高等数学 基础班(第24-25课).pdf

第八章第八章第八章第八章 二重积分二重积分二重积分二重积分 第八章第八章 二重积分二重积分 1 1 1 1 定义定义定义定义 n n n n k k k k k k k kk k k kk k k k D D D D f f f fy y y yx x x xf f f f 1 1 1 1 0 0 0 0d d d d limlimlimlimd d d d 2 2 2 2 几何意义几何意义几何意义几何意义 3 3 3 3 性质性质性质性质 y y y yx x x xg g g gy y y yx x x xf f f f D D D DD D D D y y y yx x x xg g g gy y y yx x x xf f f f d d d d d d d d 1 1 1 1 比较定理比较定理比较定理比较定理 若若若若则则则则 y y y yx x x xf f f f d d d d MSMSMSMSy y y yx x x xf f f fmSmSmSmS D D D D 2 2 2 2 估值定理估值定理估值定理估值定理 若若若若在在在在上连续上连续上连续上连续 则则则则 D D D D 第八章第八章 二重积分二重积分 二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点 y y y yx x x xf f f fD D D D S S S Sf f f fy y y yx x x xf f f f D D D D d d d d 3 3 3 3 中值定理中值定理中值定理中值定理 若若若若在在在在上连续上连续上连续上连续 则则则则 2 2 2 22 2 2 2 y y y y x x x x f f f f x x x x y y y y f f f fy y y yx x x xf f f f 1 1 1 1 直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标 2 2 2 2 极坐标极坐标极坐标极坐标 适合用极坐标计算的被积函数适合用极坐标计算的被积函数适合用极坐标计算的被积函数适合用极坐标计算的被积函数 适合用极坐标的积分域适合用极坐标的积分域适合用极坐标的积分域适合用极坐标的积分域 第八章第八章 二重积分二重积分 4 4 4 4 计算计算计算计算 二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点 3 3 3 3 利用奇偶性利用奇偶性利用奇偶性利用奇偶性 D D D D D D D D y y y yx x x xf f f fy y y yx x x xf f f f y y y yx x x xf f f fy y y yx x x xf f f fy y y yx x x xf f f f d d d dy y y yx x x xf f f f x x x x 0 0 0 0 d d d d 2 2 2 2 0 0 0 0 D D D Dy y y y 若积分域若积分域若积分域若积分域关于关于关于关于轴对称轴对称轴对称轴对称 则则则则 x x x x D D D D D D D D y y y yx x x xf f f fy y y yx x x xf f f f y y y yx x x xf f f fy y y yx x x xf f f fy y y yx x x xf f f f d d d dy y y yx x x xf f f f y y y y 0 0 0 0 d d d d 2 2 2 2 0 0 0 0 若积分域关于若积分域关于若积分域关于若积分域关于轴对称轴对称轴对称轴对称 则则则则 第八章第八章 二重积分二重积分 二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点 4 4 4 4 利用对称性利用对称性利用对称性利用对称性 D D D Dx x x xy y y y d d d d d d d d DDDDDDDD f x yf y xf x yf y xf x yf y xf x yf y x 若若若若关于关于关于关于对称对称对称对称 则则则则 第八章第八章 二重积分二重积分 二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点二重积分的概念及知识要点 x x x x x x x x dydydydyy y y yx x x xf f f fdxdxdxdx 2 2 2 21 1 1 1 0 0 0 0 2 2 2 2 常考题型常考题型常考题型常考题型 的次序的次序的次序的次序 1 1 1 1 二重积分计算二重积分计算二重积分计算二重积分计算 2 2 2 2 累次积分交换次序或计算累次积分交换次序或计算累次积分交换次序或计算累次积分交换次序或计算 例例例例1 1 1 1 交换累次积分交换累次积分交换累次积分交换累次积分 第八章第八章 二重积分二重积分 解解解解 2 2 2 2 12121212 0 0 0 0 x x x x x x x x dxf x y dydxf x y dydxf x y dydxf x y dy 122122122122 0010001000100010 yyyyyyyy dyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dx x y 2x y 2x y 2x y 2 x x x x y y y y y xy xy xy x2 2 2 2 二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解 y y y yx x x xf f f f 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 x x x x y y y y y y y y dxdxdxdxy y y yx x x xf f f fdydydydydydydydyy y y yx x x xf f f fdxdxdxdx 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 x x x x dydydydyy y y yx x x xf f f fdxdxdxdx 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 x x x x x x x x dydydydyy y y yx x x xf f f fdxdxdxdx 例例例例2 2 2 2 设函数设函数设函数设函数连续连续连续连续 则则则则 A A A A B B B B 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 y y y y dxdxdxdxy y y yx x x xf f f fdydydydy 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y dxdxdxdxy y y yx x x xf f f fdydydydy C C C C D D D D 第八章第八章 二重积分二重积分 二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解 2 2 2 2 0 0 0 0 sinsinsinsin 0 0 0 0 d d d d sinsinsinsin coscoscoscos d d d d r r r rr r r rr r r rr r r rf f f f 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 2 2 2 2 d d d d d d d d y y y yy y y y x x x xy y y yx x x xf f f fy y y y 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 2 2 2 2 d d d d d d d d y y y y x x x xy y y yx x x xf f f fy y y y 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 d d d d d d d dy y y yy y y yx x x xf f f fx x x x 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 2 2 2 2 d d d d d d d d x x x xx x x x y y y yy y y yx x x xf f f fx x x x 例例例例3 3 3 3 累次积分累次积分累次积分累次积分可以写成 可以写成 可以写成 可以写成 B B B B C C C C D D D D A A A A A A A A 第八章第八章 二重积分二重积分 二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解 dydydydye e e edxdxdxdx x x x x y y y y 2 2 2 22 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 e e e e 例例例例4 4 4 4 积分积分积分积分的值等于的值等于的值等于的值等于 第八章第八章 二重积分二重积分 2 2 2 22 2 2 2 00000000 y y y y y y y y dyedxdyedxdyedxdyedx 解解解解 2 2 2 222 222222 0 0 0 0 y y y y x x x x dxedydxedydxedydxedy 二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解 dydydydyy y y yx x x xdxdxdxdx x x x xx x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 16161616 9 9 9 9 例例例例5 5 5 5 积分积分积分积分的值等于的值等于的值等于的值等于 第八章第八章 二重积分二重积分 2cos2cos2cos2cos 2 2 2 2 2 2 2 2 00000000 dr drdr drdr drdr dr 解解解解 dydydydyy y y yx x x xdxdxdxdx x x x xx x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 y y y yx x x xy y y yx x x xD D D D 2 2 2 2 D D D D dxdydxdydxdydxdyy y y yx x x x 例例例例6 6 6 6 设设设设则则则则 4 4 4 4 第八章第八章 二重积分二重积分 2 2 2 2 D D D D xy dxdyxy dxdyxy dxdyxy dxdy 2 2 2 2 D D D D x dxdyx dxdyx dxdyx dxdy 22222222 1 1 1 1 2 2 2 2 D D D D xydxdyxydxdyxydxdyxydxdy 解解解解 二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解 D D D DxOyxOyxOyxOy 1 1 1 1 D D D DD D D D D D D D y y y yx x x xy y y yx x x xxyxyxyxyd d d dd d d d sinsinsinsincoscoscoscos 例例例例7 7 7 7 设设设设是是是是平面上以 平面上以 平面上以 平面上以 1 11 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 和 和 和 和 1 1 1 1 1 1 1 1 是是是是在第一象限的部分在第一象限的部分在第一象限的部分在第一象限的部分 则则则则为顶点的三角形区域 为顶点的三角形区域 为顶点的三角形区域 为顶点的三角形区域 1 1 1 1 d d d dd d d dsinsinsinsincoscoscoscos2 2 2 2 D D D D y y y yx x x xy y y yx x x x 1 1 1 1 d d d dd d d d2 2 2 2 D D D D y y y yx x x xxyxyxyxy 1 1 1 1 d d d dd d d d sinsinsinsincoscoscoscos 4 4 4 4 D D D D y y y yx x x xy y y yx x x xxyxyxyxy A A A A B B B B C C C C D D D D 0 0 0 0 第八章第八章 二重积分二重积分 二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解 2 2 2 2 dxdydxdydxdydxdyxyxyxyxyy y y y D D D D D D D D 0 0 0 0 1 1 1 1 x x x xy y y yx x x xy y y y 2 2 2 2 9 9 9 9 例例例例8 8 8 8 计算二重积分计算二重积分计算二重积分计算二重积分其中其中其中其中是由直线是由直线是由直线是由直线 所围成的平面区域所围成的平面区域所围成的平面区域所围成的平面区域 第八章第八章 二重积分二重积分 1 1 1 1 2 2 2 2 00000000 y y y y dyyxydxdyyxydxdyyxydxdyyxydx 解解解解 2 2 2 2 dxdydxdydxdydxdyxyxyxyxyy y y y D D D D 二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解二重积分常考题型讲解 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 x x x xy y y yx x x xy y y yx x x xD D D D D D D D y y y yx x x x y y y yx x x x xyxyxyxy I I I I d d d dd d d d 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 ln2ln2ln2ln2 2 2 2 2 例例例例9 9 9 9 设区域设区域设区域设区域计算二重积分计算二重积分计算二重积分