 xx 的一个根 1 cos 2 C 由余弦定理可得 2222 1 2 2 cabababab i 则 22 100 10 5 75 caaa 当 5 a 时 c 最小且 755 3 c 此时 105 3 abc 所以 ABC 周长的最小值为105 3 点评点评 最大 小 值的研究 一般思路是用一个变量表示出所研究目标的函数 通过函数性质得以求解 这 里的目标函数是二次函数 易由配方法而得到最小值 注意此题中周长的最小等价于边 c 的最小 新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第一章 解三角形 5 第 3 讲 1 1 正弦定理和余弦定理 学习目标 掌握正弦定理 余弦定理 并能联合运用正弦定理与余弦定理解决一些简单的三角形度量问 题 能运用两个定理转化三角形中的一些边角关系式 知识要点 1 正弦定理和余弦定理结合起来 能够很好地解决三角形的问题 注意定理的变式及合理选用公式 2 解三角形问题的实质就是由正弦定理与余弦定理联立得到方程组 由方程的思想求解未知的边角 例题精讲 例 1 在 ABC 中 a b c 分别为 A B C 的对边 A 60 b 1 c 4 则 sin sinsin abc ABC 的 值等于 A 2 39 3 B 26 3 3 C 8 3 3 D 2 3 解解 由余弦定理得 22222 2cos142 1 4cos6013 abcbcA 则 13 a 根据正弦定理 得到 132 39 sinsinsinsinsin603 abca ABCA 所以选 A 例 2 在 ABC 中 sinA sin sin coscos BC BC 判断这个三角形的形状 解解 应用正弦定理 余弦定理 可得 a 222222 22 bc cababc caab 整理为 b a 2 b 2 c a 2 c 2 bc b c 即 b c a 2 b 3 c 3 bc b c 所以 a 2 b 2 bc c 2 bc 即 a 2 b 2 c 2 所以 ABC 是直角三角形 例 3 在 ABC 中 已知 10 2 AB A 45 在 BC 边的长分别为 20 20 3 3 5 的情况下 求相 应角 C 解解 由正弦定理得 sin10 sin ABA C BCBC 1 当 BC 20 时 sinC 1 2 BCAB AC 30 C 2 当 BC 20 3 3 时 sinC 3 2 sin45 ABBCAB 1 C 不存在 点评点评 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 有无解 一解 二解等三种情况 关键是讨论 时需根据已知条件 结合图形进行分析 例 4 在 ABC 中 角A B C 的对边分别为a b c 2 CA 10 ac 3 cos 4 A 1 求 c a 的值 2 求 b的值 解解 1 由 2 CA 及正弦定理得 sinsin233 2cos2 sinsin42 cCA A aAA 2 由 10 3 2 ac c a 解得 4 6 a c 由余弦定理得 222 3 4626 4 bb 化简得 2 9200 bb 解得 4 b 或 5 b 检验 若 4 b 则AB 4 ABCA 4 A 2 cos 2 A 与条件 3 cos 4 A 矛盾 所 以 4 b 不合题意 舍去 所以 5 b 点评点评 在解三角形的过程中 常常把正弦定理和余弦定理联合起来使用 要求根据已知合理选用 新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第一章 解三角形 7 P Q M N 第 4 讲 1 2 应用举例 一 学习目标 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与距离测量和几何计算有关的实际问题 提高分析和解决实际问题的能力 知识要点 1 运用正弦定理和余弦定理 可以解决不可到达点的距离测量问题 2 测量方案的设计及两个距离测量问题 1 一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离 2 两个不可到达的点之间的距离 例题精讲 例 1 设计一种借助于两个观察点 C D 已知两个观察点之间的距离 d 测量航船的速度的方案 解解 方案可以是 船在时刻 1 t 在 A 处 测出 ACD 和 CDA 再在时刻 2 t 航船沿直 线航行到 B 处 测出 CDB 和 BCD 此方案的计算过程如下 1 在 ACD 中 由正弦定理求出 AC 2 在 BCD 中 由正弦定理求出 BC 3 在 ABC 中 由余弦定理求出 AB 4 计算速度 21 AB v tt 例 2 在 ABC 中 已知角 B 45 D 是 BC 边上一点 AD 5 AC 7 DC 3 求 AB 解解 在 ADC 中 cosC 222222 73511 227314 ACDCAD AC DC 又 0 C 180 sinC 5 3 14 在 ABC 中 sin sin ACAB BC AB sin 5 35 6 27 sin142 C AC B 例 3 如图 在四边形 ABCD 中 已知 AD CD AD 10 AB 14 BDA 60 BCD 135 求 BC 的长 解解 在 ABD 中 设 BD x 则 222 2cos BABDADBD ADBDA 即 222 14102 10cos60 xx 整理得 2 10960 xx 解之 1 16 x 2 6 x 舍去 由正弦定理 sin sin BCBD CDBBCD 16 sin308 2 sin135 BC 点评点评 在已知两边及一边对角 可以由方程思想及余弦定理直接求第三边 解三角形中 需认真分析图形 中的已知边和角 由两个定理的结构中边角的要求 从而合理选用正弦定理或余弦定理 例 4 如图 在河对岸可以看到两个目标物 M N 但不能到达 在河岸边选取相距 40 米的 P Q两点 测得 75 MPN 45 NPQ 30 MQP 45 MQN 试求两个目标物 M N 之间的距离 解解 在 PQN 中 40 PQ 304575 PQN 45 NPQ 180754560 PNQ 根据正弦定理 sin sin PQNQ PNQNPQ 40 sin60sin45 NQ 4040 6 sin45 sin603 NQ 在 PQM 中 30 MQP 7545120 MPQ 1803012030 PMQ 根据正弦定理 sin sin PQMQ PMQMPQ 40 sin30sin120 MQ 40 sin12040 3 sin30 MQ 在 MNQ 中 根据余弦定理 222 2cos MNMQNQMQNQMQN 222 40 640 68000 40 3 240 3cos45 333 MN 两个目标物 M N 之间的距离 40 15 3 MN 米 点评点评 解三角形知识在实践中测量方面有着广泛的应用 我们需要加强动手实践 提高利用数学知识解决 实际问题的能力 认识数学在生产 生活实际中的作用 变式变式 如何测量不能到达的两点之间的距离 新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第一章 解三角形 9 P O A B A E B C D 2 4 第 5 讲 1 2 应用举例 二 学习目标 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与高度测量和几何计算有关的实际问题 提高分析和解决实际问题的能力 知识要点 1 测量高度 运用正弦定理与余弦定理可测量底部不可到达的建筑物等的高度 注意构造三角形 2 俯角与仰角 视线与水平线之间的夹角 视线在水平线下方成俯角 视线在水平线上方成仰角 例题精讲 例 1 如图 在山脚测得山顶仰角 CAB 45 沿倾斜角为 30 的斜坡走 1000 米 至 S 点 又测得山顶仰角为 DSB 75 求山高 解解 SAB 45 30 15 SBA ABC SBD 45 15 30 ASB 180 30 15 135 在 ABS 中 AB sin13510002 2 1000 2 sin301 2 AS i 米 BC AB sin45 1000 2 2 2 1000 米 所以山高为 1000 米 例 2 如图 一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内 已知飞机的 高度为海拔 10 千米 速度为 180 千米 小时 飞行员先看到山顶的俯角为30 经 过 2 分钟后又看到山顶的俯角为75 求山顶的海拔高度 解解 在 ABP 中 30 BAP 753045 APB 2 1806 60 AB 根据正弦定理 sin sin ABBP APBBAP 6 sin45sin30 BP 3 2 BP 33 3 sin753 2sin 4530 2 BP i 所以 山顶 P 的海拔高度为 33 3173 3 10 22 h 千米 例3 如图 在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A的仰角为 沿BE 方向前进30米至点C 处测得顶端 A的仰角为2 再继续前进10 3 米至 D点 测得顶端A的仰角为4 求 的大小和建筑物AE 的高 解解 在 ABC 中 由 2 BACACDABC 可得 30 ACBC 在 ADC 中 2 DACADEACD 1804 ADC 30 AC 10 3 ADDC 根据正弦定理 sin sin CDAC DACADC 10 33030 sin2sin 1804 2sin2 cos2 解得 3 cos2 2 所以230 即 15 在Rt AED 中 10 3 AD 460 ADE sin10 3sin6015 AEADADE i 所以 15 建筑物AE 的高为 15 米 点评点评 陆地上建筑物问题作为应用背景 一定要搞清楚仰角的概念 向上看物体时 视线与水平线的夹角 解三角形时除了考虑正 余弦定理 同时也要注意直角三角形中边角关系的利用 例 4 河对岸有一电线杆 PO 若不能过河 你能测量出电线杆的高度吗 若能 如何测量 解解 不过河可以测量 测量步骤如下 先在电线杆的对岸找两点 A 与 B A 和 B 之间距离越长 测量的精度越高 并测量出它们之间的距离 AB 测出 OAB 与 OBA 大小 计算 180 AOBOABOBA 由正弦定理可求得 AO 的长度 sin sin ABOBA AO AOB i 量出 PAO 的大小 计算电线杆的高 PO 在 POA 中 POA 90 0 电线杆高 PO AOtan PAO 点评点评 已知条件非常隐蔽 构筑三角形的点要自已找 要求我们要仔细分析 清楚题意 哪三点组成三角形达到最佳 最利于解题 测量时要合理构筑三角形 新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第一章 解三角形 11 第 6 讲 1 2 应用举例 三 学习目标 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与角度测量和几何计算有关的实际问题 提高分析和解决实际问题的能力 知识要点 1 方向角 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90 的水平角 如南偏西 30 方位角 指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角 2 测量角度 通过构建三角形 利用正弦定理和余弦定理求解 例题精讲 例 1 一货轮航行到 M 处 测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15 相距 20 海里处 随后货轮按北偏西 30 的 方向航行 半小时后 又测得灯塔在货轮的北偏东 45 求货轮的速度 解解 如图所示 SMN 15 30 45 SNM 180 45 30 105 NSM 180 45 105 30 由正弦定理 20 sin30sin105 MN 10 62 MN 1 10 62 20 62 2 所以 货轮的速度为20 62 海里 小时 例 2 如图 货轮在海上以 35n mile h 的速度沿方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 为 152 o 的方向航行 为了确定船位 在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 122 o 半小时后 货轮到达 C 点处 观 测到灯塔 A 的方位角为 32 o 求此时货轮与灯塔之间的距离 解解 在 ABC 中 B 152 o 122 o 30 o C 180 o 152 o 32 o 60 o A 180 o 30 o 60 o 90 o BC 35 2 AC 35 sin30 2 35 4 即距离为 35 4 n mile 例 3 一艘轮船从海岛 A 出发 沿南偏东75 航行 120 海里到达海岛 B 然后从海岛 B 出发 沿南偏东27 航行 58 海里到达海岛 C 问海岛 C 与 A 的距离是多少 海岛 C 相对于海岛 A 在什么方位 解解 由题意 AB 120 BC 58 ABC 180 75 27 132 由余弦定理得 22 2cos132 ACABBCAB BC i 22 120582 12058cos132 27078 3164 6 海里 由正弦定理得 sin58sin132 sin0 262 164 6 BCABC BAC AC 15 2 BAC 7515 259 8 答 海岛 C 在海岛 A 南偏东59 8 的 164 6 海里处 点评点评 在用正 余弦定理求解有关实际问题时 尽量利用题中给出的关 键点来构筑三角形 如此例中 三个海岛就构成了我们需要的三角形 于是问题就迎刃而解 例 4 某巡逻艇在A处发现北偏东45 相距 9 海里的C 处有一艘走私船 正沿南偏东75 的方向以 10 海 里 小时的速度向我海岸行驶 巡逻艇立即以14海里 小时的速度沿着直线方向追去 问巡逻艇应该沿什么方 向去追 需要多少时间才能追赶上该走私船 解解 在 ABC 中 4575120 ACB 9 AC 设需要 t 小时才能追赶上该走私船 则 14 ABt 10 BCt 根据余弦定理 222 2cos ABACBCACBCACB 222 14 9 10 29 10cos120 ttt 2 3230270 tt 解得 3 2 t 9 16 t 舍 所以 3 1421 2 AB 3 1015 2 BC 根据正弦定理 sin sin ABBC ACBBAC 2115 sin120sin BAC 5 3 sin0 6186 14 BAC BAC 38 21 45 BAC 83 21 所以 此巡逻艇应该沿北偏东 83 21 方向去追 需要 3 2 小时才能追赶上该走私船 点评点评 海上问题作为应用背景 研究最多的是方位角 根据所学简单地理知识 先定位正北方向 由题意 正确地作出其它方位物体的位置示意图 分析图中已知量和未知量 将应用问题转化为解三角形 75 45 A B C 北 新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第一章 解三角形 13 第 7 讲 1 2 应用举例 四 学习目标 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 掌 握三角形面积问题的解法和三角形中简单恒等式的证明 知识要点 1 活用正弦定理的变式 2sin bRB 2sin aRA 2 sin cRC 将边角关系式转化为只是含角的关系 式 或者用正弦定理的变式sin sin sin 222 abc ABC RRR 余弦定理的变式 222 cos 2 bca A bc 将边角 关系式转化为只含边的关系式 2 运用三角形面积公式 111 sinsinsin 222 sabCbcAacB 等 解决一些有关三角形计算问题 例题精讲 例 1 在 ABC 中 求证 2222 cos2cos211 AB abab 证明证明 2222 22222222 cos2cos212sin12sin11sinsin 2 ABABAB abababab 由正弦定理得 22 22 sinsin AB ab 2222 cos2cos211 AB abab 例 2 在 ABC 中 角 A B C 所对边分别为 a b c 已知 2 3 2 ac tan2 1 tan Ac Bb 求 ABC S 解 由 tan2 1 tan Ac Bb 及正弦定理 得 sin 2sin cossinsin ABC ABB 即 1 cos 2 A 60 A 再由 sin sin ac AC 得 2sin601 sin 2 2 3 C ac AC 30 C ABC 是直角三角形 1 2 3 2 ABC Sac 例 3 在 ABC 中 角A B C 所对的边分别是a b c 1 若三角形的面积S 222 1 4 abc 求 C 的度数 2 若 b 2 ac 且 a 2 c 2 ac bc 求 A 的大小及 sin bB c 的值 解解 1 由 S 222 1 4 abc 得 1 2 absinC 1 2cos 4 abC i tanC 1 得 C 4 2 b 2 ac 又 a 2 c 2 ac bc b 2 c 2 a 2 bc 在 ABC 中 由余弦定理得 cosA 222 2 bca bc 2 bc bc 1 2 A 60 在 ABC 中 由面积公式得 1 2 bcsinA 1 2 acsinB bcsinA b 2 sinB 则 sin bB c sinA 3 2 点评点评 解三角形时 需认真分析题中已知条件中边与角之间的关系 根据条件合理选用正弦定理或余弦定 理 结合三角形的面积公式来解决问题 例4 在 ABC中 a b c分别表示三个内角A B C的对边 如果 22 sin abAB 22 sin abAB 判别 ABC 的类型 解解 将sin AB 与sin AB 展开 得 22 sincoscossin abABAB 22 sincoscossin abABAB 去括号相乘 整理为 22 2sincos2cossin bABaAB 将 2sin bRB 2sin aRA 代入上式 化简得 22 sinsincossincossin BABAAB 即sin2sin2 BA 22 AB 或22 AB ABC 是等腰三角形或直角三角形 点评点评 利用正弦定理的变式 2sin bRB 2sin aRA 2 sin cRC 将边转化为角的正弦 含边角的 关系式变成只是角的函数关系 再用三角公式得到角之间的关系 转化的关键是等式两侧的边的次数相同 否 则2R不能消去 此题还可以展开后利用正余弦定理 将角的正弦 余弦转化为边的关系 再进行代数变形得 到边的最简关系 转化的关键是等式两侧的正弦的次数相同 新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第一章 解三角形 15 第 8 讲 第一章 解三角形 复习 学习目标 掌握正弦定理和余弦定理 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几 何计算有关的实际问题 掌握三角形的面积计算 类型判别 恒等式的证明等类型问题 例题精讲 例 1 06 年辽宁卷 ABC 的三内角 A B C 所对边的长分别为 a b c 设向量 pac b qba ca 若 pq 则角C 的大小为 A 6 B 3 C 2 D 2 3 解解 pq 0 ac cab ba 即 222 abcab 根据余弦定理 得 222 1 cos 222 abcab C abab 0 C 3 B 所以选 B 例 2 在 ABC 中 角A B C 所对的边分别是a b c 若 a 4 b 5 S 5 3 求 c 的长度 解解 S 1 2 absinC sinC 3 2 于是 C 60 或 C 120 又 c 2 a 2 b 2 2abcosC 当 C 60 时 c 2 a 2 b 2 ab c 21 当 C 120 时 c 2 a 2 b 2 ab c 61 c 的长度为 21或 61 例 3 ABC 的三边为 a b c 设 1 2 pabc 求证 Sp papbpc 证明证明 1 sin 2 SabC 2 1 1cos 2 ab C 1 1cos 1cos 2 ab CC 222222 1 1 1 222 abcabc ab abab 222222 22 11 2 2 24 abababcababc a b 2222 1 4 abccab 1 4 abc abc cab cab 2222 abcabccabcab p papbpc 点评点评 此例的结论 就是海伦公式 可以由三角形的三边 a b c 直接求出三角形的面积 海伦公式据说 是由古希腊数学家阿基米德解决的 但最早出现于古希腊数学家海伦 Heron 的著作 测地术 中 公式的 形式漂亮 且便于记忆 我国大数学家秦九韶也发现与海伦公式本质上相同的 三斜求积 公式 222 222 1 42 abc Sa b 并记载于他写的 数书九章 中 如果由三角形面积 1 sin 2 SabC 和 222 2cos cababC 得 2 sin S C ab 222 cos 2 abc C ab 根据 22 sincos1 CC 整理后也可得到 例 4 已知两个观察点 C D 之间的距离 CD 80 米 航船在 A 处时 测得 105 ACD 和 30 CDA 经过 20 秒后 航船直线航行到 B 处 测得 90 CDB 和 45 BCD 试求航船的速度 解解 在 ACD 中 30 CDA 1801053045 CAD 根据正弦定理 80 sin45sin30 AC 解得 40 2 AC 在 BCD 中 90 CDB 904545 CBD 80 2 BC 在 ABC 中 1054560 ACB 根据余弦定理 222 40 2 80 2 240 280 2cos609600 AB 解得 40 6 AB 所以 航船的速度 40 61 1000 7 2 6 20 1 3600 v 千米 小时 点评点评 此例就是一类 测量不能到达的两个点之间的距离 方案设计问题 它实质就是借助于两个观察点 C D 已知两个观察点之间的距离 d 测量航船的速度的方案 也可以研究如何测量航船的航向 我们可以看 出 解三角形知识在实践中测量方面有着广泛的应用 新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第二章 数列 17 第 9 讲 2 1 数列的概念与简单表示法 一 学习目标 通过日常生活中的实例 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图像 通项公式 了解数列是一种特殊函数 能写一些简单数列的通项公式 知识要点 1 概念 按照一定的顺序排列着的一列数称为数列 sequence of number 一般形式为 12 n a aa 简记为 n a 按项数情况分为有穷数列 无穷数列 按每一项随序号的为变化情况分为递增数列 递减数列 摆动数列 数列可以看成以正整数集 N 或它的有限子集 1 2 n 为定义域的函数 n af n 2 通项 数列 n a 的第 n 项与序号 n 之间的关系 可以用一个公式表示时 这个公式叫数列的通项公式 给 出数列的一些项 写出其一个通项公式时 注意观察所给出的各项结构特点 项与序号之间的关系 项与项之 间的关系 试值 猜想 类比 归纳 是我们写数列通项时的常规思维 例题精讲 例 1 写出下面数列的一个通项公式 使它的前 4 项分别是下列各数 1 3 5 9 17 2 2 3 4 7 6 11 8 15 3 2 21 2 2 31 4 2 41 8 2 51 16 解 1 这个数列的前 4 项分别减 1 后 所得差依次是 2 4 8 16 都是 2 的序号次幂 它的一个通项公式是 12 n n a 2 这个数列的前 4 项都是分式 分子都是 2 的倍数 分母的各项之差都为 4 它的一个通项公式是 22 34 1 41 n nn a nn 3 这个数列的每项具有同样一种结构 分母都是 2 的序号次幂 分子都是序号加 1 平方后再加 1 它的一个通项公式是 2 1 1 2 n n n a 例 2 数列 n a 的通项公式是 2 101 n ann 1 依次写出该数列的前 3 项 2 判别 25 是不是该数列中的某项 3 求该数列的最小项 解解 1 n 1 代入 得到数列的第 1 项为 2 1 110 118 a n 2 代入 得到数列的第 2 项为 2 2 2102115 a n 3 代入 得到数列的第 3 项为 2 3 3103120 a 所以 该数列的前 3 项为 8 15 20 2 由 2 10125 nn 解得 12 n 2 n 舍 12 nN 所以 25 是该数列中第 12 项 3 配方得 22 101 5 24 n annn 所以 当 n 5 时 n a 取最小值 24 即该数列的最小项为第 5 项 是 24 点评点评 已知通项求相应项 等价于已知函数解析式 求某个函数值 选用的方法是 代入求值法 而第 2 问判断某项是否在数列中 等价于已知函数值 求自变量 其解法中贯彻到函数与方程思想 第 3 问 研究数列最小 大 项 采用二次函数的配方法 体现了函数应用的显著特点 例 3 写出下面数列的一个通项公式 使它的前 4 项分别是下列各数 1 1 34 1 56 1 78 1 9 10 2 0 2 0 2 3 5 55 555 5555 解解 1 数列的前 4 项 符号有一定的规律 奇数项为正 偶数项为负 此规律可以用 1 1 n 表示 它的一个通项公式为 1 1 21 22 n n a nn 2 这个数列与 0 1 0 1 规律相似 0 1 0 1 的通项公式为 1 1 2 n 它的一个通项公式为 1 1 21 1 2 n n n a 3 联想到数列 101 n 所求数列的前四项都是在 101 n 基础上乘以 5 9 而得 5 10 1 9 n n a 点评点评 要求记忆掌握一些简单的常见数列与特殊典型数列的特点 简单数列不用说 特殊典型的数列如 与符号相关的 1 n 与奇偶重复相关的 1 1 2 n 无限循环的 101 9 n N 等 新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第二章 数列 19 第 10 讲 2 1 数列的概念与简单表示法 二 学习目标 通过日常生活中的实例 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图像 通项公式 了解数列是一种特殊函数 理解递推公式所表示的数列 知识要点 1 如果已知数列 n a 的首项 或前几项 且数列的任一项 n a 与它的前一项 1 n a 或前几项 间的关系可以用 一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式是给出数列的一种重要方法 2 猜想法 由数列中一些项的规律 猜想出数列中每一项的共同规律的方法 关键是如何由数列的前一 项递推出后一项后 观察递推得到的各项与序号的关系 由特殊到一般 从而找到通项公式 3 叠加相消法 适应于数列中连续两项的关系是以加法形式给出 并且 1 nn aa 与 的系数相同的题型 4 累乘相消法 适用于递推公式中连续两项关系是以乘法形式给出的题型 例题精讲 例 1 已知数列 n a 中 11 5 3 nn aaa n 2 求数列 n a 的通项公式 解解 由递推公式 1 3 2 nn aan 得 21 3 aa 32 3 aa 43 3 aa 1 3 nn aa 以上各式分别相加 化简得 1 3 1 n aan 所以 53 1 32 2 n annn 由 1 53 12 a 所以 32 n annN 例 2 已知数列 n a 中 11 1 1 nn n aaa n 求数列 n a 的通项公式 解解 由 11 1 1 nn n aaa n 得 21 11 22 aa 32 12 2211 21323 aaa 43 13 3311 31434 aaa 54 14 4411 41545 aaa 由此猜想 1 n a n 检验 1 11 111 nn nn aa nnnn 所以 1 n a n 例 3 已知数列 n a 中 1124 1 1 3 15 nn aapaq naa 且 求实数 p q 的值 解解 由已知得 21 3 apaqpq 32 3 apaqpq 43 3 15 apaqppqq 联立 两式 得 2 60 pp 32 61 pp qq 或 点评点评 解题关键在于利用 1 nn apaq 建立关于 p q 的方程 先由 12 1 3 aa 得到一个方程 通过递 推计算出 3 a 并由 4 15 a 得到 p q 的另一个方程 联立即可求解 方程思想是解答此题的灵魂 例 4 已知函数 22 xx f x 数列 n a 满足 2 log 2 n fan 1 求数列 n a 的通项公式 2 证明数列 n a 是递减数列 解解 1 22 loglog 2 1 log 222 nn aa nn n faan a 即 2 210 nn an a i 解得 2 2 244 1 2 n nn ann 2 证明 22 1 1 1 1 1 nn aannnn 22 1 111 nn 22 222222 1 1 1 2121 1110 1 11 1 11 1 nnnn nnnnnn 所以数列 n a 是递减数列 点评点评 结合函数知识 由代入法得到关于数列通项的一个方程 解方程可得数列的通项公式 证明一个数 列为递减数列 一般是先计算 1 nn aa 然后通过变形得到 1 0 nn aa 注意如何由 n a 得到 n 1 项 新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第二章 数列 21 第 11 讲 2 2 等差数列 一 学习目标 通过实例 理解等差数列的概念 探索并掌握等差数列的通项公式 体会等差数列与一次函 数的关系 能在具体的问题情境中 发现数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 知识要点 1 等差数列 一般地 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它前一项的差等于同一个常数 这个数列就 叫做等差数列 arithmetic suquence 这个常数就叫做等差数列的公差 公差通常用字母 d 表示 2 等差数列的通项公式 1 1 1 n aand 2 n a m anm d 3 等差中项 若a A b成等差数列 那么 A 叫做a与b的等差中项 arithmetic mean 例题精讲 例 1 等差数列 n a 中 1 已知 125 1 4 33 3 n aaaa 试求 n 的值 2 已知 3 a 9 9 a 3 求 12 a 解解 1 25111 4254 aaadadad 又 1 1 3 a 2 3 d 1221 1 3333 n ann 33 n a 21 33 33 n 解得 50 n 2 解法一 由题意可得 1 1 29 83 ad ad 解之得 1 11 1 a d 该数列的通项公式为 11 1 1 12 n ann 12 a 0 解法二 由已知得 9 a 3 a 6d 即 3 9 6d d 1 又 12 a 9 a 3d 12 33 1 0 a 例 2 设等差数列 n a 中 10 a 23 25 22 a 1 求 1 a d 2 求这个数列中第几项开始小于 0 解 1 由 101 251 923 2422 aad aad 解得 1 50 3 a d 2 50 1 3 353 n ann 由 3530 n 所以 这个数列中第 18 项开始小于 0 例 3 05 年惠州 二研 16 黑白两种颜色的正 六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 则第 n 个图案中有白色地面砖 块 解解 由图示可以得出 白色地面砖的块数组成等 差数列 首项 1 6 a 公差 4 d 所以 1 1 6 1 442 n aandnn 点评点评 对所给出的已知图形进行观察与分析 找出存在的规律 此题的规律是构成等差数列 关键是比较 相邻的两个图形 找出公差 这道小题能较好地考查创新思维的能力 挖掘出生活中的数学模型 例 4 成等差数列的四个数之和为 26 第二数和第三数之积为 40 求这四个数 解解 设四个数为 3 3 ad ad ad ad 则 3 3 26 40 adadadad adad 1 2 由 1 式得 13 2 a 代入 2 式得 3 2 d 四个数为 2 5 8 11 或 11 8 5 2 点评点评 抓住题中的已知条件 由四个数成等差 设这四个数为 3 3 ad ad ad ad 同样 若三个 数成等差 可设这三个数为 ad a ad 这种设法的优势是只用两个变量就可以表示若干数 且在已知三个 数或四个数之和时易求得 a 的值 减少了计算量 新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第二章 数列 23 第 12 讲 2 2 等差数列 二 学习目标 掌握等差数列的通项公式 掌握等差数列的判别与一些性质 能在具体的问题情境中 发现 数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 知识要点 1 性质 在等差数列 n a 中 若 mnpq m n p qN 则 mnpq aaaa 2 判断数列 n a 为等差数列的方法 1 n apnq 2 1 nn aa 常数 3 若 n a n b 为等差数列 则 nn paqb mn amN 也是等差数列 例题精讲 例 1 设数列 n a 是公差为 2 的等差数列 如果 13599 50 aaaa 那么 246100 aaaa 的值为 解解 24610013599 aaaaadadadad 13599 505050 2 50 aaaad 例 2 数列 n a 中 1 1 111 1 3 nn anN aa 则 50 a 解解 1 111 3 nn aa 则 1 n a 构成等差数列 所以 11 1 1 3 n n a 则 50 1152 1 501 33 a 所以 50 3 52 a 例 3 己知 n a 为等差数列 12 2 3 aa 若在每相邻两项之间插入三个数 使它和原数列的数构成 一个新的等差数列 求 1 原数列的第 12 项是新数列的第几项 2 新数列的第 29 项是原数列的第几项 解解 设新数列为 1152151 2 3 1 4 nn bbababbndbbd 则 根据 有 即324d 1 4 d 17 2 1 44 n n bn 1 43 7 1 11 4 n n aann 又 43 nn ab 即原数列的第 n 项为新数列的第 4n 3 项 1 当 n 12 时 4n 3 4 12 3 45 故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项 2 由 4n 3 29 得 n 8 故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项 点评点评 由一个数列衍生出一个新的数列 关键在于把两个数列之间的规律转化为项与项之间的关系 此题 正是充分利用两个通项之间的关系 轻松地解决了问题 例 4 某地区 1997 年底沙漠面积为 5 9 10 hm 2 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况 从 1998 年开始进行了连续 年观测 并在每年底将观测结果记录如下表 请根据上表所给的信息进行预测 1 如果不采取任何措施 到 2010 年底 这个地区的沙漠面积将大约 变成多少 hm 2 2 如果从 2003 年初开始 采取植树造林等措施 每年改造 8000 hm 2 沙漠 但沙漠面积仍按原有速度增加 那么到哪一年年底 这个地区的沙漠 面积将小于 5 8 10 hm 2 解解 1 从表中的数据看 每年沙漠面积比原有面积的增加数 基本上 是一个等差数列 公差约为 2000 则 5 20102002 80 26 10 aad 再加上原有的沙化面积 5 9 10 所以到 2010 年底 这个地区的沙漠面积将大约变成为 5 9 26 10 hm 2 2 由 55555 0 1 100 02 109 100 08 108 10 nn 所以 2021 年底 沙化面积开始小于 5 8 10 hm 2 点评点评 从实际问题中 通过观察分析各数据的变化规律 抽象出等差数列的模型 然后运用等差数列的通 项公式解决实际问题 再现了从生活中挖掘出数学 又用数学知识解决实际问题的数学应用思想 观测 年份 该地区沙漠面积比原 有面积增加数 hm 2 1998 2000 1999 4000 2000 6001 2001 7999 2002 10001 新课标高中数学必修 精讲精练 精讲 第二章 数列 25 第 13 讲 2 3 等差数列的前 n 项和 一 学习目标 探索并掌握等差数列的前 n 项和公式 能在具体的问题情境中 发现数列的等差关系 并能 用有关知识解决相应的问题 知识要点 1 数列 n a 中 123 n aaaa 称为数列 n a 的前 n 项和 记为 n S 2 等差数列的前n项和公式 1 1 2 n n n aa S 2 1 1 2 n n nd Sna 3 求和方法 逆序求和法 例题精讲 例 1 等差数列 10 6 2 2 前多少项的和是 54 解解 设题中的等差数列为 n a 前 n 项和为 n S 则 1 10 6 10 4 54 n adS 由等差数列前 n 项和公式可得 1 10454 2 n n n 解之得 12 9 3 nn 舍去 等差数列 10 6 2 2 前 9 项的和是 54 例 2 等差数列 an 的公差 d 1 2 且 S 100 125 则 a1 a3 a5 a99 等于 A 72 5 B 52 5 C 50 D 33 解解 由 1100 100 100125 2 aa S 得 1100 5 2 aa 则 199 5 2 2 aad a1 a3 a5 a99 199 2 505050 22 aa 所以选 C 例 3 正奇数集合 1 3 5 现在由小到大按第 n 组有 2n 1 个奇数进行分组 1 3 5 7 9 11 13 15 17 第一组 第二组 第三组 则 2005 位于第 组中 解解 正奇数 21 n an 第 m 组最末数在正奇数中的序号数 2 1 21 13 21 2 m mmm 所以最末数为 2 21 m bm 解 2 212005 m 得 100331 m 所以 2005 位于第 32 组 点评点评 简单的分组问题 蕴含着两个等差数列的交互 所有的元素构成一个等差数列 各组元素的个数构 成一个数列 只要能抓住两个数列序号之间的关系 就能解决这类交互问题 例 4 假设你正在某公司打工 根据表现 老板给你两个加薪的方案 每年年末 加 1000 元 每半年 结束时加 300 元 请你选择 1 如果在该公司干 10 年 问两种方案各加薪多少元 2 对于你而言 你会选择其中的哪一种 解解 1 方案 中 每年末相比现在的加薪构成一个等差数列 n a 其中 1 1000 a 1000 d 10 n 则 10 年共加薪 10 10 101 1000 10100055000 2 S 方案 中 每年末相比现在的加薪构成一个等差数列 n b 其中 1 300 b 300 d 20 n 则 10 年共加薪 1