福建省福州八中高考数学四模试卷 理（含解析）.doc

福建省福州八中2015届高考 数学四模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上）1（5分）已知a=x|x+10，b=2，1，0，1，则（ra）b=（）a2，1b2c2，0，1d0，12（5分）若双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程式y=x，则双曲线的离心率为（）abc2d3（5分）已知命题p：xr，log2（3x+1）0，则（）ap是假命题；p：xr，log2（3x+1）0bp是假命题；p：xr，log2（3x+1）0cp是真命题；p：xr，log2（3x+1）0dp是真命题；p：xr，log2（3x+1）04（5分）设ab0，下面四个不等式中，正确的是（）|a+b|a|；|a+b|b|；|a+b|ab|；|a+b|a|b|a和b和c和d和5（5分）已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）aa0ba0caedae6（5分）已知点o、a、b不在同一条直线上，点p为该平面上一点，且2=2+，则（）a点p在线段ab上b点p在线段ab的反向延长线上c点p在线段ab的延长线上d点p不在直线ab上7（5分）已知点p（a，b）（ab0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以p为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（）aml，且l与圆相交bml，且l与圆相切cml，且l与圆相离dml，且l与圆相离8（5分）若平面区域的面积为3，则实数k的值为（）abcd9（5分）已知函数，当x时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）abcd10（5分）已知抛物线c1：x2=4py，圆c2：x2+（yp）2=p2，直线l：y=x+p，其中p0，直线l与c1，c2的四个交点按横坐标从小到大依次为a，b，c，d，则的值为（）abcdp2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡相应位置11（4分）已知两条直线l1：（2+m）x+4y=53m，l2：2x+（5m）y=8互相垂直，则m=12（4分）已知cos（+）=，则sin（）=13（4分）设等差数列an的前n项和为sn，若a1=11，a4+a6=6，则当sn取最小值时，n等于14（4分）若函数且a2，b0且b1）的图象关于y轴对称，则a+8b的最小值为15（4分）设v是已知平面m上所有向量的集合，对于映射f：vv，av，记a的象为f（a）若映射f：vv满足：对所有a，bv及任意实数，都有f（a+b）=f（a）+f（b），则f称为平面m上的线性变换现有下列命题：设f是平面m上的线性变换，av，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）；对av，设f（a）=2a，则f是平面m上的线性变换；设f是平面m上的线性变换，a，bv，若a，b共线，则f（a），f（b）也共线；若e是平面m上的单位向量，对av，设f（a）=ae，则f是平面m上的线性变换其中真命题是（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（13分）在数列an中，a1=1，=（nn*）（1）求证数列an为等差数列，并求出它的通项公式；（2）设数列an的前n项和为sn，是否存在正整数n，使得s1+=2014成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由17（13分）已知函数r）（）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；（）当时，f（x）的最大值为9，求实数m的值18（13分）已知f（x）=2sin（），集合m=x|f（x）|=2，x0，把m中的元素从小到大依次排成一行，得到数列an（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足：b1=1，bn+1=bn+a2n，求bn的通项公式19（13分）某港湾的平面示意图如图所示，o，a，b分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，a位于o的正南方向6km处，b位于o的北偏东60方向10km处（）求集镇a，b间的距离；（）随着经济的发展，为缓解集镇o的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头m，n，开辟水上航线勘测时发现：以o为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行请确定码头m，n的位置，使得m，n之间的直线航线最短20（14分）如图，正方形cdef内接于椭圆+=1（ab0），且它的四条边与坐标轴平行，正方形ghpq的顶点g，h在椭圆上，顶点p，q在正方形的边ef上且cd=2pq=（1）求椭圆的方程；（2）已知点m（2，1），平行于om的直线l在y轴上的截距为m（m0），l交椭圆于a，b两个不同点，求证：直线ma，mb与x轴始终围成一个等腰三角形21（14分）巳知函数f（x）=x22ax2alnx，g（x）=ln2x+2a2，其中x0，ar（）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；（）若f（x）在区间（2，+）上单调递增，求a的取值范围；（）记f（x）=f（x）+g（x），求证：福建省福州八中2015届高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上）1（5分）已知a=x|x+10，b=2，1，0，1，则（ra）b=（）a2，1b2c2，0，1d0，1考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：先利用一元一次不等式的解法化简集合a，再求其在实数集中的补集，最后求集合b与a的补集的交集即可解答：解：a=x|x+10=x|x1，cua=x|x1，（ra）b=x|x12，1，0，1=2，1故选a点评：本题主要考查了集合的补集与交集运算，属于集合运算的常规题2（5分）若双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程式y=x，则双曲线的离心率为（）abc2d考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程是y=x，可得=，利用双曲线的离心率e=，即可得出结论解答：解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程是y=x，=，双曲线的离心率e=2故选：c点评：本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定=是关键3（5分）已知命题p：xr，log2（3x+1）0，则（）ap是假命题；p：xr，log2（3x+1）0bp是假命题；p：xr，log2（3x+1）0cp是真命题；p：xr，log2（3x+1）0dp是真命题；p：xr，log2（3x+1）0考点：命题的否定；特称命题 专题：简易逻辑分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论解答：解：3x0，3x+11，则log2（3x+1）0，p是假命题；p：xr，log2（3x+1）0故选：b点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础4（5分）设ab0，下面四个不等式中，正确的是（）|a+b|a|；|a+b|b|；|a+b|ab|；|a+b|a|b|a和b和c和d和考点：不等关系与不等式 专题：不等式的解法及应用分析：根据不等式的关系即可比较大小解答：解：ab0，a，b同号|a+b|=|a|+|b|a|；正确，|a+b|=|a|+|b|b|；错误；|a+b|=|a|+|b|ab|；错误；|a+b|=|a|+|b|a|b|，正确故选：c点评：本题主要考查不等式的大小比较，利用绝对值不等式的性质是解决本题的关键5（5分）已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）aa0ba0caedae考点：微积分基本定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题；导数的概念及应用分析：由定积分计算公式，求出函数f（x）=的一个原函数f（x）=lnx，从而利用微积分基本定理得到=lne，结合充分条件、必要条件的定义，即可得到不等式成立的一个充分而不必要条件解答：解：由积分运算法则，得=lnx=lneln1=1因此，不等式即即a1，对应的集合是（1，+）将此范围与各个选项加以比较，只有c项对应集合（e，+）是（1，+）的子集原不等式成立的一个充分而不必要条件是ae故选：c点评：本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题6（5分）已知点o、a、b不在同一条直线上，点p为该平面上一点，且2=2+，则（）a点p在线段ab上b点p在线段ab的反向延长线上c点p在线段ab的延长线上d点p不在直线ab上考点：平行向量与共线向量 专题：计算题分析：根据2=2+，利用向量减法的三角形法则得到，然后根据向量的定义和共线向量定理即可求得答案解答：解：2=2+，22=，即，点p在线段ab的反向延长线上，故选b点评：本题考查共线向量定理以及向量加减法的三角形法则，对2=2+变形是解决此题的关键，属基础题7（5分）已知点p（a，b）（ab0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以p为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（）aml，且l与圆相交bml，且l与圆相切cml，且l与圆相离dml，且l与圆相离考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：由p在圆内，得到p到圆心距离小于半径，利用两点间的距离公式列出不等式a2+b2r2，由直线m是以p为中点的弦所在直线，利用垂径定理得到直线op与直线m垂直，根据直线op的斜率求出直线m的斜率，再表示出直线l的斜率，发现直线m与l斜率相同，可得出两直线平行，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，利用得出的不等式变形判断出d大于r，即可确定出直线l与圆相离解答：解：点p（a，b）（ab0）在圆内，a2+b2r2，kop=，直线op直线m，km=，直线l的斜率kl=km，ml，圆心o到直线l的距离d=r，l与圆相离故选c点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两直线垂直、平行时直线斜率满足的关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离；当dr时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切（其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）8（5分）若平面区域的面积为3，则实数k的值为（）abcd考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域的面积，建立方程关系，即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：y=k（x+1）过定点b（1，0），根据图象可知kkab，即k2，由图象可知a（0，2），由得，即|ac|=，三角形的面积为=3，解得k=，故选：b点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域以及三角形面积的计算，利用数形结合是解决本题的关键9（5分）已知函数，当x时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）abcd考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点 专题：计算题；函数的性质及应用分析：可以根据函数，求出x在上的解析式，已知在区间内，函数g（x）=f（x）ax，有三个不同的零点，对g（x）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出a的范围；解答：解：在区间内，函数g（x）=f（x）ax，有三个不同的零点，a0若x时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnxax，（x0）g（x）=a=，若g（x）0，可得x，g（x）为减函数，若g（x）0，可得x，g（x）为增函数，此时f（x）必须在上有两个交点，解得，a设x1，可得13，=2ln，此时g（x）=2lnxax，g（x）=，若g（x）0，可得x0，g（x）为增函数若g（x）0，可得x，g（x）为减函数，在上有一个交点，则，解得0a6ln3综上可得a；若a0，对于x时，g（x）=lnxax0，没有零点，不满足在区间内，函数g（x）=f（x）ax，有三个不同的零点，综上：a；故选a；点评：此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，难度比较大，需要排除a0时的情况，注意解方程的计算量比较大，注意学会如何分类讨论；10（5分）已知抛物线c1：x2=4py，圆c2：x2+（yp）2=p2，直线l：y=x+p，其中p0，直线l与c1，c2的四个交点按横坐标从小到大依次为a，b，c，d，则的值为（）abcdp2考点：平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系 专题：平面向量及应用分析：由题意可得抛物线的焦点c2（0，p），求得|ab|=|ac2|bc2|=ya，同理求得|cd|=yd，再根据 =|ab|cd|，利用韦达定理计算求得结果解答：解：由题意可得抛物线的焦点c2（0，p），|ab|=|ac2|bc2|=ya+pp=ya，同理求得|cd|=yd，=|ab|cd|=yayd，而由，可得 y23py+p2=0，yayd=p2，故选：d点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡相应位置11（4分）已知两条直线l1：（2+m）x+4y=53m，l2：2x+（5m）y=8互相垂直，则m=12考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：计算题分析：利用l1：（2+m）x+4y=53m，l2：2x+（5m）y=8互相垂直，得出2（2+m）+4（5m）=0求出m的值解答：解：l1：（2+m）x+4y=53m，l2：2x+（5m）y=8互相垂直，2（2+m）+4（5m）=0解得m=12故答案为：12点评：本题考查直线系方程的应用，直线的垂直条件的应用，考查计算能力12（4分）已知cos（+）=，则sin（）=考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果解答：解：cos（+）=，sin（）=sin=sin=cos（+）=故答案为：点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键13（4分）设等差数列an的前n项和为sn，若a1=11，a4+a6=6，则当sn取最小值时，n等于6考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：根据等差数列的性质化简a4+a6=6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式sn，配方后即可得到sn取最小值时n的值解答：解：由a4+a6=2a5=6，解得a5=3，又a1=11，所以a5=a1+4d=11+4d=3，解得d=2，则an=11+2（n1）=2n13，所以sn=n212n=（n6）236，所以当n=6时，sn取最小值故答案为：6点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题14（4分）若函数且a2，b0且b1）的图象关于y轴对称，则a+8b的最小值为8考点：指数函数的图像与性质 专题：综合题；函数的性质及应用分析：由题意可得f（1）=f（1），可得ab=2，利用基本不等式可求答案解答：解：f（x）的图象关于y轴对称，f（1）=f（1），即1=1，ab=2，又a0，b0，a+8b2=2=8，当且仅当a=8b时取等号，由解得a=4，b=，即a=4，b=时a+8b取最小值8，故答案为：8点评：本题考查指数函数的图象和性质、基本不等式求函数最值，利用基本不等式求最值时注意条件：一正、二定、三相等15（4分）设v是已知平面m上所有向量的集合，对于映射f：vv，av，记a的象为f（a）若映射f：vv满足：对所有a，bv及任意实数，都有f（a+b）=f（a）+f（b），则f称为平面m上的线性变换现有下列命题：设f是平面m上的线性变换，av，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）；对av，设f（a）=2a，则f是平面m上的线性变换；设f是平面m上的线性变换，a，bv，若a，b共线，则f（a），f（b）也共线；若e是平面m上的单位向量，对av，设f（a）=ae，则f是平面m上的线性变换其中真命题是（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用 专题：新定义；集合分析：对所有a、bv及任意实数，都有f（a+b）=f（a）+f（b），则f称为平面m上的线性变换，抓住概念核心式，利用赋值法，对四个命题逐一分析解答：解；令=k，=0，则f（ka）=kf（a），故是真命题，对av，设f（a）=2a，则f（a+b）=2（a+b），f（a）+f（b）=2a+2b=2（a+b），即f（a+b）=f（a）+f（b），f是平面m上的线性变换，故是真命题；若a，b共线，则实数，使得a=b，f（0）=f（ab）=f（a）f（b）f（a）=f（b），即f（a），f（b）也共线，故是真命题；由f（a）=ae，则有f（b）=be，f（a+b）=（a+b）e则（ae）+（be）e=f（a）+f（b）e，e是单位向量，e0，故是假命题故答案为：点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对新定义“平面m上的线性变换”的理解与应用，考查赋值法三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（13分）在数列an中，a1=1，=（nn*）（1）求证数列an为等差数列，并求出它的通项公式；（2）设数列an的前n项和为sn，是否存在正整数n，使得s1+=2014成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由考点：数列递推式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由等差数列的定义及通项公式即可求得结论；（2）由等差数列的前n项和公式求得结论即可解答：解：（1）由=得，an+1an=2，又a1=1，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列，所以an=1+2（n1）=2n1（2）由（1）得sn=n2，=n，则s1+=（n1）2=（3n1），由（3n1）=2014得n=1343存在满足条件的自然数n=1343点评：本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前n项和等知识；考查学生运算求解能力及函数与方程思想的运用能力，综合性强，属难题17（13分）已知函数r）（）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；（）当时，f（x）的最大值为9，求实数m的值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；三角函数的最值 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+）+m+2，利用正弦函数的单调性与对称性可求得函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；（）当x时，2x+，sin（2x+）1，从而可求得f（x），利用f（x）的最大值为9，可求实数m的值解答：解：（）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+m=+sin2x+3+m=sin2x+cos2x+m+2=2sin（2x+）+m+2，由+2k2x+2k，kz，得+kx+k，kz，函数f（x）的单调增区间为（kz）由2x+=+k（kz）得，x=+，kz，函数f（x）的对称轴方程是x=+，kz（）当x时，2x+，sin（2x+）1，3+m2sin（2x+）+m+24+m4+m=9，解得m=5实数m的值为5点评：本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想和数形结合的思想，属于中档题18（13分）已知f（x）=2sin（），集合m=x|f（x）|=2，x0，把m中的元素从小到大依次排成一行，得到数列an（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足：b1=1，bn+1=bn+a2n，求bn的通项公式考点：数列与三角函数的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用|f（x）|=|2sin（）|=2，求出m，可得数列an组成以1为首项，公差为3的等差数列，从而可得数列an的通项公式；（2）利用叠加法，结合等比数列的求和公式，即可求bn的通项公式解答：解：（1）由|f（x）|=|2sin（）|=2，得sin（）=1=x=3k+1，kzm=x|x=3k+1，kn，把m中的元素从小到大依次排成一行，得到数列an（nn*）a1=1，a2=4，a3=7，依次组成公差为3的等差数列，an=3n2；（2）当n2时，bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=+b1=3（2n1+2n2+2）2（n1）+1=32（n1）+1=32n2n3验证，当n=1时，上式也成立bn=32n2n3点评：本题考查三角函数知识，考查等差数列的判定与通项，考查叠加法，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题19（13分）某港湾的平面示意图如图所示，o，a，b分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，a位于o的正南方向6km处，b位于o的北偏东60方向10km处（）求集镇a，b间的距离；（）随着经济的发展，为缓解集镇o的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头m，n，开辟水上航线勘测时发现：以o为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行请确定码头m，n的位置，使得m，n之间的直线航线最短考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；解三角形分析：（）在abo中，根据余弦定理，可求ab；（）依题意得，直线mn必与圆o相切设切点为c，连接oc，则ocmn，利用面积求出xy，由余弦定理得，c2=x2+y22xycos120=x2+y2+xy3xy，即可得出结论解答：解：（）在abo中，oa=6，ob=10，aob=120，（1分）根据余弦定理得，ab2=oa2+ob22oaobcos120（3分）=，所以ab=14故a，b两集镇间的距离为14km（5分）（）依题意得，直线mn必与圆o相切设切点为c，连接oc，则ocmn（6分）设om=x，on=y，mn=c，在omn中，由，得，即，（8分）由余弦定理得，c2=x2+y22xycos120=x2+y2+xy3xy，（10分）所以，解得，（11分）当且仅当x=y=6时，c取得最小值所以码头m，n与集镇o的距离均为6km时，m，n之间的直线航线最短，最短距离为km（12分）点评：本小题主要考查解三角形、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等20（14分）如图，正方形cdef内接于椭圆+=1（ab0），且它的四条边与坐标轴平行，正方形ghpq的顶点g，h在椭圆上，顶点p，q在正方形的边ef上且cd=2pq=（1）求椭圆的方程；（2）已知点m（2，1），平行于om的直线l在y轴上的截距为m（m0），l交椭圆于a，b两个不同点，求证：直线ma，mb与x轴始终围成一个等腰三角形考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）求出点e（，），点g（，），代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；（2）设直线ma、mb的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y