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雨 中 行 走 模 型摘要：在实际的日常生活中，人在雨中移动，根据不同的雨速及风向等因素求出相应的移动速度，用数学分析的方法建立数学模型，使人在一定的移动距离下淋雨量最小。关键词： 人速 雨速 风向 面积 体积 淋雨量1 问题的复述 在雨中沿直线从一处跑到另一处，雨速为常数且方向不变，讨论人跑的速度与淋雨量的关系。将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m。设跑步距离d=1000m，跑步最大速度=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度2问题的分析考虑到人（或物体）在雨中A地走到B地，其距离为L，为方便起见我们认为在雨中行走的这一段时间雨速不变的情况下，并且无其他因素的限制与影响下的移动，在此前提下建立数学模型找出最优的速度，才能使淋雨量最小。3合理的假设31雨速在相当长的一段时间里是不变的，其中包括矢量速度的大小和方向32人（或物体）可以理想化为一个长方体。33在一定的时间里降雨量是不变的，即为一个常值34可以建立空间直角坐标系使人的行走速度只在x方向有分量4符号的说明L ：人从A地走到B地的距离V：雨的速度V X,VY VZ :V在空间直角坐标系中x，y，z方向上的速度的分量t：时间变量v：人（或物体）的移动速度R（u）单位时间里的淋雨量K：比例系数5模型的建立人（或物体）的表面比较复杂，为简化模型我们设前侧，顶的面积之比为a：b：c，使在空间直角坐标系中人行走的v=u，0，0，V=VX，VY，VZ，由此可以知道在雨中行走的时间为t=L/u。在上述的假设下，我们容易有数学分析中的曲面积分的通量的概念和空间向量之间的关系 知单位时间里的淋雨量是与 （|u-VX|，|0-VY|，|0-VZ|）.（a,b,c）=a|u-VX|+b|0-VY|+c|0-VZ|成正比的。 显然在走完L路程后的总淋雨量R（u）是： R（u）=Kt*（ ） =K L/u *（）令d= 则上式：R（u）=Kt*（ +d） =K L/u *（ +d）为方便讨论，我们令K=1，则在L，V已知的情况下VX，VY，Vz也是已知的， d也是已知的条件下讨论R（u）的最小值，以下分情况讨论：（1） 当VX0时R（u）= L/u *（ a（VX -u） +d）=(L（aVX +d）/u)-L a (uVX) 由上式我们易知：（1）当VXd/a时R（u）与u的函数图象如下：La VXu当u= VX时R（u）取的最小值 Rmin=Ld/ VX（2）当VXd/a时R（u）与u的函数图象如下：uLa VX由图象我们容易看出只有当u趋于正无穷大时，R（u）趋于La当VX=d/a时是（2）的特殊情况，即R（u）=La。当VXd/a0.时只要u= VX时就可以前后不淋雨，其他情况，都应该使u尽可能大，才能使淋雨
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