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代数数论入门指南 一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的 常常可以在 Dedekind 整环上统一处理 然后通过数域的完备化发展到局部域 最 后建立局部与整体类域论 本文主要科普的是局部类域论之前的代数 数论基础概念 先从迹与范的概念开始 它们实际上都源于线性代数 是特征多 项式上的两个特殊的系数 设 A 与 B 是两个交换环 且 B 是秩为 n 的自由 A 模 那么任何 b B都可以视为 B 的乘子 L b x bx 那么 这个乘子就是一个线性变换 给定基之后可以写成 n n 矩阵 它的 迹 范与特征多项式就是元素 b 对于扩张 B A 的特征多项式 分别 记作 Tr b N b 与 f b X 代数数论中最常见的还是域的扩张 设 L K 是有限 n 次扩域 u L在 K 上的不可约多项式的 可能重复的 根分别为 u 1 u s 则 u 的迹与范分别为 Tr u L K u u i N u u i L K u 假若 K 是整环 A 的函数域 a L是 A 上的整元素 那么 a 对于 L K的特征多项式的系数 特别是迹与范 在A上都是整的且属于K 特别当 A 是整闭的 那么它们的系数搜属于 A 假若 L K 是有限 n 次可分扩域 那么其迹形式 T u v Tr uv 是非退 化的对称双线性型 可定义 L 的元素 a 1 a n 对 L K 的判别式为 Disc a 1 a n det Tr a ia j det ia j 2 1 ij n 其中 i 是 L 的 K 共轭 若 L K a a 在 K 上的极小多项式为 f x x a 1 x a n 其中 a i i a 则定义 a 对于 f x 的判别式为 Disc 1 a a n 1 i j a i a j 2 1 n n 1 2Nf a 这里 f a 称为 a 的微分或差分 different 通过对三项式 f x x n bx c 的验证 这里的判别式与通常二 三次多项式的判别式是一致的 见 1 代数数环都是 Dedekind 整环 其理想可以被唯一分解为素理想之 积 下面我们就着重研究素理想 基本假设是这样的 A 是分式域为 K 的 Dedekind 整环 L K 是 n 次可分扩张 B 是 A 在 L 内的整闭包 在此前提下 对 A 内任何非零素理想 P 它在 B 内生成的理想 PB 就 有分解 PB Q 1 e 1 Q g e g 其中各 Q i 是 B 的彼此不同的素理想 并且它们一起组成了卧上于 P 即 Q A P 的素理想 Q 的全体 这里 e i 称为 Q i 对 P 的分歧指 数 f i B Q i A P 称为 Q i 对 P 的剩余类次数 g 称为 Q 在 B 或 L 内的分裂指数 有基本关系 n e if i 下面看几种值得注意的特殊情形 0 若有某 e i 1 则称 P 在 B 或 L 内是分歧的 否则就称为非 分歧的 1 若各 e i f i 1 即 PB Q 1 Q n 则称 P 在 B 或 L 内完全分 裂的 2 若有 e i n 即 PB Q n 则称 P 在 B 或 L 内是完全分歧的 3 假若 L K 是 Galois 扩张 那么所有的 e i 与 f i 均相等 分别 记作 e 与 f 此时有 n efg 对于扩张问题 我们还可以在局部域上进行再认识 局部域是赋 值论中的一个概念 要求有诱导局部紧拓扑的绝对赋值 一般数域的 完备化都是局部域 对于局部域上的赋值 我们可以定义决定相同拓 扑的赋值是等价的 其等价类一般称为素除子 prime divisor 或位 place 设域 F 关于离散素除子 P 是完备的 对 F 的任意 n 次代数扩张 E P 到 E 上可扩张为素除子 Q 记 e e Q P e E F f f Q P f E F 分别对应上面的分歧指数与剩余类次数 自然有 ef E F n 同时我们 记 为到其赋值整环上的商 有 f E F 对此我们也有下列特殊情况 1 若 e 1 f n 则扩张 E F 称为非分歧的 这个条件等价于有 E F a 其中 a 是首一多项式 f x O x 的根 且 a 是 f x 的 单根 2 若 e n f 1 则扩张 E F 称为完全分歧的 这个条件 等价于有 E F 其中 在 F 上的极小多项式为 Eisenstein 多项式 3 设 F 的特征是 p E F 可分 若 p 不整除 e 则称 E F 为顺分 歧 tamely ramified 否则就称为是野分歧 wildly ramified E F 是 e 次完全顺分歧扩张 iff E F 1 e 其中 是 F 的素元且 p 不 整除 e 对于分歧性 实际上还是更加精细的刻画 比如可以定义一般 n 阶分歧群 具体请参考 Serre 的名著 4 下面我们把上面关于元素的微分与判别式定义在理想上 先定义 理想的范映射 由于在 Dedekind 整环内的理想有素理想分解 因此 一般就只要在素理想上讨论 假若 B 的素理想 Q 卧上于 A 的素理想 P 可定义其范数理想为 N Q P f f 就是上面定义的剩余类次数 先看判别式的定义 一般 L 的理想 I 的判别式 D I 可定义为所有 D a 1 a n 生成的理想 其中各 a i I 若 I 是 B 的分式理想 则 D I N I 2 D L K 其中 N 是 L 到 K 的范 微分的定义要稍微复杂一下 一般是先要考虑补集的概念 对 L 的子集 M 先定义 M 的补集或上微分 codifferent 为 M x L Tr xM A 这样 B 1 就称为 L K 或 B A 的微分 可以记作 d 这样的定 义的微分与元素的微分有什么关系呢 假若 M A a f 是 a 在 K 内 的教小多项式 那么其微分 d M 1 f a 其中 f a 恰恰 就是元素 a 的微分 对于理想的微分 我们有下列特征等价条件 设 I 与 J 分别为 A 与 B 的分式理想 则 Tr J 包含于 I iff J 包含于 Id 1 同时关于元素的微分与判别式的关系 在这里也同样得到保留 即 有 D N d 它可以推出判别式 D A 利用微分或者判别式 我们可以判定素理想的分歧性问题 设 Q 是 B 的素理想 P Q A 则 L K 在 Q 上非分歧 iff Q 不整除微分 d iff P 不整除判别式 D 它的一个重要推论就是分歧的素理想最多只能是有限多个 由数到理想的推广实际上是代数数论的发展思想 在 2 中更是敏 锐的指出了它与代数数论两大基本定理之间的联系 怎样由数生成理 想呢 最简单的方法就是由 K 上的元素直接生成主分式理想 由此 得到自然映射 a a 其核实际上就是单位群 而余核则是理想类 群 设 O 是代数数域 K 的代数整数环 K 的理想类群就是 O 的所有分 式理想在乘法下构成的群对主分式理想群的商群 其阶称为 K 的类 数 而 K 的单位群则是 O 的所有单位构成的群 代数数论的两大基 本定理说明了这两个群在某种意义上都是有限的 类数有限性定理 数域的理想类群是有限群 Dirichlet 定理 数域的单位群是有限生成 Abel 群 确切的说 假 若数域 K 有 r 个实素除子 s 个复素除子 那么其单位群同构于 r s 1 个 Z 与某有限群的直和 以上就是代数数论入门时会遇到的主要基本概念 再补充一点二 次域与分圆域等实例 以及 Frobenius 自同构这样的特殊现象 基本 上就构成了类域论之前的代数数论的代数部分 当然 一般代数数论 的入门书籍中还包括一个解析部分 这对于专门的数论研究者来说也 是必不可少的 扩展阅读 1 张贤科 代数数论导引 M 高等教育出版社 2006 比较全面 的代数数论中文教材 2 日 加藤和也 黑川信重 斋藤毅 胥鸣伟 印林生译 数论 I Fermat 的梦想和类域论高等教育出版社 2009 生动有趣的现代数 论补充读物 3 Lang S Algebraic number theory J Reading Mass 1970 强大 的代数数论经典教科书 4 Serre J P Local fields M New York Springer Verlag 1979 数 学经典名著 代数数论的后续读物 本文作者Strongart是一位自学数学的牛人 现在他依然努力坚持自学数学 似乎又有了新的突破 还录了一些数学专业教学视频放在