回归教材 数列、不等式.docx

4.数列、不等式1等差数列及其性质(1)等差数列的判定：an1and(d为常数)或an1ananan1 (n2)(2)等差数列的性质当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Snna1dn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0、0、0三种情况；在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合问题5解关于x的不等式ax2(a1)x10)解原不等式化为(x)(x1)0.当0a1时，不等式的解集为x|1x1时，不等式的解集为x|x1；当a1时，不等式的解集为.6处理二次不等式恒成立的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般应用此法(2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零(3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形问题6如果kx22kx(k2)0恒成立，则实数k的取值范围是()A1k0 B1k0C1k0 D1k0答案C解析当k0时，原不等式等价于20，显然恒成立，所以k0符合题意当k0时，由题意得，解得1k0.所以1k0.7利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑(2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元(3)当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值问题7若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74答案D解析由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()772 74，当且仅当时取等号8解决线性规划问题有三步(1)画：画出可行域(有图象)(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离(3)代：将合适的点代到原来目标函数中求最值利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题：(1)截距型：如求zyx的取值范围(2)条件含参数型：已知x，y满足约束条件且zyx的最小值是4，则实数k2，已知x，y满足约束条件且存在无数组(x，y)使得zyax取得最小值，则实数a.(3)斜率型：如求的取值范围(4)距离型(圆半径平方型R2)：如求(xa)2(xb)2的取值范围问题8已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a等于()A3 B2C2 D3答案B解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验知x2，y0符合题意，所以2a04，此时a2.易错点1忽视等比数列中q的范围例1设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列an的公比q_.易错分析没有考虑等比数列求和公式Sn中q1的条件，本题中q1恰好符合题目条件解析当q1时，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立当q1时，由S3S6S9，得.q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案1或1易错点2忽视分类讨论例2若等差数列an的首项a121，公差d4，求：Sn|a1|a2|a3|an|.易错分析要去掉|an|的绝对值符号，要考虑an的符号，对n不讨论或讨论不当容易导致错误解an214(n1)254n.当n6时，Sk|a1|a2|an|a1a2an2n223n；当n7时，|a1|a2|a3|an|(a1a2a3a6)(a7a8an)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8an)2n223n132.所以Sn易错点3已知Sn求an时忽略n1例3数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)，求数列an的通项an.易错分析anSnSn1成立的条件是n2，若忽略对n1时的验证则出错解因为an12Sn，所以Sn13Sn，所以3.因为S1a11，所以数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，Sn3n1 (nN*)所以当n2时，an2Sn123n2(n2)，所以an易错点4数列最值问题忽略n的限制例4已知数列an的通项公式为an(n2)()n(nN*)，则数列an的最大项是()A第6项或第7项 B第7项或第8项C第8项或第9项 D第7项易错分析求解数列an的前n项和Sn的最值，无论是利用Sn还是利用an来求，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误解析因为an1an(n3)()n1(n2)()n()n，当n7时，an1an0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an.故a1a2a7a8a9a10，所以此数列的最大项是第7项或第8项，故选B.答案B易错点5裂项法求和搞错剩余项例5在数列an中，an，又bn，则数列bn的前n项和为()A. B.C. D.易错分析裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的解析由已知得an(12n)，从而bn4()，所以数列bn的前n项和为Sn4(1)()() ()4(1).故选D.答案D易错点6线性规划问题最优解判断错误例6P(x，y)满足|x|y|1，求axy的最大值及最小值易错分析由axyt，得yaxt，欲求t的最值，要看参数a的符号忽视参数的符号变化，易导致最值错误解当a1时，直线yaxt分别过点(1,0)与(1,0)时，axy取得最大值与最小值，其值分别为a，a.易错点7运用基本不等式忽视条件例7函数y的最小值为_易错分析应用基本不等式求函数最值，当等号成立的条件不成立时，往往考虑函数的性质，结合函数的单调性，同时注意函数的定义域解析y.设t，则t2，所以函数变为f(t)t (t2)这时，f(t)在2，)上单调递增，所以f(t)f(2)，所以函数y的最小值为.答案1等差数列an中，a3a4a512，那么an的前7项和S7等于()A22 B24C26 D28答案D解析由已知得a44，S77a428.2在各项均为正数的等比数列an中，若am1am12am (m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m的值为()A4 B5 C6 D7答案B解析因为an是正项等比数列，所以am1am12ama，am2，又T2m1a1a2a2m1a，所以22m151229，m5.3数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A3 690 B3 660C1 845 D1 830答案D解析当n2k时，a2k1a2k4k1；当n2k1时，a2ka2k14k3.所以a2k1a2k12，所以a2k1a2k32，所以a2k1a2k3，所以a1a5a61.所以a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(2601)30611 830.4已知数列an的通项公式为anlog3(nN*)，设其前n项和为Sn，则使Sn4成立的最小自然数n为()A83 B82 C81 D80答案C解析anlog3log3nlog3(n1)，Snlog31log32log32log33log3nlog3(n1)log3(n1)4，解得n34180.故最小自然数n的值为81.5已知曲线C：y(x0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2x10.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么()Ax1，x2成等差数列Bx1，x2成等比数列Cx1，x3，x2成等差数列Dx1，x3，x2成等比数列答案A解析由题意，B1，B2两点的坐标分别为(x1，)，(x2，)，所以直线B1B2的方程为y(xx1)，令y0，得xx1x2，所以x3x1x2，因此，x1，x2成等差数列6已知a，b都是负实数，则的最小值是()A. B2(1)C21 D2(1)答案B解析1112(1)7若关于x的不等式x2mx40在区间1,4上有解，则实数m的最小值是_答案3解析由题意知，原题等价于mx在区间1,4上有解，令f(x)x(x1,4)，则mf(x)min.因为f(x)x在区间1,4上单调递减，所以f(x)minf(4)43，所以m3，故实数m的最小值是3.8不等式组表示的平面区域为，直线ykx1与区域有公共点，则实数k的取值范围为_答案3，)解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分直线ykx1显然经过定点M(0，1)，由图形直接观察知，当直线ykx1经过直线yx1和直线xy3的交点C(1,2)时，k最小，此时kCM3，因此k3.9已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，且10的n的最大值为_答案19解析因为Sn有最大值，则数列an单调递减，又0，a110，且a10a110，S202010(a10a11)2时，解集为x1,2)k，)12(2016湖南师大附中等四校联考)已知数列an与bn满足an1an2(bn1bn)(nN*)(1)若a11，bn3n5，求数列an的通项公式；(2)若a16，bn2n (nN*)且an2n