高等数学 基础班(第07-08课).pdf

第二章第二章第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 第二章 导数与微分 一 导数与微分的概念一 导数与微分的概念一 导数与微分的概念一 导数与微分的概念 0 0 0 0 x x x xf f f f x x x x x x x xf f f fx x x xx x x xf f f f x x x x limlimlimlim 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 x x x x y y y y x x x xx x x x x x x xf f f fx x x xf f f f x x x xx x x xx x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 limlimlimlim limlimlimlim 0 0 0 0 1 1 1 1 导数概念 导数概念 导数概念 导数概念 0 0 0 0 x x x xf f f f x x x x x x x xf f f fx x x xx x x xf f f f x x x x limlimlimlim 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 左导数 左导数 左导数 左导数 0 0 0 0 x x x xf f f f x x x x x x x xf f f fx x x xx x x xf f f f x x x x limlimlimlim 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 右导数 右导数 右导数 右导数 可导可导可导可导 左右导数都存在且相等左右导数都存在且相等左右导数都存在且相等左右导数都存在且相等 第二章 导数与微分 导学与微分的概念及公式导学与微分的概念及公式 2 2 2 2 微分的概念 微分的概念 微分的概念 微分的概念 0 0 0 00 0 0 0 x x x xx x x xA A A Ax x x xf f f fx x x xx x x xf f f fy y y y x x x xf f f f 0 0 0 0 x x x x x x x xA A A Ay y y y d d d d 若若若若则称 则称则称则称在在在在 处可微 处可微 处可微 处可微 3 3 3 3 导数与微分的几何意义导数与微分的几何意义导数与微分的几何意义导数与微分的几何意义 会求切线会求切线会求切线会求切线 法线方程法线方程法线方程法线方程 4 4 4 4 连续连续连续连续 可导可导可导可导 可微之间的关系可微之间的关系可微之间的关系可微之间的关系 第二章 导数与微分 导学与微分的概念及公式导学与微分的概念及公式 1 1 1 1 求导公式求导公式求导公式求导公式 2 2 2 2 求导法则求导法则求导法则求导法则 1 1 1 1 有理运算法则 有理运算法则 有理运算法则 有理运算法则 2 2 2 2 复合函数求导法 复合函数求导法 复合函数求导法 复合函数求导法 3 3 3 3 隐函数求导法 隐函数求导法 隐函数求导法 隐函数求导法 4 4 4 4 反函数的导数 反函数的导数 反函数的导数 反函数的导数 5 5 5 5 参数方程求导法 参数方程求导法 参数方程求导法 参数方程求导法 6 6 6 6 对数求导法 对数求导法 对数求导法 对数求导法 7 7 7 7 高阶导数 高阶导数 高阶导数 高阶导数 二 微分法二 微分法二 微分法二 微分法 x x x x x x x xf f f fx x x xx x x xf f f f x x x xf f f f n n n nn n n n x x x x n n n n limlimlimlim 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 limlimlimlim 0 0 0 0 x x x xx x x x x x x xf f f fx x x xf f f f n n n nn n n n x x x xx x x x 定义 定义 定义 定义 第二章 导数与微分 导学与微分的概念及公式导学与微分的概念及公式 常考题型常考题型常考题型常考题型 1 1 1 1 导数定义 导数定义 导数定义 导数定义 2 2 2 2 复合函数 隐函数 参数方程求导 复合函数 隐函数 参数方程求导 复合函数 隐函数 参数方程求导 复合函数 隐函数 参数方程求导 3 3 3 3 高阶导数 高阶导数 高阶导数 高阶导数 2 2 2 2 sin sin sin sin sinsinsinsin n n n nx x x xx x x x n n n n 2 2 2 2 cos cos cos cos cos cos cos cos n n n nx x x xx x x x n n n n nnnnnnnnnnnn uvuvuvuvuvuvuvuv 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 0 0 0 0 k k k kn n n n n n n n k k k k k k k kk k k k n n n n n n n n v v v vu u u uC C C Cuvuvuvuv 2 2 2 2 常用公式 常用公式 常用公式 常用公式 第二章 导数与微分 导学与微分的概念及公式导学与微分的概念及公式 x x x xf f f f0 0 0 0 x x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 f f f f 3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 limlimlimlim x x x x x x x xf f f fx x x xf f f fx x x x x x x x 0 0 0 0 2 2 2 2f f f f 0 0 0 0 f f f f 0 0 0 0 f f f f 0 0 0 0 例例例例1 1 1 1 已知已知已知已知在在在在处可导 且处可导 且处可导 且处可导 且则则则则 A A A A B B B B C C C C D D D D 第二章 导数与微分 解解解解 解法解法解法解法1 1 1 1 223223223223 3 3 3 3 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 limlimlimlim x x x x x f xx ff xfx f xx ff xfx f xx ff xfx f xx ff xf x x x x 3 3 3 3 3 3 3 3 00000000 0 0 0 0 0 0 0 0 lim2limlim2limlim2limlim2lim xxxxxxxx f xff xff xff xff xff xff xff xf xxxxxxxx 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 ffffffff 求导数的方法求导数的方法运用及运用及示例示例 23232323 3 3 3 3 0 0 0 0 2 2 2 2 limlimlimlim x x x x x f xf xx f xf xx f xf xx f xf x x x x x 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 ffffffff f xxf xxf xxf xx 23232323 3 3 3 3 0 0 0 0 2 2 2 2 limlimlimlim x x x x x f xf xx f xf xx f xf xx f xf x x x x x 解法解法解法解法2 2 2 2 解法解法解法解法3 3 3 3 取取取取 显然符合题设条件 显然符合题设条件 显然符合题设条件 显然符合题设条件 第二章 导数与微分 而而而而 则排除 则排除 则排除 则排除 A A A A C C C C D D D D 故应选 故应选 故应选 故应选 B B B B 0 1 0 1 0 1 0 1f f f f 0 0 0 0 f f f f 求导数的方法运用及示例求导数的方法运用及示例 x x x xf f f fa a a ax x x x x x x xf f f fa a a ax x x x 例例例例2 2 2 2 在在在在的某个邻域内有定义 则的某个邻域内有定义 则的某个邻域内有定义 则的某个邻域内有定义 则在在在在 处可导的一个充分条件是 处可导的一个充分条件是 处可导的一个充分条件是 处可导的一个充分条件是 1 1 1 1 limlimlimlima a a af f f f h h h h a a a af f f fh h h h h h h h 1 1 1 1 limlimlimlima a a af f f f n n n n a a a af f f fn n n n n n n n A A A A 存在 存在 存在 存在 存在 存在 存在 存在 h h h h h h h ha a a af f f fh h h ha a a af f f f h h h h 2 2 2 2 limlimlimlim 0 0 0 0 h h h h h h h ha a a af f f fa a a af f f f h h h h limlimlimlim 0 0 0 0 C C C C 存在 存在 存在 存在 存在 存在 存在 存在 B B B B D D D D 第二章 导数与微分 求导数的方法运用及示例求导数的方法运用及示例 x x x xy y y yy y y y 0 0 0 01 1 1 16 6 6 6 2 2 2 2 x x x xxyxyxyxye e e e y y y y 0 0 0 0 y y y y 例例例例3 3 3 3 已知函数已知函数已知函数已知函数由方程由方程由方程由方程确定 则确定 则确定 则确定 则 第二章 导数与微分 解解解解 2 2 2 2 610610610610 y y y y exyxexyxexyxexyx 0 0 0 0 x x x x 0 0 0 0 y y y y 6620662066206620 y y y y e yyxyxe yyxyxe yyxyxe yyxyx 0 00 00 00 0 xyxyxyxy 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y y 2 2 2 2 12620126201262012620 yyyyyyyy e ye yyxye ye yyxye ye yyxye ye yyxy 0 2 0 2 0 2 0 2y y y y 由由由由知 知 知 知 时 时 时 时 令令令令 得得得得 将将将将0 0 0 0y 0 y 0 y 0 y 0 代入上式得代入上式得代入上式得代入上式得 求导数的方法运用及示例求导数的方法运用及示例 arctanarctanarctanarctan 1 1 1 1ln ln ln ln 2 2 2 2 t t t tx x x x t t t ty y y y d d d d d d d d x x x x y y y y d d d d d d d d 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x y y y y 例例例例4 4 4 4 已知已知已知已知求求求求 第二章 导数与微分 dydydydy dxdxdxdx 2 2 2 2 2 2 2 2 d yd yd yd y dxdxdxdx 解解解解 求导数的方法运用及示例求导数的方法运用及示例 3 3 3 32 2 2 2 1 1 1 1 x x x x y y y y 0 0 0 0 n n n n y y y y 例例例例5 5 5 5 设函数设函数设函数设函数 第二章 导数与微分 解解解解 1 1 1 1 23 23 23 23 yxyxyxyx 2 2 2 2 1 23 2 1 23 2 1 23 2 1 23 2yxyxyxyx 32323232 1 2 23 2 1 2 23 2 1 2 23 2 1 2 23 2yxyxyxyx 1 1 1 1 1 23 2 1 23 2 1 23 2 1 23 2 nnnnnnnnnnnnnnnn ynxynxynxynx 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 3 3 3 3 nnnnnnnn n n n n n n n n n n n n y y y y 求导数的方法运用及示例求导数的方法运用