浙江工商大学06-07(一)章乃器学院微积分(上)试卷解答.doc

浙江工商大学微积分课程考试试卷 适用专业： 混合0601,02,03；金融0601,02章乃器学院06/07学年第一学期微积分(上)试卷解答一、填空题(分)1.设,且,则=.解 由得,又,所以,.2.=.解 原式=.3.已知,则=.解 由= =.得 =.4.设函数在点处变化量的线性主要部分是,且,则=.解 由题设知,即. 两边积分得,即, 由得.所以,. .5.在上满足罗尔定理的=.解 令,得.取.6.若,且,则=.解 , .7.=时,在处取到极值.解 由,得.又 , 在处取得极大值.8.设生产函数为,其中为产出量,为劳动投入,为资本投入,而,均为大于零的常数,则当时,相对于的弹性为.解 ,即.两边对求导,得 ,解得, .9.设,则=.解 , , , , , 一般地,有, 10.已知有无穷型间断点,可去间断点,则=,=.解 由是的无穷间断点知或,且,由是的可去间断点知或,且.所以,.二、单项选择(分)1.当时,则( ). () ,() , () ,() ,解 =, ,.2.设,为恒大于零的可导函数,且,则当时,有( ). () () () () 解 设,则 , 在上单调递减,故有 即 .3.设,则( ). () 为导函数的极大值 () 为函数的极小值 () 为函数的极大值 () 为曲线的拐点解 , ,当时,有. 由此可见,在的两侧变号,故为曲线的拐点.4 函数( )是函数的原函数. () () () () 5.曲线有( )条渐近线. () () () () 解 , 是的一条水平渐近线. , 是的一条垂直渐近线.三、计算题(分)1.求.解 原式=.2.求.解 原式= = = = = =.3.设由方程所确定,求,.解 方程两边对求导,得 , (*) 将代入原方程得.再将,代入(*)式得. (*)式两边对求导,得 , (*) 将,代入(*)式得.4.设,求此曲线在处的切线方程.解 当时,. =, , 所求切线方程为 即 .5.求函数在区间内的间断点,并判断其类型.解 当()时,无定义,所以,()是的间断点. , . , . ,是的第二类间断点. , . ,是的第一类可去间断点.6.求()的极值.解 ,令得驻点. 当时,当时,.所以,是的极大值点,极大值为.7.计算不定积分.解 原式= =.8.计算不定积分.解 原式= = = =.四、应用题(分)1设某商品销售单价为元,生产中可变成本为每单位元,又因产量与广告费之间的关系为,且生产的产品经广告宣传后全部销售,求产品利润最大时的最优广告投入.解 总收入,总成本, 总利润, 令得惟一驻点. 根据问题的实际意义知,当产量时利润最大,此时的最优广告投入为元.2.设时,方程仅有一个解,求满足条件的常数的取值范围.解 设,. 若,则在时有惟一解.若,因为在连续,又 , . 由零点定理知在时至少有一解.又 , 在时单调递减, 在时有惟一解. 若,令得驻点.又当时,当时,.所以,是的极小值,亦即最小值.又 , . 当即时,在时有惟一解. 综上,当或时,仅有一个解.五、证明题(6分) 设在内二阶可导,且有,.证明:在内存在唯一的零点.证 由知在上单调递增,所以,使. 当时,由拉格朗日中值定理知,使得, 由得,故必使得. 由零点定理