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新课标教学网高中新课标数学概念、方法、题型、易误点汇整第一部分 集合与简易逻辑1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，则P+Q中元素的有_个。（2）设，那么点的充要条件是_（3）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_个2.遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，且，则实数_.3.对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足集合M有_个。4.集合的运算性质：； ；CUA=x|xU但xA；(讨论的时候不要遗忘了的情况)；.如设全集，若，则A_ _，B_ _.5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如：函数的定义域；函数的值域；函数图象上的点集，如（1）设集合，集合N，则_（2）设集合，则_（答：）6. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。 (4)、CU(AB)=CUACUB; CU(AB)=CUACUB;7.四种命题及其相互关系。：原命题: ;逆命题: ;否命题: ；逆否命题: ；提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）注意命题的否定与它的否命题的区别: 命题的否定是；否命题是；命题“p或q”的否定是“P且Q”，“p且q”的否定是“P或Q” 注意：如 “若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不都是偶数，则是奇数”，否定是“若和都是偶数，则是奇数”（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在ABC中，若C=900，则A、B都是锐角”的否命题为；（2）已知函数，证明方程没有负数根。8逻辑连接词： p q pq pq p 且(and) ：命题形式 pq； 真 真 真 真 假 或（or）：命题形式 pq； 真 假 假 真 假 非（not）：命题形式p . 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 9.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；“非”为真是“且”为假的必要不充分条件。其中正确的是_10.充要条件的判断：（1）定义法-正、反方向推理；若，p就是q的充分条件，反过来q就是p的必要条件；若且;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）;（2）利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件（B是A的必要条件）；若A=B，则A是B的充要条件；如（1）给出下列命题：实数是直线与平行的充要条件；若是成立的充要条件；已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_（2）设命题p：；命题q:。若p是q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 11全称量词与存在量词全称量词-“所有的”、“任意一个”等，用表示； 全称命题p：； 全称命题p的否定p：。存在量词-“存在一个”、“至少有一个”等，用表示； 特称命题p：； 特称命题p的否定p：；第二部分 函数与导数1映射：注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2函数的三要素（定义域、解析式、值域）: 判定相同函数:定义域相同且对应法则相同求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。如（1）函数的定义域是_；（2）若函数的定义域为R，则_；（3）函数的定义域是，则函数的定义域是_；（4）设函数，若的定义域是R，求实数的取值范围；若的值域是R，求实数的取值范围;（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。如（1）若函数的定义域为，则的定义域为_；（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为_求函数解析式的常用方法：待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：）。如已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。（答：）代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，则函数=_（答：）；（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_（答：）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。方程的思想对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= （答：）。求定义域:使函数解析式有意义(若是实际问题中的变量还要使实际问题有意义)(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);如：若函数的定义域为，则的定义域为_（答：）；（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为_（答：1,5）求值域: 配方法：如：求函数的值域（答：4,8）；逆求法（反求法）：如：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围（答：（0,1）；换元法：如（1）的值域为_（答：）；（2）的值域为_（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）；有界法：利用函数有界性（、等），三角函数转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：的值域（答：）；不等式法利用基本不等式求函数的最值。如设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_.（答：）。单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求，的值域为_（答：、）；数形结合：根据函数的几何图形或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等），利用数型结合的方法来求值域。如（1）已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；（2）求函数的值域（答：）； 判别式法：如（1）求的值域（答：）；（2）求函数的值域（答：）如求的值域（答：）导数法;分离参数法;如求函数，的最小值。（答：48）用2种方法求下列函数的值域：（；3分段函数：.是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数，则使得的自变量的取值范围是_；（2）已知，则不等式的解集是_;4函数的奇偶性:（1）定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件,为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，为奇函数，其中，则的值是 ；（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数的奇偶性_ 。利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性_ _.图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.若为偶函数，则.如若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为_ 若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数，则实数_ .在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，。判断与的奇偶性； 若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则 ;既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）5函数的单调性：（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法.（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是_ ；在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意,型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.如（1）若函数 在区间（，4） 上是减函数，那么实数的取值范围是 ；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_；（3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是 ；复合函数由同增异减判定注意：在区间上是增（减）函数当时， ；注意：能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，有，是为增函数的充分不必要条件。注意：函数单调性与奇偶性的逆用（比较大小；解不等式；求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）；函数的单调递增区间是_(答：（1,2）)。特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域6函数的周期性（1）三角函数的周期： ； ； ；（2）类比“三角函数图像”得：或 的周期为；函数满足，则的周期为2；若恒成立，则；若恒成立，则.的图象关于点中心对称必是周期函数，且一周期为；的图象关于直线轴对称必是周期函数，且一周期为；如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；如已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_个实数根（答：5）如(1) 设是上的奇函数，当时，则等于_(答：)；(2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_(答：)；7指数式、对数式：，。如的值为_(答：)指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。8基本初等函数的图像与性质幂函数： （ ； 指数函数：；对数函数:；正弦函数:；余弦函数： ；（6）正切函数：；一元二次函数：；其它常用函数：一次函数:y=ax+b(a0)正比例函数：是奇函数；反比例函数：平移(中心为(b,a)；特别的，函数；是奇函数,； 9二次函数：解析式（三种形式）：一般式：(轴-b/2a,a0,顶点?当b=0时，是偶函数;)；顶点式：，为顶点；零点式：；二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。其中区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数的定义域、值域都是闭区间，则 （答：2）实根分布:先画图再研究0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论。10函数图象图象作法 ：描点法（注意三角函数的五点作图）；图象变换法；导数法图象变换： 平移变换：，左“+”右“-”； 上“+”下“-”； 伸缩变换：， （纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；， （横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍； 对称变换：； ； ； 翻转变换：右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；上不动，下向上翻（|在下面无图象）；如要得到的图像，只需作关于_轴对称的图像，再向_平移3个单位而得到(答：；右)；（3）函数的图象与轴的交点个数有_个(答：2)如将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 (答：C)如（1）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_(答：)；（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_(答：)如（1）作出函数及的图象；（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于_对称 （答：轴）11函数图象（曲线）的对称性满足条件的函数的图象关于直线对称。特别地：f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)图像关于直线x=a对称；两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=对称。如已知二次函数满足条件且方程有等根，则_(答：)； 点关于轴的对称点为；函数关于轴 的对称曲线方程为；点关于轴的对称点为；函数关于轴 的对称曲线方程为； 点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为； 点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。如己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是_（答：）；曲线关于点的对称曲线的方程为。曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2ax, y)=0;如若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则_（答：）形如的图像是双曲线，对称中心是点。如已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点（2，3）对称，则a的值为_（答：2）提醒：(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；如（1）已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形。12. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。 几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： -；幂函数型： -，；指数函数型： -，； 对数函数型： -，；三角函数型： - 。如已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则_（答：0）（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数表示除以3的余数，则对任意的，都有A、 B、 C、 D、（ ）；（2）设是定义在实数集R上的函数，且满足，如果，求；（3）如设是定义在上的奇函数，且，证明：直线是函数图象的一条对称轴；（4）已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增。如果，且，则的值的符号是_ ;yx0123（3）利用一些方法（如赋值法（令0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若，满足，则的奇偶性是_；（2）若，满足，则的奇偶性是_；（3）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_；（4）设的定义域为，对任意，都有，且时，又，求证为减函数；解不等式13函数零点的求法：直接法（求的根）；图象法；二分法.14求解数学应用题的一般步骤：审题认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；建模通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；解模求解所得的数学问题；回归将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：建立一次函数或二次函数模型；建立分段函数模型；建立指数函数模型；建立型。恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.af(x)恒成立af(x)max,;af(x)恒成立af(x)min; 15导数 导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；常见函数的导数公式: ； 。导数的四则运算法则：导数的应用：利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点的切线？注意：过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数，过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：或）。 导数几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率。Vs/(t)表示t时刻即时速度,a=v(t)表示t时刻加速度。如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_（答：5米/秒）利用导数判断函数单调性： 是增函数； 为减函数；研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f/(x)0得增区间;解不等式f/(x)0得减区间;注意f/(x)=0的点; 如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围_（答：）；利用导数求极值：求导数；求方程的根；检验在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;利用导数最大值与最小值：求的根；求区间端点值（如果有）；把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。如：（1）函数在0，3上的最大值、最小值分别是_（答：5；）；（2）已知函数在区间1,2 上是减函数，那么bc有最_值_答：大，）（3）方程的实根的个数为_（答：1）特别提醒：（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是0，0是为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数处有极小值10，则a+b的值为_（答：7）14（理科）定积分 定积分的定义：定积分的性质： （常数）； （其中。微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）：定积分的应用：求曲边梯形的面积：； 求变速直线运动的路程：；求变力做功：第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度弧长公式：；扇形面积公式：。如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2） 2三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4诱导公式记忆规律：“奇变偶不变,符号看象限” (注意：公式中始终视a为锐角)5函数y=b（）五点法作图;振幅?相位?初相? 周期T=,频率?=k时奇函数; =k+时偶函数.对称轴：；对称中心：； 对称轴：；对称中心：；总之，函数在对称轴处取得最值,在对称中心处值为0;余弦正切可类比.如（1）函数的奇偶性是_（答：偶函数）；（2）已知函数为常数），且，则_（答：5）；（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是_、_（答：、）；（4）已知为偶函数，求的值。（答：）6同角三角函数的基本关系：；如：知，则_；_（答：；）；7两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 。8二倍角公式：；。如：函数的单调递增区间为_（答：）9正、余弦定理正弦定理（是外接圆直径）注：；。余弦定理：等三个；注：等三个。术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角的取值范围是：0360等10。几个公式:三角形面积公式：；内切圆半径r=；外接圆直径2R=巧变角：如，等如（1）已知，那么的值是_（答：）；（2）已知为锐角，则与的函数关系为_（答：）辅助角公式中辅助角的确定：(其中)如：（1）当函数取得最大值时，的值是_(答：)；（2）如果是奇函数，则=(答：2)；11已知时三角形解的个数的判定： AbaCh其中h=bsinA,A为锐角时：ah时，无解；a=h时，一解（直角）；hab时，一解（锐角）。第四部分 数列1定义：等差数列 ；等比数列 ；等差数列的判断方法：定义法或。等比数列的判断方法：定义法，其中或。等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：等差（等比）数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、（）称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（公差为2）；奇数个数成等比，可设为，（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_2等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.如 等差数列中，则_ ；在等差数列中，且，是其前项和，则（ ）A、都小于0，都大于0 B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0 D、都小于0，都大于0(4) 若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；。如 在等差数列中，S1122，则_；项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_；(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 ；3.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.如在等比数列中，公比q是整数，则=_；各项均为正数的等比数列中，若，则 。(2) 若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列. 如已知且，设数列满足，且，则.；在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_ _；(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.(4) 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则 (5) .如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为 ；(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.(7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 ；4.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：_；已知（即）求，用作差法：。如已知的前项和满足，求；数列满足，求已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则_ ；若求用累加法：。如已知数列满足，则=_ ；已知求，用累乘法：。如已知数列中，前项和，若，求已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如已知，求；已知，求；（7）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如已知，求；已知数列满足=1，求；注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。注：当遇到时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。如数列满足，求；5.数列求和的常用方法：（1） 公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；（2） 常用公式：，.如等比数列的前项和S2，则_ ；计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是 ；（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求和：（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 如已知，则_；（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. 如设为等比数列，已知，求数列的首项和公比；求数列的通项公式.；设函数，数列满足：，求证：数列是等比数列；令，求函数在点处的导数，并比较与的大小。（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；，； ；.如求和： ；在数列中，且S，则n_ ；（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求数列14，25，36，前项和= ；求和： ；6.“分期付款”、“森林木材”型应用问题(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.(2)利率问题：单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：（等差数列问题）；复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清。如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：（等比数列问题）.如（1）家用电器一件2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一个月，购买后一个月付款一次，共付12 次即购买一年后付清，若按月利率10（按复利计算），则每期应付款 元（精确到元）（2）某厂今年初贷款a万元，年利率为r，从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为多少万元？（3）某地区原有的森林木材存量为a，且每年的增长率为25，因生产建设的需要每年年底要砍伐木材的量为b，设为n年后该地区森林的木材存量。（1）求的表达式；（2）为保持生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于，如果，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（lg2=0.30）第五部分 立体几何1三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为。2表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积：S=S侧+2S底；侧面积：S侧=；体积：V=S底h 锥体：表面积：S=S侧+S底；侧面积：S侧=；体积：V=S底h：台体：表面积：S=S侧+S上底S下底；侧面积：S侧=；体积：V=（S+）h；球体：表面积：S=；体积：V= 。3位置关系的证明（主要方法）：位置关系有：空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法；直线与平面: a、a=A (a) 、a； 平面与平面:、=a常用定理有：线面平行;线线平行:;面面平行:;线线垂直:;所成角900；(三垂线);逆定理?线面垂直:;面面垂直：二面角900; ;4.求角：（步骤-。找或作角；。求角） （了解即可）异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形；补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。直线与平面所成的角：直接法（利用线面角定义）；先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。二面角的求法：定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；射影法：利用面积射影公式：,其中为平面角的大小； 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；5.求距离：（步骤-。找或作垂线段；。求距离）两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；点到平面的距离：垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；等体积法；球面距离：（步骤）（）求线段AB的长；（）求球心角AOB的弧度数；()求劣弧AB的长。6结论：从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；A长方体的性质：长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2 。长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1 。正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：高：；对棱间距离：；相邻两面所成角余弦值：；内切球半径：；外接球半径：；常用转化思想:构造四边形、三角形把问题化为平面问题将空间图展开为平面图割补法等体积转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 第六部分 直线与圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围。如直线的倾斜角的范围是_ _；过点的直线的倾斜角的范围值的范围是_2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即tan(90)；倾斜角为90的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： 。如 两条直线钭率相等是这两条直线平行的_条件；实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为_3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。如经过点（2，1）且方向向量为=(1,)的直线的点斜式方程是_；直线，不管怎样变化恒过点_；若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。如过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（4）与直线平行的直线可表示为；（5）与直线垂直的直线可表示为.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点到直线的距离；（2）两平行线间的距离为。6、直线与直线的位置关系：（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；（2）相交；（3）重合且。提醒：（1） 、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线与直线垂直。如设直线和，当_时；当_时；当_时与相交；当_时与重合；已知直线的方程为，则与平行，且过点（1，3）的直线方程是_；两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是_；设分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线与的位置关系是_；已知点是直线上一点，是直线外一点，则方程0所表示的直线与的关系是_；直线过点（，），且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线的方程是_7、对称（中心对称和轴对称）问题代入法：如（1）已知点与点关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为_；（2）已知直线与的夹角平分线为，若的方程为，那么的方程是_；（3）点（，）关于直线的对称点为(2,7)，则的方程是_；（4）已知一束光线通过点（，），经直线:3x4y+4=0反射。如果反射光线通过点（，15），则反射光线所在直线的方程是_；（5）已知ABC顶点A(3，)，边上的中线所在直线的方程为6x+10y59=0，B的平分线所在的方程为x4y+10=0，求边所在的直线方程； （6）直线2xy4=0上有一点，它与两定点（4,1）、（3,4）的距离之差最大，则的坐标是_；（7）已知轴，C（2，1），周长的最小值为_。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。8设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（）；9、圆的方程：圆的标准方程：。圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆；二元二次方程表示圆的充要条件是什么？ （且且）；圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：；。为直径端点的圆方程如圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为_；圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_；已知是圆（为参数，上的点，则圆的普通方程为_，P点对应的值为_，过P点的圆的切线方程是_；如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是_；方程x2+yx+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为_；若（为参数，若，则b的取值范围是_圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法。10与圆有关的结论：过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0。圆系：经过两个圆的圆系方程：； 注：当时表示两圆交线。经过直线与圆的圆系方程：11点、直线与圆的位置关系：点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）点在圆上；点在圆内；点在圆外。也可把点（x0，y0）代入圆的方程检验，若(x0-a)2+(y0-b)2r2),则 P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内(上、外) 直线与圆的位置关系，可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线