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教师住房分配问题摘要 现在，单位分房是很多企业给职工的重要福利之一。然而，怎样分配最为合理公正，应该采用怎样的衡量标准等问题仍然颇具争议。本文即主要探讨住房分配问题，试图给出可推广的解决方案，并评价其公平程度。本文主要采用了层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP），它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，特别适用于一些难于完全定量分析的、复杂模糊的问题。 本文假设学校主要遵循传统的“按资排辈”原则分配，目标层为住房分配，准则层由职称、学历、工龄、教学4个因素构成，最终得出所有职工对总目标权重。针对准则层通过两两强弱程度比较，构造4*4的矩阵，进行一致性检验，确定各因素所占权重。根据每个职工的不同情况，量化其在4项因素中的表现，构造4个50*50的一致阵，并对每个矩阵归一化，得出相应的特征向量。最终矩阵相乘求得每位职工的总权值，降序排列取前30人。本文中针对准则层4个因素的强弱排序可以随着学校政策导向的变化而改动，使之更具有广泛适用性。另外，由于职工人数较多，本文采用了MATLAB编程来进行矩阵的构造和运算。最后，针对本文给出的结果，对照原表举例验证了其公正合理性。关键词：层次分析法 归一化 一致性指标 量化 MATLAB 准则层 一、问题重述某中学现有30套福利房欲分配给该校老师，该校有50位教师。学校经过全体老师讨论决定，分房只考虑下列因素：职称，工龄，学历，教学情况。具体情况如下表1，请设计一个数学模型，合理分配这30套住房。人员职称工龄学历教学人员职称工龄学历教学P113031P263821P212522P273522P312122P283922P412031P293523P511922P303612P611513P313421P721412P323322P821622P333232P921322P343521P102821P353422P1121033P363633P122931P373812P132823P383511P1421222P393322P1521331P403421P1621122P413122P1721033P243521P182722P433222P192831P443333P202932P453611P2121022P463422P2221122P473221P2321322P483611P2421022P493322P252833P503122 表1说明：1、职称中的1，2，3分别表示高级、中级、初级； 2、学历中的1，2，3分别表示研究生、本科、专科； 3、教学中的1，2，3分别表示好，一般，差。二、问题分析通过上网查阅资料发现，大部分企业高校采取“打分制”排序分配住房。例如，针对职称一项的打分如下：高级讲师10分；讲师、高级技师6分；助讲、技师4分；员级、高级工3分；中级工2分。其他各项也有相应的评分标准，各项总分相加得出总排名。但职称，工龄，学历，教学这4项的权重大小是比较模糊的，直接给分不能反映各项因素相互之间的合理权重，不具备说服力，定死的打分标准也不能较好的适应学校可能转变的评优政策。另一些企业高校则采用“分档加积分”的方法，其原则是“按职级分档次，同档次的按任职时间级先后分配住房，任职时间先后相同的再考虑其他条件适当加分，从高分到低分依次排队”，但这种方法显然对刚入职的优秀年轻员工不公平，不能充分体现重视人才，鼓励先进等政策。因此，考虑到要科学确立职称，工龄，学历，教学4个因素的权重问题，本文采用层次分析法，通过比较尺度衡量4个因素的权重大小，构造非一致性矩阵，求其权向量，把模糊的强弱关系量化。同时，参考了网上的数据，把不同教师各项因素的不同情况直接量化，分别构造一致阵，求出权向量。最后措施层组合向量和准则层权向量相乘得到总权值，依此排序筛选。三、符号说明 目标层，住房分配； 所有教师在职称因素一项的量化分值； 所有教师在学历因素一项的量化分值； 所有教师在工龄因素一项的量化分值； 所有教师在教学因素一项的量化分值； 准则层矩阵最大特征值的对应权向量； 所有教师关于第i项因素的归一化权向量 (i=1,2,3,4)；四、模型假设 1、假设分配住房只考虑下列4个因素：职称、学历、工龄、教学，而不考虑是否已有住房或住房的挑选等问题； 2、假设该中学主要遵循“按资排辈，兼顾教学”的住房分配原则； 3、假设每位教师至多分得1套住房； 4、假设最终所得分值相同时，按照教学、学历、工龄、职称的顺序依次优先；所有条件相同则抽签决定排序。 五、模型的建立与数据处理5.1建立递阶层次结构模型据题意，住房分配问题的考虑因素有职称、学历、工龄、科研、教学5项，本文以这五项为准则层，构造了如图1：目标层O 准则层 C 方案层 P 图1.层次结构模型5.2 构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子和，以表示和对的影响大小之比，全部比较结果用矩阵表示，称为之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若与对的影响之比为，则与对的影响之比应为。 关于如何确定的值，Saaty等建议引用数字19及其倒数作为标度。表1列出了19标度的含义： 标度含 义135792，4，6，8倒数表示两个因素相比，具有相同重要性表示两个因素相比，前者比后者稍重要表示两个因素相比，前者比后者明显重要表示两个因素相比，前者比后者强烈重要表示两个因素相比，前者比后者极端重要表示上述相邻判断的中间值若因素与因素的重要性之比为，那么因素与因素重要性之比为。表1.19尺度的含义从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用19标度最为合适。 本文实例中对准则层的尺度比较如表2所示：职称 :学历=强一些 4工龄=强 5教学=强得多 6学历 :工龄=较强 3教学=强一些 4工龄 :教学=较强 3 表2.准则层尺度比较 由此，有非一致性矩阵C如下： 职称 学历 工龄 教学 5.3 对准则层判断矩阵进行一致性检验并求其权向量 对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：（i）计算一致性指标 （为矩阵对应的最大特征根，n为矩阵维数）（ii）查找相应的平均随机一致性指标。对，Saaty给出了的值，如下表3所示：1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 表3.随机一致性指标的数值（）计算一致性比例： 当时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。 本实例中，运用MATLAB运算（程序见附录）得出矩阵C的最大特征向量为=4.2051，此时=0.0684，据表3可知当n=4时，=0.90，所以，构造的矩阵C通过一致性检验。算术近似法和法：以归一化的算术平均列向量来替代特征向量，具体做法如下：(1)将矩阵A = () 的每一个列向量归一化得: (2)对A* = () 按行求和得: (3)将归一化 : ，最后得特征向量(4) 计算： 最后，按照上述原理在MATLAB中编程，运用归一化的方法，得出准则层最大特征值对应的权向量如下：准则层职称学历工龄教学权重0.57480.23520.1262 0.06385.4 量化所有教师在4项因素中的程度并求各项权向量本文参考现实中企业一般对各项的评定，假定以如表4中的方案量化：职称：高级=8中级=5初级=3学历：研究生=8本科=5专科=3工龄：INT（实际工龄/5）+1教学：好=10一般=7差=4表4.量化方案所有教师的量化分值见表5：人员职称工龄学历教学人员职称工龄学历教学P187310P2632 510P28657P273257P38557P2832 57P485310P2932 54P58457P3032 87P68484P3131 510P75387P3231 57P85457P3331 37P95357P3432 510P1052510P3531 57P115334P3632 34P1252310P3732 87P135254P3832 810P145357P393157P1553310P4031 510P165357P413157P175334P2432 510P185257P4331 57P1952310P4431 34P205237P4532 810P215357P4631 57P225357P4731 510P235357P4832 810P245357P4931 57P255234P5031 57表5.所有教师的量化分值取量化后的数据构造一致阵后，仍然在MATLAB中求特征向量，并归一化求出对应各因素的权向量，结果见表6：人员职称工龄学历教学人员职称工龄学历教学P10.03670.05880.01210.0270P260.01380.01680.02020.0270P20.03670.05040.02020.0189P270.01380.01680.02020.0189P30.03670.04200.02020.0189P280.01380.01680.02020.0189P40.03670.04200.01210.0270P290.01380.01680.02020.0108P50.03670.03360.02020.0189P300.01380.00840.03240.0189P60.03670.03360.03240.0108P310.01380.00840.02020.0270P70.02290.02520.03240.0189P320.01380.00840.02020.0189P80.02290.03360.02020.0189P330.01380.01680.01210.0189P90.02290.02520.02020.0189P340.01380.01680.02020.0270P100.02290.01680.02020.0270P350.01380.00840.02020.0189P110.02290.02520.01210.0108P360.01380.01680.01210.0108P120.02290.01680.01210.0270P370.01380.01680.03240.0189P130.02290.01680.02020.0108P380.01380.01680.03240.0270P140.02290.02520.02020.0189P390.01380.00840.02020.0189P150.02290.02520.01210.0270P400.01380.00840.02020.0270P160.02290.02520.02020.0189P410.01380.00840.02020.0189P170.02290.02520.01210.0108P420.01380.01680.02020.0270P180.02290.01680.02020.0189P430.01380.00840.02020.0189P190.02290.01680.01210.0270P440.01380.00840.01210.0108P200.02290.01680.01210.0189P450.01380.01680.03240.0270P210.02290.02520.02020.0189P460.01380.00840.02020.0189P220.02290.02520.02020.0189P470.01380.00840.02020.0270P230.01380.02520.02020.0189P480.01380.01680.03240.0270P240.01380.02520.02020.0189P490.01380.00840.02020.0189P250.01380.01680.01210.0108 P500.01380.00840.02020.0189表6.所有教师在各因素中所占权重有b5=n1,n2,n3,n4 ，（b5为组合权向量）5.5 层次总排序及一致性检验总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。设上一层次（层）包含共个因素，它们的层次总排序权重分别为。又设其后的下一层次（层）包含个因素，它们关于的层次单排序权重分别为（当与无关联时，）。现求层中各因素关于总目标的权重，即求层各因素的层次总排序权重，计算按下表所示方式进行，即，。 本文中计算总权重的程序见附录，易知，0.1，层次总排序具有一致性。5.6 结论 最后，按照总权重排序得到结果如：表7（加下划线表示该编号的教师排名前30，有资格分房）：人员总权重排名人员总权重排名P60.03361P170.019625P20.03332P120.019327P10.03283P190.019328P30.0324P200.018829P50.03085P250.018430P40.03036P260.016731P70.02567P340.016732P80.02358P240.016733P90.02239P280.016334P230.02239P270.016335P140.022311P290.015836P160.022312P310.015537P220.022312P400.015537P210.022314P470.015539P240.022314P350.01540P100.021516P460.01540P180.02117P320.01542P150.020618P390.01542P130.020619P490.01542P450.0220P430.01545P480.0220P410.01546P380.0222P500.01546P370.019623P360.013648P300.019624P330.012849P110.019625P440.012450 表7. 全体教师综合权重排名最终被淘汰的20人如表8所示：人员职称工龄学历教学P263821P343521P2421022P283922P273522P293523P313421P403421P473221P353422P463422P323322P493322P393322P433222P413122P503122P363633P333232P443333表8. 最终被淘汰的教师情况 不难看出他们在职称、工龄和学历上明显处于弱势，若和职称、工龄相似的人比教学和科研情况则也略逊一筹，符合模型“按资排辈，兼顾科研”的假设。在该假设下是公平、合理的。六、模型的评价与改进6.1模型的评价1.层次分析法模型本身有系统性、实用性、简洁性的优点。它把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，原理简洁，应用范围广，并把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策。本文中把住房分配问题归结为三个层次，运用比较尺度逐一加权，使得结论更加全面的考虑了各因素的影响。2.决策中选择的权重符合住房分配的原则, 从权重值上可以看出它们是逐渐变小的, 而这恰好吻合了分配原则中对各项指标在优先次序上的安排。3.本文前提只是给出“按资排辈，兼顾科研”的原则, 突出了该具体的实例中的与职务，学历，工龄等指标在指标体系中权重值相对较大。根据实际需要的住房分配原则, 可以调整它们的次序或相对的比重,还可以扩充、减少考虑的指标。只要衡量判断矩阵时通过一致性检验, 都能说明设定权重的合理性。因此, 利用层次分析法确定住房分配指标权重时具有一定的普遍性和通用性。4.从实际的排序结果看, 排入前5位的职称都是高级, 任职都比较早, 工作时间也比较早, 而这些因素的权重都较大, 综合得分较大也是合理的。与此相反, 排序在第倒数5位的在前四项指标衡量中都较别人低, 而其它指标对应的值与别人相比, 又没有优势, 不能弥补前几项指标衡量中的劣势, 造成总的得分低。因此, 整体来看, 该模型能较好地满足住房分配的原则。6.2模型的改进 层次分析法有其粗略、主观方面的局限性，它的比较、判断都是比较粗略的，不适用于精度要求高的问题；从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素作用很大。当然，采取群体判断也是克服这一缺陷的办法。AHP 方法经过几十年的发展，许多学者针对AHP的缺点进行了改进和完善，形成了一些新理论和新方法，像群组决策、模糊决策和反馈系统理论近几年成为该领域的一个新热点。针对以上不足，可以进一步使用模糊层次分析法或主成分分析法，甚至DEDS模型。相对而言能够克服层次分析法上的主观性，突显主要考虑因素。附录：求职称因素影响的最大特征根及所对应的归一化特征向量：程序如下：function b1b1=8,8,8,8,8,8,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3;for i1=1:1:50;for i2=i1:1:50;c1(i1,i2)=b1(i1)/b1(i2);c1(i2,i1)=1/c1(i1,i2);i2+1;endendv1,d1=eig(c1);g1=max(max(d1);for i=1:50;f1(i)=0;for j=1:50;f1(i)=c1(i,j)+f1(i);j+1;endendm1=0;for k1=1:50;m1=f1(k1)+m1;endm1;for i=1:50;n1(i)=f1(i)/m1;endn1结果：n1 =Columns 1 through 70.0367 0.0367 0.0367 0.0367 0.0367 0.0367 0.0229Columns 8 through 14 0.0229 0.0229 0.0229 0.0229 0.0229 0.0229 0.0229Columns 15 through 21 0.0229 0.0229 0.0229 0.0229 0.0229 0.0229 0.0229Columns 22 through 28 0.0229 0.0229 0.0229 0.0229 0.0138 0.0138 0.0138Columns 29 through 350.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138Columns 36 through 420.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138Columns 43 through 490.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138 0.0138Column 500.0138%求学历因素影响的最大特征根及所对应的归一化特征向量程序如下：function b2b2=3 5 5 3 5 8 8 5 5 5 3 3 5 5 3 5 3 5 3 3 5 5 5 5 3 5 5 5 5 8 5 5 3 5 5 3 8 8 5 5 5 5 5 3 8 5 5 8 5 5 ;for i1=1:1:50;for i2=i1:1:50;c2(i1,i2)=b2(i1)/b2(i2);c2(i2,i1)=1/c2(i1,i2);i2+1;endendv2,d2=eig(c2);g2=max(max(d2);for i=1:50;f2(i)=0;for j=1:50;f2(i)=c2(i,j)+f2(i);j+1;endendm2=0;for k2=1:50;m2=f2(k2)+m2;endm2;for i=1:50;n2(i)=f2(i)/m2;endn2结果为：n2 = Columns 1 through 7 0.0121 0.0202 0.0202 0.0121 0.0202 0.0324 0.0324 Columns 8 through 14 0.0202 0.0202 0.0202 0.0121 0.0121 0.0202 0.0202 Columns 15 through 21 0.0121 0.0202 0.0121 0.0202 0.0121 0.0121 0.0202 Columns 22 through 28 0.0202 0.0202 0.0202 0.0121 0.0202 0.0202 0.0202 Columns 29 through 35 0.0202 0.0324 0.0202 0.0202 0.0121 0.0202 0.0202 Columns 36 through 42 0.0121 0.0324 0.0324 0.0202 0.0202 0.0202 0.0202 Columns 43 through 49 0.0202 0.0121 0.0324 0.0202 0.0202 0.0324 0.0202 Column 500.0202%求工龄因素影响的最大特征根值及所对应的归一化特征向量程序如下：function b3b3=7 6 5 5 4 4 3 4 3 2 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ;for i1=1:1:50;for i2=i1:1:50;c3(i1,i2)=b3(i1)/b3(i2);c3(i2,i1)=1/c3(i1,i2);i2+1;endendv3,d3=eig(c3);g3=max(max(d3);g3;for i=1:50;f3(i)=0;for j=1:50;f3(i)=c3(i,j)+f3(i);j+1;endendm3=0;for k3=1:50;m3=f3(k3)+m3;endm3;for i=1:50;n3(i)=f3(i)/m3;endn3结果为：n3 = Columns 1 through 7 0.0588 0.0504 0.0420 0.0420 0.0336 0.0336 0.0252 Columns 8 through 14 0.0336 0.0252 0.0168 0.0252 0.0168 0.0168 0.0252 Columns 15 through 21 0.0252 0.0252 0.0252 0.0168 0.0168 0.0168 0.0252 Columns 22 through 28 0.0252 0.0252 0.0252 0.0168 0.0168 0.0168 0.0168 Columns 29 through 35 0.0168 0.0168 0.0084 0.0084 0.0084 0.0168 0.0084 Columns 36 through 42 0.0168 0.0168 0.0168 0.0084 0.0084 0.0084 0.0168 Columns 43 through 49 0.0084 0.0084 0.0168 0.0084 0.0084 0.0168 0.0084 Column 500.0084%求教学因素影响的最大特征值及所对应的归一化特征向量程序如下：function b4b4=10 7 7 10 7 4 7 7 7 10 4 10 4 7 10 7 4 7 10 7 7 7 7 7 4 10 7 7 4 7 10 7 7 10 7 4 7 10 7 10 7 10 7 4 10 7 10 10 7 7;for i1=1:1:50;for i2=i1:1:50;c4