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数学竞赛与文化 数学竞赛的问题多姿多彩，具有较强的挑战性。“无限风光在险峰”，在克服困难、迎接挑战的过程中，我们可以更深刻地感悟数学的本性及其文化内涵，领略数学文化的魅力，享受数学学习的乐趣。智慧的光华数学的显著特点是它的理性。数学具有可靠性和必然性，因为除了极少的原理或公理以外，数学的结论都需要经过严格的证明，其典范是欧几里得的几何原本。学习数学，可以使我们思考、讲话、做事更加有条有理、客观公正，可以引导我们独立思考，摆脱盲从，探求万事万物内在的本质、原理和普遍规律，敢于质疑和创新。数学思考同样需要细心的观察、敏锐的直觉、自由的想象、大胆的猜想。我国著名学者胡适说过：“大胆猜想，小心求证。”例1（1）求证：n2-n,n3-n（n为整数）分别能被2，3整除；（2）观察n5及n5-n（n为整数）的末位数字的特征，并证明你的结论；（3）由（1）（2）猜想一般情况下的结论。例2 有下列4个判断：（1） 有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；（2） 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；(3) 有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；(4) 有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。 上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例。例3 E,F,G,H分别是正方形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点，将每个中点与对边的两个端点连成线段，这些线段相交构成八边形KLMNPQRS，这个八边形有什么特点？它是正八边形吗？为什么？探究：如果正方形ABCD的边长为1，如何求八边形KLMNPQRS的周长和面积？方法的力量 如何判别好的方法：简单、明晰、自然，直达本质，具有一定普遍性。例4 李伯伯卖2只鸡、3只鸭、7只鹅共得300元； 李伯卖3只鸡、4只鸭、9只鹅共得400元。（1） 问：卖2只鸡、1只鸭、1只鹅共得多少元？（2） 能否求出卖1只鸡、1只鸭、1只鹅共得多少元？（3） 你还能提出什么进一步的问题？例5 现有a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成2n个正方形。用含n的代数式表示m；当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值。探究：更一般的问题是什么？例6 观察下列每行中勾股数组的规律： 62+82=102； 82+152=172；102+242=262； 122+352=372；（1）根据其中的规律，写出紧接着的一组等式.你能写出第8个等式吗?（2）当其中某等式的第1个勾股数是a时, 根据以上规律求出该等式中的第2、第3个勾股数。探究：如果突破以上规律，写出另一组勾股数，其中的最小数为偶数。由此探索形如x2-y2=n的整数解问题的由来和一般解法。例7 （1）已知a,b,c是正整数，a2+b3=c4,求c的最小值；（2）设A,n都是自然数,A=n2+15n+26是一个完全平方数，求n的值。例8 （1）如果多项式x2+px+24可以分解为(x+q)与(x+6)的乘积，求p,q的值；（2）如果多项式x2-(a+5)x+5a-1能分解成两个一次因式(x+b),(x+c)的乘积（b,c为整数），则a的值是多少？例9 方程2x2-xy- 3x+y+2008=0的正整数解（x ,y）共有多少对？对方法的理解 将解题的每一计算或证明步骤都搞清楚了，并不意味着就真正理解了解题的方法，特别是，要学会从直观、意义和来龙去脉等方面理解数学方法。好的方法反映了问题的本质，显得自然朴素。正确的推理计算保证了数学机体的健康，但仅有健康是不够的。例10 （1）在一条直线的两侧有两个给定的点（两点到直线的距离不等），在这条直线上找一点，使该点到给定两点的距离之差（的绝对值）最大。（2）河岸l同侧的两个居民小区A、B到河岸的距离分别为a米、b米 (即左图中所示AAa米，BBb米)，ABc米现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小（a） 在右图中画出绿化带的位置，并写出画图过程；(b) 求ACBD的最小值美的召唤 数学美在简洁、有序、对称、奇异。例11 勾股定理证明的欣赏；分形的欣赏。例12 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可以与或重合），分别过B,C,D作射线AP的垂线，垂足分别为E,F,G, 则BE+CF+DG的最大值为-，最小值为-。 例13 如图，在直角三角形ABC中,C=90,I是角平分线AD,BE的交点,连接DE。已知ABI的面积是12，则四边形ABDE的面积是多少？例14 （1）平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共可得多少对同旁内角？（2）如果是平面上n条直线呢？ 例15 (1)当abc,xyz时，下列代数式中最大的是（ ）。（A）ax+by+cz (B)ax+cy+bz (C)ay+bx+cz (D)az+bx+cy(2)比较(3)已知 例16 (1)是否存在有理数x，使得 (2)求和： 例17 是否存在不是菱形的四边形，使得该四边形的任意三个顶点都可以连成等腰三角形？应用的广泛水平线第1层第2层第3层第4层例18 小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第1层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第2层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120的线段，长度为其一半；第3层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层则树形图第10层的最高点到水平线的距离为（ ）（A） （B） （C） （D）2例19 1829年，法国盲人路易布莱尔发明了点字，用6个点（凸与不凸）构成的点阵中凸点的个数和位置表示不同的符号，形成了现代盲文。所有6点阵共可表示多少个不同的盲文符号？（没有任何凸点的不计数）例20 图示某三岔路口交通环岛的简化模型在某高峰 时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如 图 所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，的机动车辆数(假设单位时间内，在上述路段中，同一条圆弧路段上驶入与驶出的机动车辆数相等)，则x1，x2，x3的大小关系为 ( ) (A) x1x2x3 (B) x1x3x2 (C) x2x3x1 (D) x3x2x1例21（1）牛顿牛吃草问题 有一片牧场，草每天都匀速地生长（即每天增长的量相等）。如果其上放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草。设每头牛每天吃草的量是相等的。问：如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）数学模