悬崖跳水水池深度设定问题.doc

一、问题重述近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。请大家做两件事:1. 跳台下面的水池要多深才能安全，请大家给以计算;2. 分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。二、问题分析要探讨水深安全的问题，就要考虑各种偶然因素，考虑各种客观因素对运动员的起跳姿势的影响（包括失误）。运动员下落水中后要有足够小的速度与池底接触（如果能接触），但考虑到各种未知因素，身体应不与池底接触。故所求的最小深度应是运动员以各种姿势跳水后所到最深处离水面的距离。运动员的整个运动过程可分为四个阶段：第一阶段：运动员起跳到身体即将接触水面的下落运动；第二阶段：身体与水的碰撞过程，即固体与流体的碰撞问题；第三阶段：身体入水的过程，该过程中身体没有完全入水；第四阶段：身体完全入水后在水（流体）中的运动情况。三、模型假设假设一：在第一阶段，运动员起跳后不是标准的自由落体运动，而是平动和转动的合成运动。可28米和20米的下落高度中由重力做的功远大于起跳时由摩擦力矩产生的转动动能，况且在接触水面时人呈舒展姿势，由角动量守恒可得此时运动员的转动动能很小。转速也小使得摩擦力矩做的功小。故可以将第一阶段的运动简化为平动，而忽略转动。假设二：在第一阶段中起跳时，初速度很小，其方向也不确定故可以忽略不计。假设三：在空中下落过程中，将人体等效看成圆柱体。假设四：在考虑第二阶段中与在第三阶段时，人与水的碰撞问题及人进入水的过程中，可将人看成一圆台，两个圆柱的模型。并且假设圆台的的底面与水面碰撞，这是由于水的粘滞系数小于水的压差阻力系数，在该种情况下碰撞损失的动能越少，而且在后面的运动中阻力越小（这会使下落深度越大）。假设五：在第四阶段中将人的模型重新简化为假设三中的圆柱体模型。其图形分别如下所示：假设三（图一）假设四（图二）假设五（图三）关键词：平动，初速度，圆柱体，圆台，重新。四、符号说明H：跳台高度h：人高度g：重力加速度m：人重（）：人受空气阻力五、模型的建立与求解第一阶段模型分析：由假设可知该问题简化为竖直下落问题，人在下落过程中受到有重力和空气阻力的作用，而空气阻力又包括粘滞阻力和压差阻力。故有：第二阶段模型分析由假设可知，该碰撞过程看成圆台底面于水面的碰撞过程。由碰撞过程中能量守恒定律和动量守恒可以列出两个式子：第三阶段模型分析在该模型中，柱体未完全浸入水中。柱体受重力，水的浮力，水的阻力。其中水的阻力为水的粘滞阻力。由假设三可以确定该过程分为三个步骤完成：步骤一：圆台部分步骤二大圆柱入水过程模型同样受浮力，重力，粘滞阻力步骤三小圆柱入水过程模型受重力，水的浮力，水的阻力。其中水的阻力为水的粘滞阻力。第四阶段模型分析：在该过程中我们假设的模型又回归到等效的圆柱体模型，模型此时受的力为重力，粘滞阻力，压差阻力。由于粘滞阻力系数远小于压差阻力系数，故我们假设的模型是圆柱体底面竖直向下运动（这样会使在下落过程中阻力最小，从而下降的更深）六、模型的结果分析七、模型的评价在该模型中，我们忽略了模型在空气中的转动运动情况，只考虑了平动，从而也就没有研究转动对入水的影响。这将简化模型，但同时也增加了误差，为了得到更加精确的结果，可以考虑转动对如水的影响。入水过程中我们仅仅是把人分为三个简单的组成部分，若要得到更接近真实的情况的结果，可以运