（基础数学专业论文）几个非线性发展方程的精确解(1).pdf

浙江大学硕士论文 中文摘要 本论文针对几个非线性发展方程，做了以下工作 2 ( 1 )利片j 截断的w t c 方法讨论了如下形式的( 2 + 1 ) 维推广的 b u r g e r s 方程( u 。+ u u 。一u 。) 。+ s ( t ) u 、= 0 。我们得到了此方程的一 个自b g c k l u n d 变换，并且构造了该方程两个新的类孤立子 ( s o l i t o n l i k e ) 解。 ( 2 ) 利用j a c o b i 椭圆函数表示法和数学计算软件( m a p le ，a t l a b 等) ，可以得到一类常系数非线性发展方程的双周期解，这些解 能退化成孤立子解，冲击波解，三角函数解。我们对此方法做了 三项改进：作r 一个恒等变换，从而得到方程新的解：把解 从单函数形式扩展到双函数形式，从而能得到新的解或结合第一 项又能得到新的解：指出了一些式子是多余的，即可以避免重 复计算。利用我们改进的方法，求解了k d v 方程和i t 0 5 阶m k d v 方程。 ( 3 )利用变量分离的方法，求解了一个新的( 2 + 1 ) 维n p d e s 方程， 给出了定量( q u a n t i t y ) 的几种局域相干结构。选择特殊的值，这 些局域结构可以是d r o m i o n 解，多1u m p 解，环( r i n g ) 孤子解 等等。 3 浙江大学硕士论文 a b s t r a c t 3 i nt h i sp a p e r , s o m ei m p o r t a n tn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ( n l e e s ) h a v e b e e ns t u d i e d a s u m m a r yo ft h e m a i nc o n c l u s i o n so fo u rr e s e a r c h e s i s f o l l o w i n g ： ( 1 )b yt h ea p p l i c a t i o no ft h et r u n c a t e dw t cm e t h o d ，w eo b t a i n e da n ( 2 ) ( 3 ) a u t o b i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nf o r a ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a l g e n e r a l i z e db u r g e r s e q u a t i o n o ft h ef o r m ( u 。+ u u ，一u 。) 。+ s ( t ) u 、。= 0 t w o n e ws o l i t o n l i k es o l u t i o n s a r e f o u n d b y t h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o da n d c o m p u t e r s y m b o l i cs y s t e m s ( m a p l e ，m a t l a b ) ，m a n ye x a c tp e r i o d i cs o l u t i o n s o fn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n sc a nb eo b t a i n e da n dt h e s es o l u t i o n s c a nd e g e n e r a t e s o l i t a r y w a v es o l u t i o n s ，s h o c kw a v e s o l u t i o n s ， t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o ns o l u t i o n s w em o d i f i e dt h i sm e t h o d ： o b t a i na n i d e n t i t yt r a n s f o r m a t i o n ，e x t e n dt h es o l u t i o n sf r o m s o l e f u n c t i o nt od o u b l e - f u n c t i o nf o r m ，p o i n to u ts o m ea n a t z s a r er e d u n d a n t k d ve q u a t i o na n di t o5 - o r d e rm k d v e q u a t i o na r e i l l u s t r a t e db yo u rm e t h o d u s i n g t h ev a r i a b l e s e p a r a t i o na p p r o a c h ，w e s t u d y an e w ( 2 + 1 ) 一d e m e n s i o n a l n p d e s e q u a t i o n s o m es p e c i a l c o h e r e n t s t r u c t u r e so ft h e q u a n t i t y i n c l u d et h ed r o m a i n s o l u t i o n s ， m u l t i l u m ps o l u t i o n s ，m u l t i r i n gs o l u t i o n sa r ed i s c u s s e d 浙江大学硕士论文 第一章引言 上世纪6 0 年代中期以来，非线性科学的研究有了惊人的进展并且越来越 引起人们的广泛重视。孤立子理论是非线性科学中的一个重要研究分支，究 其原因是孤子现象无所不在。从天上涡旋星系的密度波、海上的冲击波、等离 子体( p l a s m a ) 、分子系统、生物系统、光纤中光的传播、激光传播、非线性 传输线、超流氦一3 、超导j o s e p h s o n 结、磁学、结构相变、液晶、流体力学 以及基本粒子( e l e m e n t a r yp a r t i c l e ) 等，都与孤立子有关。孤立子理论自 1 9 6 5 年由z a b u s k y 和k r u s k a l 将他们发现的孤立波命名为孤立子( s 0 1 i t o n ， 简称孤子) 以后，得到了迅猛的发展。其发展大致分为三个阶段。 第一阶段，主要是在十九世纪。最早讨论孤立子问题的是英国科学家、 造船工程师j o h n s c o t tr u s s e l l ”i ，他于1 8 4 4 年9 月在英国科学促进协会 第1 4 次会议上作了论波动的报告。报告中讲述了1 8 3 4 年8 月，他在运 河里发现了一个波形不变的单个凸起的水团，这个水团运动一二英里之后在 河流拐弯处消失了。他以物理学家的敏锐注意到这个现象绝非一般水波，因 为在一般情况下，人们所观察到的水波总是由一串具有周期特点的波列组成 的，数学上可由一个波动方程描述，其解是周期性的波列。r u s s e l l 把这种 始终保持在水面上，向前平移的孤立水峰叫做“孤立波”( s o l i t a r yw a v e ) 。 r u s s e l l 认识到孤立波是具关键性质的新现象，对当时的数学家未能从流体 力学运动方程出发预言这种现象提出了意见，他请求当时的数学家至少在事 后能给现象以理论证明。但遗憾的是，由于受当时科学水平的限制，在他有 生之年( 1 8 8 2 年逝世) ，还无法从理论上对r u s s e l l 在1 8 3 4 年观察到的孤立 波现象给以圆满的解释。1 8 9 5 年，即6 0 年之后，在瑞典a m s t e r d a m 大学数 浙江大学硕士论文 学教授k o r t e w e g 指导下，他的学生d ev r ie s 。j 写了一篇博士论文，给出了 描述这种现象的运动方程( k d v 方程) ，解释了r u s s e l l 的浅水波。与此同时 在1 8 7 6 一1 8 8 2 年发现了b i c k l u n d 变换，成为后来发展孤立子理论的重要基 础。 第二阶段大致可划在1 9 5 5 一1 9 7 5 年。1 9 5 5 年，f e r m i p a s t a ，u 1 a m 1 ( f p u ) 用计算机进行了一维非线性晶格( 1 a t t ic e ) 在各个振动模之间的实 验研究，发现在时间足够长以后，能量似乎又回到了开始的分布。这与经典 的理论是背道而驰的，即：任何微弱的非线性作用，可导致系统由非平衡状 态向平衡状态过渡。由于f p u 问题是在频域内考察的，因此未能发现孤波解。 后来，t o d a 研究了这种模式的非线性振动，得到了孤波解，从而表明了在流 体力学以外的物理领域也出现孤立波，同时也使f p t 问题得到了正确的解答， 从而激发起人们对孤立波的研究兴趣。1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e ”将 s i a e g o r d a n 方程用于基本粒子研究：1 9 6 5 年，z a b u s k y 和k r u s k a l 把k d v 方程用于等离子体波的研究并用孤立子( s o l jt o n ) 来表示孤立波的粒子行 为；19 6 7 年g a r d n e r ，6 r e e n e ，k r u s k a l 和m iu r a “1 ( g g k m ) 发明了求解k d v 方程的逆散射方法，同年，m c c a l l 和h a h m 作出了激光自感应透明的孤子实 验：1 9 7 3 年，s c o t t ，c h u ，m c l a u g h l i n 1 发表综述文章，在电子、光学界普 及了孤子知识；同年h a s e g a w a 和t a p p e r t 预言光纤孤子的存在；1 9 7 5 年， k r u m h a n s l 和s c h i e f f e r 开始研究孤波的统计力学。 第三个阶段( 1 9 7 3 一) ，把孤子概念及理论广泛应用于物理学、生物学、 天文学等各个领域。1 9 8 0 年非线性效应专刊p h y s i c 8d 问世，同时，开展了 高维孤子，离散孤子和光纤中孤子的研究。 浙江大学硕士论文 6 孤立子理论与数学的许多分支都有关系，经典分析和泛函分析，李群李 代数，近代微分几何，拓扑学，动力系统以及计算数学都对孤立子的研究有 重要作用。在数学领域内，孤立予理论提供了一个新的求解非线性偏微分方 程的途径，发现有这么一类方程，他们的某一特解都具有孤立予的特性，我 们称这类方程为孤子方程，他们的孤波解称为孤立子解。然而确切地说，虽 然孤立子一词在广泛的范围内被引用，但还没有一个确切的定义，因为它还 在发展中，给它下严格的定义比较困难，且为时过早。比较恰当的做法是把 如下三点作为孤立子的工作定义，即： ( 1 ) 孤立子( 孤波) 是波动问题中的一种能量有限局域解 ( 2 ) 能在空问给定区域稳定存在 ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 孤立子可分为拓扑性孤立子和非拓扑性孤立子。根据其形状，又有扭状 ( k i n k ) 孤立予( 如s i n e g o r d o n 方程) ，包络( e n v e l o p ) 孤立予( 非线 性s c h r 5 d in g e r 方程) ，脉冲状或钟状( 如k d v 方程) 孤立子，正孤立子 反孤立子( a n t i s 0 1 i t o n ) ，呼吸子( b r e a t h e r ) ，环孤立子，似瞬子以及它 们的叠加形成的形形色色的孤立子。其他如d s 方程，k p 方程，n n v 方程， i i r o t a 方程，b e n j a m i n o n o 方程都有形式不同的孤立子解。 求解孤子方程的方法有很多种，有些已经成为经典的方法。比如：反散射 ( i s t ) 方法，李变换群方法，d a r b o u x 变换方法，畸c k l u n d 变换方法，双线 性( h i r o t a ) 方法，w t c 方法，齐次平衡方法( h b 方法) 等等，这些方法 并不是孤立的，而是相互渗透，相互作用的。同时由于计算机符号运算软件 ( m a t l a b ，m a t h e m a t i c a ，m a p le 等) 的不断完善和各种专业软件包 浙江大学硕士论文 ( l ie ，d e s o l v ，m a c s y m a ，a t f m ) 的发展，使这些方法得到了更好的推广。 本论文针对几个非线性发展方程，做了以下工作： ( 1 ) 利用截断的w t c 方法讨论了如下形式的( 2 + 1 ) 维推广的 b u r g e r s 方程( u 。+ u t l 。一u x x ) 。+ s ( t ) u y y = 0 。我们得到了此方程的 一个自b f i c k lu n d 变换，并且构造了该方程两个新的类孤立了 ( 2 ) 利用j a c o b i 椭圆函数表示法和数学计算软件( m a p le ，m a t l a b 等) ，可以得到一类常系数非线性发展方程的双周期解，这些解 能退化成孤立子解，冲击波解，三角函数解。我们对此方法做了 三项改进：作了一个恒等变换，从而得到方程新的解；把解 从单函数形式扩展到双函数形式，从而能得到新的解或结合第 一项又能得到新的解；指出了一些式子是多余的，即可以避免 重复汁算。利用我们改进的方法，求解了k d v 方程和t t 0 5 阶m k d v 方程。 ( 3 ) 利用变量分离的方法，求解了一个新的( 2 + 1 ) 维n p d e s 方程， 作为例子i 给出了定量( q u a n t i t y ) 的几种局域相干结构。选择 特殊的值，这些局域结构可以是d r o m i o n 解，多l u m p 解，环 ( r i n g ) 孤子解等等。 浙江大学硕士论文 第二章( 2 + 1 ) 维推广的b u r g e r s 方程的一类精确解 2 1w t c 方法的介绍 w t c 方法是1 9 8 3 年，w e is s ，t a b o r 和c a r n e y a l e “把常微分方程的 p a i l 3 】e v e 判别方法推广到求解非线性偏微分方程的一种方法。w t c 方法将 方程的解按奇异流形展成l a u r e n t 级数，这就使内涵变得非常丰富。我们知 道，一个复变量的解析函数与多个复变量的解析函数的主要差别是：一般而 言，多复交量的解析函数的奇异点不是孤立的，如果f ( z l ，- ，z 。) 是1 3 个复变量 的解析函数，f 的奇异点将沿着2 n 一2 维流形发生，这种流形的形式为 其中m 是该流形邻域内的( 2 i ，t ，z 。) 的解析函数。 我们称已给的非线性偏微分方程( n p d e ) 有p a i n l eve 性质，如果n p d e 的解在非特征的流动奇异流形的邻域内是单值确定的。明确的说：如果奇异 点的流形由( 2 1 1 ) 确定，u ( z l 一，z 。) 是n p d e 的解，那么我们要求 u ( z 一，z 。) = m 3 u 扣 其中m = m ( 2 【，一，z 。) ，u = u i ( 2 l ，一，z 。) ，u o 0 是流形( 2 1 1 ) 邻域内( 2 【，一，z 。) 的 解析函数，要求( 2 1 1 ) 是非特征的，是为了保证展式( 2 1 2 ) 在 c a u c h y - k o w a l e v s k y 定理意义下唯一确定。将( 2 1 2 ) 代入n p d e ，确定a 可 能的值和u ，( j = 0 , 1 ) 之间的递推关系。当预料的n p d e 的解的形式( 2 1 2 ) 是 正确的，则n p d e 就具p a i n l e v e 性质。 为了便于在计算机上运算，在研究一大类n p d e 时，可对( 2 1 ，2 ) 式进行 浙江大学硕士论文 截断( t r u n c a t e ) ，即表示成如下形式 一u 十 ( 2 1 3 ) 中的j 可以由主项平衡来确定。利用w t c 方法不仅能用于判定系 统的可积性，还可以进一步用于研究l a x 对和b r i c k lu n d 变换等等。这方面的 文献数不胜数”。”。 2 2 求解( 2 + 1 ) 维推广的b u r g e r s 方程 b u r g e r s 方程是应用科学中出现的重要的非线性发展方程之一，它可描述 粘性介质中的声波，有限电导的磁流波( m a g n e t o h y d r o d y n a m i cw e i v e s ) ，充 满流体的粘弹性管中的波，车辆流( t r a f f i c f l o w ) 冲击波等等。b u r g e r s 方程有各种形式，比方说： u t + t l u 。+ a - u h = 0 在c o le h o p f 变换下可化成了线性热传导方程”。对以下形式的b u r g e r s 方 程 u t + u u 。+ a ( t ) - u 硪= 0 只有在a ( t ) 是常数时才能找到该方程的b f i c k l u n d 变换。d o y le 和 i e n g le f ie ld 给出了a ( t ) = e “或a ( t ) = e a t 时的相似解和无穷小不变变换“。 w o o p y o | l o n g 给出了如下b u r g e r s 方程的一个b r i c k lu n d 变换和类孤立子解”“， u t + b ( t ) u u 。+ a ( t ) u 。= 0 ( 2 2 3 ) o uc h a n g z h e n g 用m a c s y m a 软件包给出了如下更一般的b u r g e r s 方程的李群 分类”1 3 u + b ( x ，t ) u u 。+ a ( x ，t ) u 。= 0 。 ( 2 2 4 ) 浙江大学硕士论文 对于( 2 + 1 ) 维b u r g e r s 方程 ( u i + u u 。一l l x x ) 。+ u w = 0 一类单孤立子解”3 和b a c k l u n d 变换”已给出。对于更一般的( 2 + 1 ) 维 b u r g e r s 方程：( u + u u 。一u ) 。+ s ( t ) u ”= 0 给出了李群分析“。接下来，我们用截断的w t c 方法给出方程( 2 2 6 ) 的自b j c k l u n d 变换，进而构造此方程的两个新的类孤立子解。由2 1 小节 可以假设有如下形式的解 u ( x y t ) = 些垒塑生未笔毒掣 ( 2 2 7 ) 这里用到了主项平衡，得到( 2 t 3 ) 中j = 1 。利用m a p l e 程序，把( 2 2 7 ) 代入方程( 2 2 ) ，令m 前面的系数为零，即可得到p a i n l e v e - b i c k l u n d ( p b ) 方程组： 小_ 4 出- j 由_ 1 小o ： 3 u 弑+ 6 u o 槟= 0 4 u o u o 。m 。+ 2 u o m t m ：+ 2 u o u l m ：一6 u o 。m ： + 2 s ( t ) u o m ：一u ；十。一6 u o 。= 0 u ：。+ u o u o 烈一u o 。由t u o t x 一2 u l u o 。巾。+ 3 u o 糕巾。 一2 u o u l 。m 。一2 s ( t ) u o y 十y u o u i 巾。+ 3 u o 。十。+ u o 巾m 。 一s ( t ) u o 耷h u o 十“= 0 u l u o 糕一u o 飕+ s ( t ) u o y y + 2 u 。x 巾l x + d o u l 棘+ u o 饥= 0 ( u l t + u l u j 。一u i 硪) 。+ s ( t ) u l y y = 0 ( 2 2 1 1 。) ( 2 2 1 2 ) 方程组( 2 2 7 ) 一( 2 2 1 2 ) 构成了一个自b a c k l u n d 变换。下面我们给出方 程新的两个类孤立子解。由( 2 2 8 ) 可得 u o = 七十。 或 u o = 0 ( 略去) 再代加六。，可得：旷鲁一s c t ，2 一鲁 ) ) 坞 h 2 2 2 2 ( ( 浙江大学硕士论文 再代入( 2 2 1 0 ) ，( 2 2 ，l1 ) 得 士： 曲一： 刚，降媳驴z 。 - o 等( 蚋：飞w 岛 + 2 m 。m ，( 一2 m 。+ 。+ m 。m 。4 ) ) = o 现在我们令m = 1 + e ”7 + “ ( 2 2 1 6 ) 可知( 2 2 1 7 ) 满足( 2 2 1 5 ) ，( 2 + 2 1 6 ) ，再要求( 2 2 1 4 ) 满足( 2 2 1 2 ) 即有 ( 书 + ( 斜= 。 解得f ( t ) = 击或f = c ， ( c ，c 。，c ，为常数) 。从而我们得到了( 2 + 1 ) 维推广的b u r g e r s 方程的两个类孤立子解 啦，t ，- c 2 。t a l l nt ( x + g ( t ) y + h ( t ) ) 一半 一竺堑壹掣婴 u ( x ，t ) = 一c ，t a n n 巴( c ，x + s ( t ) ，+ n ( t ) ) 一s ( t ) 9 2 ( t ) c ，一- ! 丛生2 ：上堕 接下来，我们给出( 2 2 1 9 ) 的7 幅图象：c 2 = 2 5 ，c i = l ，s ( t ) = t ，g ( t ) ：t + l ，h ( t ) ：一t 浙江大学硕士论文 l 1 2 t = 0 5 t = l 浙江大学硕士论文 t = 2 t = 3 1 = 4 1 3 浙江大学硕士论文 0 4 浙江大学硕士论文 第三章 常系数非线性发展方程的一类行波解 3 1 j a c o b i 椭圆函数表示法的介绍及改进 由于计算机符号运算( m a p l e ，m a t l a b ，m a t h e m a t i c a 等) 的发展，使得 求解非线性发展发展方程的精确解，特别是孤子解，冲击波解，i 角函数解 变得更容易和有效。因为这些计算机程序和软件包( a t f m ，d e s 0 1 v ，l ie 等) 允许我们进行复杂而且烦人的代数运算。各种简单有效的方法已经提出，比 方说齐次平衡法1 3 6 3 7 ， t a n h 函数法”“，这里我们先介绍一下j a c o b i 椭圆 函数表示法。二”：，再对这种方法作些改进。 设给定一个非线性发展方程：p ( u ，u 、，u 。，u 。，u 。) ：0( 3 1 1 ) 这里p 是其变元的多项式，并且含有非线性项。对( 3 1 1 ) 作如下的行波约 化u ( x ，t ) = u ( ) ，= k ( x c t ) 得到一个非线性常微分方程p l ( u ，u ，u 8 ，) ：0 。 现在我们设( 3 1 3 ) 的解为如下形式u ( ) ：na ，s n ( ：j 1 2 ) ( 3 ，l ，3 ) ( 3 1 4 ) 其中s n ( 吲m ) 是j a c o b i 椭圆正弦函数，而且这里的n 可由齐次平衡原则来确定 即要求线性最高导数项和非线性最高项平衡。考虑到j _ a c o b i 椭圆正弦函数 s n ( q m ) ，t l a c o b i 椭圆余弦函数c n ( 乞l m ) ，第三类i a c o b i 椭圆函数d n ( 哥m ) 有如 下关系 c n 2 = 1 - - s 1 1 2 ， d n 2 = 】一m 2 s n 2 m ( o ，1 ) ，( 3 1 j ) 姜s n = c n ，“，未c = 一s n d n ，未d i l = - m 2 s n - c n ( 3 1 6 ) 把( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 代入到方程( 3 1 3 ) 可得到一个关于 浙江大学硕士论文 s n ，c n ，d n 的方程，令其线性无关项的系数为零，得到一个关于a j , k ，c 的超定方 程组。最后利用m a p l e 等数学软件求解此超定方程组，就得到非线性发展方程的一个关于 s n ( l m ) 的多项式解。而且我们知道 当m 专t 时有s h e 斗t a n h 即可得到方程的一种行波解u ( o = a 。t a n h ( 3 i ，7 ) ( 3 1 8 ) 由于j a c o b i 椭圆函数是很丰富的，所以我们在( 3 1 4 ) 里可以取不同的 j a c o b i 椭圆函数c n ( l m ) ，d n ( 引m ) ，c s ( l m ) ，再利用计算机进行复杂冗长的计 n n 算，从而可以得到新的解。比方说由u ( o = a ，c r l l 得到孤子解u ( o = a 。s e c h 乞 j = 0j = o 等等。利用d n ( k d m ) = c n ( , f m k c i m 一1 ) ，得到新的周期解等等。 我们作如下改进：引入n s = 士s n c , ，c s = 哗s n c ，d s = 訾s n c ，i - j ，把( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 改写成 f 堕1 2 ：。 lm ( 书2 ，“哎陶搿( 封叫叫， ， 是c 对( 半) ， 要( h s ) ： q l ( 爿( 未( m 一( 堕m ) ( i 喵，此ll、 注意到( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) 在形式上和( 3 1 9 ) ，( 3 1 1 0 ) 是一样的，即 我们作如下的替代 s n j 堕，c n 一堕，d 必斗i c s mm 则可得到新的双周期解。比方说我们已经得到方程的解是 ( 3 1 1 1 ) 口 u ( o = a s r l ，那么由 浙江大学硕士论文 ( 3 1 1 1 ) 我们能得到方程有如此形式的解u ( ) 2 言鲁n s l 。这是我们所作的第一项改 进3 。 我们所做的第二项改进是把解的假设从单函数形式扩展到双函数形式 4 。，即把( 3 1 4 ) 改写成如下形式 u ( ) ；窆s n 川( a s n + b i c n ) + a 。 经过计算，则能得到新的双周期解和相应的孤波解，再考虑到 d n ( k l m ) = c n ( _ k | m 一1 ) ，诉_ s n ( k 引m ) = s n ( _ k 卜n 一) ，则如下形式的假设是多 余的 u ( ) ：杰s n 川如s n + b ，d n ) + a 。 当然利用( 3 1 1 1 ) 的替代变换，由( 3 1 1 2 ) 我们得到如下形式的解 吣卜圭i ：。n s j ( a - - - j j 毗+ 等吣 + a o 。 同样可以令m j l 得到相应的退化的行波解。 最后，引入n c 2 壶，咣2 壶，s c = 盖，戏= 嚣，在文献【4 8 】指出可令方程有 如下形式的解 但是我们如作以下替代，则显然知道( 3 1 1 6 ) 是多余的，因为 s c _ i n d ，n c 一i m s d ，d e 5jm c 北 卧 舢 办 曲 喊 以 b b 叱 l 译l f m 。【，厶枷 。f厶：豆 浙江大学硕士论文 这是我们所做的第三项结果。从我们所做的三项结果可以看出只有假设式 ( 3 1 12 ) ，( 3 1 15 ) 是有效的，其他的均能利用变换来得到，即可以改进 文献 4 2 ，4 3 ，4 7 ，4 8 等等的结果。 3 2k d v 方程和i t 0 5 阶m k d v 方程 利用这里改进的方法和计算机程序，我们很容易得到许多非线性发展方 程的单孤子解，三角函数行波解，冲击波解等等，比方说，这种方法适合于 k d v 方程，m k d v 方程，k 1e i n g o r d o n 方程，耦合b o u s s jf i e s q 方程，k a w a h a r a 方程，i t 0 5 阶m k d v 方程，i t 0 7 阶m k d v 方程，h i r o t a s a t s u m a 方程等等。 下面我们给出2 个简单的例子因为计算式子冗长，我们这里只给出方程解的 结果，具体方法可看文献 4 2 。4 3 。 例l ： k d v 方程：u t + u u 。+ b u 黜= 0 由s f i 一方法，可给出双周期解 u = c + 4 ( 1 + m 2 ) b k 2 1 2 m 2 b k 2 s 1 1 2 = c + 4 ( t 一2 m 2 ) b k 2 + 1 2 m 2 b k 2 c n 2 让m 斗1 ，则( 3 2 2 ) 退化成孤立予解 u = c + 8 b k 2 1 2 b k 2 t a n h 2 = c 一4 b k 2 + 1 2 b k 2s e t h 2 由变换( 3 1 1 1 ) 可以得到 u = c + 4 ( 1 + m 2 ) b k 2 1 2 b k 2 f i 9 2 = c + 4 ( 1 2 m 2 ) b k 2 + 1 2 b k 2 d s 2 让1 1 1 1 ，则( 3 2 4 ) 退化成 u = c + 8 b k 2 1 2 b k 2 c o t h 2 = c 一4 b k 2 1 2 b k 2 c s c h 2 下面我们给出图象 浙江大学硕士论文 1 9 ( 3 2 2 ) 在k cb l 。m = o5 情况时 ( 3 2 3 ) k = c = b = 1 情况时 ( 3 2 4 ) 在k = c = b = 1 ，m = 0 5 情况时 1 9 浙i i 大学硕士论文 例2 ： r t 0 5 阶i i i k d v 方程 u 。+ ( 6 u 5 一t o ( u ：u x x + u u ：) + u 一) 。= 0 我们给出几类行波解 u = k m s n k ( x k 4 n + 4 m 2 + m 4 ) t i l ( 3 2 5 ) k = c = b = 1 情况时 u = i k m c n k ( x k 4 ( 1 6 m 2 + 6 m 4 ) t ) 】 舟 k ( x - k 4 c l - m 2 + 扣，卜恤划c 1 - m 2 + 却， ) 一外卜割捌c n 卜攀= 击。 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 由变换( 3 i 1 1 ) ，从( 3 2 7 ) 一( 3 2 9 ) ，我们可以得到新的双周期解 u = k n s k ( x k 4 ( 1 + 4 m 2 + m 4 ) t ) 】 u = k d s k ( x k 4 ( 1 6 m 2 + 6 m 4 ) t ) 】 u = 薹 n s k c x k 4 c l _ m 2 + 3 m 4 ，t ， a s t c x k 4 c l - m 2 + 吾m 4 ”， ( 3 2 11 ) ( 3 2 12 ) ( 3 2 13 ) 令m - - 0 1 ，可以得到相应的冲击波解，三角函数行波解，奇异行波解： 2 0 2 浙江大学硕士论文 u = k t a n h k ( x 一6 k 4 t ) u = + i - k s e c h k ( x k 4 t ) 】 u = k t a n h 。c x 一；t 4 t ， + i s e c h k c x 一昙k 4 t ， u = k c o t h k ( x 一6 k 4 t ) 】 u = k c s c h k ( x k 4 t ) 】 u = k c o t h k c x 一詈t 4 t ， c s c n k c x 一；k 4 t ， 下面我们给出( 3 2 1 4 ) ，( 3 2 1 7 ) ，( 3 2 19 ) 的图象 ( 3 2 1 4 ) k = 1 情况时 ( 3 2 1 7 ) k = 1 情况时 2 ( 3 2 1 4 ) ( 3 2 15 ) ( 3 2 17 ) ( 3 2 1 8 ) 浙江大学硕士论文 i x l 0 5 1 0 ( 3 2 。1 9 ) k = 1 情况时 利用我们改进的j a c o b i 椭圆函数表示法，给出了一火类行波解，包括 双周期解，孤立于解，冲击波解，三角函数解等等，孤立子解的物理意义对 我们来说是很清楚的，对于一些三角函数解，我们可以知道，对于在某个时 刻t = t 。，可以使得解在某x 。点爆破( b 】o wu p ) 。现在这些解的所谓的“热点 ( h o ts p o ts ) ”或“爆破”已经引起了人们的普遍重视。 浙江大学硕士论文 第四章新的( 2 + 1 ) 维n p d e s 的局域相干结构 4 1局域相干结构的介绍 孤立子具有复杂的数学结构，随着对( 1 + 1 ) 非线性物理模型的孤子结构的研究深入， 各种类孤子结构的研究引起了人们的兴趣，由于b o i t i ，l e o n ，m a r t i n s - 和p e m p i n e l l i 的 开拓行的工作“”5 ，在( 2 + 1 ) 维，( 3 + 1 ) 维非线性物理模型中，d r o m i o n 的局域孤子 解的研究取的了很大的成功”“：。所谓d r o m i o n 局域解就是在各方向上都指数衰减的孤子 解。通常d r o m i o n 解由两个及以上的非平行直线隐形孤子形成，如n n v 方程，它们的解由 两个垂直的隐形孤子所形成，而k p 方程，d r o m i o n 解则由两个非垂直的隐形孤子所形成。 而寻找这些局域相干结构的方法中比较有效的是分离变量方法，利用这种方法能得出多 d r o m i o n 解，多l u m p 解，振动型d r o m i o n 解，环孤子解，运动和静止呼吸子解，似瞬子解 等等。 4 2 定量( q u a n t i t y ) 局域结构的几个实例 在这小节，我们讨论如下新的( 2 + 1 ) 维n p d e s 方程组 i - u t + 1 1 一u w = 0 i - v t + v 。一v w = 0 ( 4 2 1 ) w ，：u 2 + a i v l 2 l 这里的u ( x ，y ，t ) ，v ( x ，y ，t ) 是复函数而w ( x ，y ，t ) 是实函数。这个方程由m a c c a r i 得到3 。为 了利用变量分离的方法，我们考虑如下形式的b f i c k i u n d 变换 u - g f i ，v = 擎，w = 2 0 n f ) 。+ w o ( x ，1 ) ， ( 4 2 2 ) 这里g 。g ，是复函数，f 是实函数，显然u = v = 0 ，w = w 。( x ，t ) 是方程的一个种子解。为了 得到新的解，我们再取 f = a l f ( x ，t ) + a 2 0 ( y ，t ) + a 3 f ( x ，t ) g ( y ，t ) ( 4 23 ) 一 塑坚查兰堡主丝苎 一2 4 g f = p i ( x ，t ) q 1 ( y ，t ) e x p ( i - ( r l ( x ，t ) + s 。( y ，t ) ) ) 9 2 = p 2 ( x ，t ) q 2 ( y ，t ) e x p ( i ( r 2 ( x ，t ) + s 2 ( y ，t ) ) ) 则把( 4 2 3 ) 一( 4 2 4 ) 代2 , n ( 4 2 1 ) 的第3 式，我们可得 2 ( f x f v 一f ) = p 1 2 q ? + a 巧q ： 即有 2 a 。a ：f x g ，= p 1 2 q ；+ a p ；q ： 则我们可以取 e = b i c i ( t ) 打磊夏，q ( 424 ) ( 4 2 5 ) ( 4 26 ) 这里要求b - + a b ：= 1 。再利用上面所得的式子代入到( 42 1 ) 的第一式，我们可以得到 实部：一2 f ：k + 4 r ；2r r 2 。+ r l t + s l ，一w 。) ：o ( 4 2 7 ) 觑： 2 ( a l + a 纠- r 卜z 瞩小1 2 c a 2 + a 。f ，一r 击小= 。z ，s ， 计算( 4 27 ) ，( 4 28 ) 的m a t h e m a t i c a 程序设计和结果在本小节附录给出。考虑到 f , r - 仅仅是x ，t 的函数，g ，s 。仅仅是y ，t 的函数，所以我们可以取如下特殊情形： s i = b ( t ) 4 - s ( y ) 警氐- r t t - w o = b t ( t ) ：剐 f t + 2 f x r l 。= ( a l c 3 ( t ) 十a 2 c 4 ( t ) ) f + ( a l c 5 ( t ) + a 3 c 。( t ) ) f 2 g t = ( a l c 3 ( t ) + a 2 c 4 ( t ) ) g + ( a 3 c 3 ( t ) + a 2 c ，( t ) ) g 2 同样可以计算( 4 21 ) n s g - - 式，考虑到形式与第一式一样，这里略过。从而对于取适合 上面各式的值时，我们可以得到方程新的精确解。而且对与选取适合上面各式的值，我们 能得到定量( q u a n t i t y ) 丰富的局域相干结构。 q u a n = u j 2 州22 雨面2 a i a a 丽f x g y f 4 2 ，o ) 下面的图表给出了几个实例 塑坚盔兰堡主堡塞 一2 5 1 t w o s o l i t o f f f = 1 + e x p ( x 由，gd 帅p x p ( y ) + e x p ( 一y - 6 丑a l = a 2 = 1 ，a 3 = 0 , t = 0 2 s i n g l ed r o m i o n f = 1 + e x p ( 两，g - - - * l 0 e x p ( y ) ，a l = a 2 = a 3 = 1 ，t = 0 浙大学硕士论文 3 m u l t - l u m p f 1 + 百丽11 + ( x t 4 0 ) 2 1 + 再而哥 g=击+丽11+ ( 产1 0 ) 21 + ( 一1 0 ) 2 a 1 = a 2 = a 3 = l ，t = 0 1 十百丽 4 两个环( r i n g ) 的相干( t = 一3 ，t = 一1 ，t = 0 ，t ：1 ，t = 3 ) 2 6 浙i 1 _ 【= 大学硕士论文 2 x p ( 一学+ e 卜( 一学+ z g 悟s a l = a 2 = 1 ，8 3 = o ，t = 一3 2 7 浙江大学硕士论文 2 8 浙江大学硕士论文 4 2 节附录 1 计算( 427 ) ，( 42 8 ) 的m a t h e m a t i c a 程序 f = a 1 f x ，t 】4 - a 2 * g y ，t 】+ a 3 f r x ，t 】g y ，t 】 g i ：2 m a l a 2 ( d 【f i x ，t 】，x 】d g y ，t l ，y 】) ( 1 ，2 ) d 单【工( r 1 x ，t l + s 1 【y ，t 】) 】 a n s2 f a c t o r 【 s j 珥d 迅r 【工d f ( 9 1 f ) ，t 】+ d i d ( 皿f ) ，x 】，x 】一 ( 9 1 f ) t ( d - 2 ( 工o g 【f 1 ) ， x ，2 + | 0 x ，t 】) 】 2 计算结果如下 ：a l a 2 b l d 甩隅勺咀垃m 曰d l u mt ( - 4 a l 互i x , t l 玛t l o q 再t 2 d l o ht 一4 a 2 c 4 y , 訇 再均一1 ，o 再t j 2 d l o mt l 一 4 a 3 可x , t q 弘q 陆q o o 隅t 韬1 ，o 啊t 一4 i 乱f