2013中考压轴题之综合二几何中上难度,适合拔尖.doc

新思维教育一对一个性化教案授课日期： 2013 年 6月 日学生姓名教师姓名杨广成授课时段年 级初三学 科数学课 型一对一教学内容几何综合教 学重、难点24. （2012湖北恩施12分）如图，AB是O的弦，D为OA半径的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于点F，且CE=CB（1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF，BF，求ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径25. （2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在ABC中，ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MNAC于点N，PQAB于点Q，A0=MN（1）如图l，求证：PC=AN；（2） 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，DKE=ABC，EFPM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长26. （2012湖北十堰10分）如图1，O是ABC的外接圆，AB是直径，ODAC，且CBD=BAC，OD交O于点E（1）求证：BD是O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CFAB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值 27. （2012江苏镇江11分）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。若，BM=，求x的值；记四边形ADPE与ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。 28. （2012福建三明14分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），BPEACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点G（1） 当点P与点C重合时（如图）求证：BOGPOE；（4分）（2）通过观察、测量、猜想：= ，并结合图证明你的猜想；（5分）（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图），若ACB=，求的值（用含的式子表示）（5分） 29. （2012辽宁沈阳12分）已知，如图，MON=60，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=，在MON的内部、AOB的外部有一点P，且AP=BP，APB=120.（1）求AP的长；（2）求证：点P在MON的平分线上；（3） 如图，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.当ABOP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围30. （2012辽宁大连12分）如图1，梯形ABCD中，ADBC，ABC2BCD2，点E在AD上，点F在DC上，且BEF=A.（1）BEF=_(用含的代数式表示)；（2）当ABAD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当ABAD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AEAB，ABmDE，ADnDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。31. （2012辽宁鞍山12分）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度（090），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2时，求直线PE的解析式32. （2012山东威海11分）探索发现：已知：在梯形ABCD中，CDAB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。（1）如图，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；（2）如图，如果ADBC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图中的矩形ABCD的一条对称轴。（写出作图步骤，保留作图痕迹）33. （2012四川泸州9分）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，C是的弧AD中点，弦CEAB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；(2)若O的半径为5，AQ=，求弦CE的长。34. （2012四川成都10分）如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K （1）求证：KE=GE； （2）若=KDGE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长35. （2012广西钦州10分）如图，AB是O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，ADEF于点D，DAC=BAC（1）求证：EF是O的切线；（2）求证：AC2=ADAB；（3）若O的半径为2，ACD=30，求图中阴影部分的面积36. （2012广西贵港11分）如图，RtABC的内切圆O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且ACB90，AB5，BC3。点P在射线AC上运动，过点P作PHAB，垂足为H。（1）直接写出线段AC、AD以及O半径的长；（2）设PHx，PCy，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与O相切时，求相应的y值。37. （2012贵州安顺12分）如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB=40，APD=65（1）求B的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离 38. 2012云南省7分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长 39. （2012山东淄博9分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x（1）当点G与点D重合时，求x的值；（2）当点F为AD中点时，求x的值及ECF的正弦值 几何综合答案：24【答案】解：（1）证明：连接OB，OB=OA，CE=CB，A=OBA，CEB=ABC。又CDOA，A+AED=A+CEB=90。OBA+ABC=90。OBBC。BC是O的切线。（2）连接OF，AF，BF，DA=DO，CDOA，OAF是等边三角形。AOF=60。ABF=AOF=30。（3）过点C作CGBE于点G，由CE=CB，EG=BE=5。易证RtADERtCGE，sinECG=sinA=，。又CD=15，CE=13，DE=2，由RtADERtCGE得，即，解得。O的半径为2AD=。25、【答案】解：（1）证明：BAAM，MNAP，BAM=ANM=90。 PAQ+MAN=MAN+AMN=90，PAQ=AMN。PQAB MNAC，PQA=ANM=90。AQ=MN。AQPMNA（ASA）。AN=PQ，AM=AP。AMB=APM。APM=BPCBPC+PBC=90，AMB+ABM=90，ABM=PBC。PQAB，PCBC，PQ=PC（角平分线的性质）。PC=AN。（2）NP=2 PC=3，由（1）知PC=AN=3。AP=NC=5，AC=8。AM=AP=5。PAQ=AMN，ACB=ANM=90，ABC=MAN。，BC=6。NEKC，PEN=PKC。又ENP=KCP，PNEPCK。CK：CF=2：3，设CK=2k，则CF=3k。，。过N作NTEF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。NE=TF=，CT=CFTF=3k。EFPM，BFH+HBF=90=BPC+HBF。BPC=BFH。EFNT，NTC=BFH=BPC。，。CT= 。 。CK=2=3，BK=BCCK=3。PKC+DKC=ABC+BDK，DKE=ABC，BDK=PKC。tanBDK=1。过K作KGBD于G。tanBDK=1，tanABC=，设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。BK=5n=3，n=。BD=4n+3n=7n=。，AQ=4，BQ=ABAQ=6。DQ=BQBD=6。26【答案】解：（1）证明：AB是O的直径，BCA=90。ABC+BAC=90。又CBD=BAC，ABC+CBD=90。ABD=90。OBBD。BD为O的切线。（2）证明：如图，连接CE、OC，BE， OE=ED，OBD=90，BE=OE=ED。OBE为等边三角形。BOE=60。又ODAC，OAC=60。又OA=OC，AC=OA=OE。ACOE且AC=OE。四边形OACE是平行四边形。而OA=OE，四边形OACE是菱形。（3）CFAB，AFC=OBD=90。又ODAC，CAF=DOB。RtAFCRtOBD。，即。又FGBD，AFGABD。，即。27、【答案】解：（1）证明：ABC、APD和APE都是等边三角形， AD=AP，DAP=BAC=600，ADM=APN=600。DAM=PAN。 ADMAPN（ASA），AM=AN。（2）易证BPMCAP， BN=，AC=2，CP=2x，即。 解得x=或x=。 四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与ABC重叠部分的面积。 ADMAPN，。如图，过点P作PSAB于点S，过点D作DTAP于点T，则点T是AP的中点。在RtBPS中，P=600，BP=x，PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。AB=2，AS=ABBC=2x。当x=1时，S的最小值为。连接PG，设DE交AP于点O。若BAD=150，DAP =600，PAG =450。APD和APE都是等边三角形，AD=DP=AP=PE=EA。四边形ADPE是菱形。DO垂直平分AP。GP=AG。APG =PAG =450。PGA =900。设BG=t，在RtBPG中，B=600，BP=2t，PG=。AG=PG=。，解得t=1。BP=2t=22。当BP=22时，BAD=150。猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形ADPE是菱形，AODE，ADO=AEH=300。BAD=150，易得AGO=450，HAO=150，EAH=450。设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=a。DG=DOGO=（1）a。又BAD=150，BAC=600，ADO=300，DHA=DAH=750。DH=AD=2a，GH=DHDG=2a（1）a=（3）a，HE=2DODH=2a2a=2（1）a。，。以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）由ABC、APD和APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。 （2）由BPMCAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。 由BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。28、【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，P与C重合，OB=OP ， BOC=BOG=90。PFBG ，PFB=90，GBO=90BGO，EPO=90BGO。GBO=EPO 。BOGPOE（AAS）。（2）。证明如下：如图，过P作PM/AC交BG于M，交BO于N，PNE=BOC=900， BPN=OCB。OBC=OCB =450， NBP=NPB。NB=NP。MBN=900BMN， NPE=900BMN，MBN=NPE。BMNPEN（ASA）。BM=PE。BPE=ACB，BPN=ACB，BPF=MPF。PFBM，BFP=MFP=900。又PF=PF， BPFMPF（ASA）。BF=MF ，即BF=BM。BF=PE， 即。（3）如图，过P作PM/AC交BG于点M，交BO于点N，BPN=ACB=，PNE=BOC=900。由（2）同理可得BF=BM， MBN=EPN。 BNM=PNE=900，BMNPEN。在RtBNP中， ，即。【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）由正方形的性质可由AAS证得BOGPOE。（2）过P作PM/AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明BMNPEN得到BM=PE，通过ASA证明BPFMPF得到BF=MF，即可得出的结论。（3）过P作PM/AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=BM， MBN=EPN，从而可证得BMNPEN，由和RtBNP中即可求得。29、【答案】解： (1) 过点P作PQAB于点Q PA=PB，APB=120 ，AB=4，AQ=AB=4=2 ，APQ=APB=120=60。在RtAPQ中， sinAPQ=AP= 4。（2）证明：过点P分别作PSOM于点S， PTON于点T，OSP=OTP=90。在四边形OSPT中，SPT=360-OSP-SOT-OTP=360-90-60-90=120，APB=SPT=120。 APS=BPT。又ASP=BTP=90， AP=BP，APSBPT（AAS）。 PS=PT。点P在MON的平分线上。（3） 8+4 4+4t8+4。【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理【分析】（1）过点P作PQAB于点Q根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PSOM于点S，PTON于点T）构建全等三角形APSBPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；最后由角平分线的性质推知点P在MON的平分线上。（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。当ABOP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；当ABOP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围。30、【答案】解：（1）1802。（2）EB=EF。证明如下：连接BD交EF于点O，连接BF。ADBC，A=180-ABC=1802，ADC=180C=180-。AB=AD，ADB=（180A）=。BDC=ADCADB=1802。由（1）得：BEF=1802=BDC。又EOB=DOF，EOBDOF。，即。EOD=BOF，EODBOF。EFB=EDO=。EBF=180BEFEFB=EFB。EB=EF。（3） 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，则G=AEG=。ADBC，EDF=C=，GBC=A，DEB=EBC。EDF=G。BEF=A，BEF=GBC。GBC+EBC=DEB+BEF，即EBG=FED。DEFGBE。AB=mDE，AD=nDE，AG=AE=（n+1）DE。BG=AGAB=（n+1）DEmDE=（n+1m）DE。【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】（1）由梯形ABCD中，ADBC，ABC=2BCD=2，根据平行线的性质，易求得A的度数，又由BEF=A，即可求得BEF的度数：梯形ABCD中，ADBC，A+ABC=180。A=180ABC=1802。又BEF=A，BEF=A=1802。（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得EOBDOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，从而可证得EODBOF，又由相似三角形的对应角相等，易得EBF=EFB=，即可得EB=EF。（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得DEFGBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 的值。31【答案】解：（1）证明：AOG=ADG=90，在RtAOG和RtADG中，AO=AD，AG=AG，AOGADG（HL）。（2）PAG =45,PG=OG+BP。理由如下：由（1）同理可证ADPABP，则DAP=BAP。由（1）AOGADG，1=DAG。又1+DAG+DAP+BAP=90，2DAG+2DAP=90，即DAG+DAP=45。PAG=DAG+DAP=45。AOGADG，ADPABP，DG=OG，DP=BP。PG=DG+DP=OG+BP。（3）AOGADG，AGO=AGD。又1+AGO=90，2+PGC=90，1=2，AGO=AGD=PGC。又AGO+AGD+PGC=180，AGO=AGD=PGC=60。1=2=30。在RtAOG中，AO=3，OG=AOtan30=，G点坐标为：（，0），CG=3。在RtPCG中，PC=，P点坐标为：（3，）。设直线PE的解析式为y=kx+b，则，解得。直线PE的解析式为y=x1。【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证AOGADG。（2）利用（1）的方法，同理可证ADPABP，得出1=DAG，DAP=BAP，而1+DAG+DAP+BAP=90，由此可求PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。（3）由AOGADG可知，AGO=AGD，而1+AGO=90，2+PGC=90，当1=2时，可证AGO=AGD=PGC，而AGO+AGD+PGC=180，得出AGO=AGD=PGC=60，即1=2=30，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式。32、【答案】解：（1）证明：AD=BC，CDAB，AC=BD，DAB=CBA。AE=BE。 点E在线段AB的垂直平分线上。 在ABD和BAC中，AB=BA，AD=BC，AC=BD， ABDBAC（SSS）。DBA=CAB。OA=OB。 点O在线段AB的垂直平分线上。 直线EM是线段AB的垂直平分线。（2）相等。理由如下： CDAB，EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB。 CDAB，ONDOMB，ONCOMA，OCDOAB。 。AM2=BM2。AM=BM。（3）作图如下： 作法： 连接AC，BD，两线相交于点O1； 在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H； 连接BG，AH，两线相交于点O2； 作直线EO2，交AB于点M； 作直线MO1。则直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。【分析】（1）一方面由已知可得点E在线段AB的垂直平分线上；另一方面可由SSS证明ABDBAC，从而得DBA=CAB，因此OA=OB，得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。（2）一方面由CDAB，得EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB，利用对应边成比例可得；另一方面由CDAB，得ONDOMB，ONCOMA，OCDOAB，利用对应边成比例可得。从而得到，即可得到AM=BM的结论。（3）按（2）的结论作图即可。33、【答案】解：（1）证明：AB是O的直径，弦CEAB，。又C是弧的中点，。ACP=CAP。PA=PC。AB是直径ACB=90。PCQ=90ACP，CQP=90CAP。PCQ=CQP。PC=PQ。PA=PQ，即P是AQ的中点。（2），CAQ=ABC。又ACQ=BCQ，CAQCBA。又AQ=，BA=10，。设AC=3k， BC=4k，则由勾股定理得，解得k=2。AC=6，BC=8。根据直角三角形的面积公式，得：ACBC=ABCH，68=10CH。CH=。又CH=HE，CE=2CH=。【考点】圆的综合题，圆周角定理。垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）首先利用等角对等边证明：ACP=CAP得到：PA=PC，然再证明PC=PQ，即可得到P是AQ的中点。（2）首先证明：CAQCBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长，则可以求得CE的长。34【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OG。EG为切线，KGE+OGA=90。CDAB，AKH+OAG=90。又OA=OG，OGA=OAG。KGE=AKH=GKE。KE=GE。（2）ACEF，理由如下：连接GD，如答图2所示。KG2=KDGE，。又KGE=GKE，GKDEGK。E=AGD。又C=AGD，E=C。ACEF。（3）连接OG，OC，如答图3所示。 由（2）E=ACH，sinE=sinACH=。可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。KE=GE，ACEF，CK=AC=5t。HK=CKCH=t。在RtAHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=。设O半径为r，在RtOCH中，OC=r，OH=r3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=。EF为切线，OGF为直角三角形。在RtOGF中，OG=r=，tanOFG=tanCAH=，FG=。【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。【分析】（1）如答图1，连接OG根据切线性质及CDAB，可以推出连接KGE=AKH=GKE，根据等角对等边得到KE=GE。（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由KGE=GKE，及KG2=KDGE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出GKD与EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到C=AGD，可推知E=C，从而得到ACEF。（3）如答图3所示，连接OG，OC首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在RtOGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。35【答案】解：（1）证明：连接OC，OA=OC，BAC=OCA。DAC=BAC，OCA=DAC。OCAD。ADEF，OCEF。OC为半径，EF是O的切线。（2）证明：AB为O直径，ADEF，BCA=ADC=90。DAC=BAC，ACBADC。AC2=ADAB。（3）ACD=30，OCD=90，OCA=60.OC=OA，OAC是等边三角形。AC=OA=OC=2，AOC=60。在RtACD中，AD=AC=1。由勾股定理得：DC=，阴影部分的面积是S=S梯形OCDAS扇形OCA=（2+1）。【考点】圆的综合题，等腰（边）三角形的判定和性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积。【分析】（1）连接OC，根据OA=OC推出BAC=OCA=DAC，推出OCAD，得出OCEF，根据切线的判定推出即可。（2）证ADCACB，得出比例式，即可推出答案。（3）求出等边三角形OAC，求出AC、AOC，在RtACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案。36、【答案】解：（1）AC=4；AD=3，O半径的长为1。（2）在RtABC中，AB=5，AC=4，则BC=3。 C=90，PHAB，C=PHA=90。A=A， AHPACB。，即。，即y与x的函数关系式是。（3）如图，PH与O相切于点M，连接OD，OE，OF，OM。OMH=MHD=HDO=90，OM=OD，四边形OMHD是正方形。MH=OM=1。CE、CF是O的切线，ACB=90，CFO=FCE=CEO=90，CF=CE。四边形CEOF是正方形，CF=OF=1。PH=PM+MH=PF+FC=PC，即x=y。又由（2）知，解得。【考点】圆的综合题，圆的切线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接AO、DO，EO，FO，设O的半径为r，在RtABC中，由勾股定理得AC=，O的半径r=（AC+BC-AB）=（4+3-5）=1。CE、CF是O的切线，ACB=90，CFO=FCE=CEO=90，CF=CE。四边形CEOF是正方形。CF=OF=1。又AD、AF是O的切线，AF=AD。AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3。（2）通过相似三角形AHPACB的对应边成比例知， ，将“PH=x，PC=y