（光学专业论文）激光短脉冲与二能级体系近共振相互作用的理论与数值研究.pdf

激光短脉冲与二能级体系近共振相互作用的 理论与数值研究 学位申请人：郭莹莹 导师姓名 ：余向阳副教授 专业名称：光学 摘要 本论文用光与物质相互作用的半经典理论方案，研究短激光脉冲与二能级 体系近共振相互作用的理论模型和数值计算方法，主要包括均匀展宽、稠密以及 微腔中的二能级体系。 首先在二能级、近共振、电偶极、旋转波和慢变振幅近似下，推导均匀展宽 体系的光学b l o c h 方程。在这个基础上，考虑局域场效应，引入近偶极一偶极相 互作用e a r - d i p o l e d i p o l e ，n d d ) ，得到稠密体系修正的光学b l o c h 方程。 用几种数值算法求解光学b l o c h 方程，并进行几种数值方法的误差分析。在 这基础上研究局域场中n d d 效应修正系数、基质折射率和基质吸收率对光与二 能级体系的相互作用性质的影响。 进一步，研究微腔中的二能级体系，推导光与微腔中近共振二能级体系的相 互作用的二维二阶m a x w e l l b l o c h ( m b ) 方程。由此，研究产生腔孤子的特定条 件。用分步傅立叶变换联合四阶龙格一库塔法计算二维二阶的m b 方程，用以研 究微腔中光与物质相互作用的动力学过程。分析有关计算结果可以看到i 微腔中 二能级体系的稠密程度影响微腔中场的分布，通过选取适当的参数可使微腔出现 腔孤子。其中微腔系统中的局域场导致的双稳态是腔孤子出现的关键。由于腔孤 子在信息处理与传输有重要的应用价值，本文最后就发展前景作了讨论。 关键词：短脉冲，- - 一“r j t 级体系，局域场，m b 方程，腔孤子 t h ei n t e r a c t i o no fs h o al a s e rp u l s ea n dt w o l e v e l r e s o n a n ts y s t e m ： - - - t h et h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a la n a l y s i s a u t h o r：g u oy i n g y i n g s u p e r v i s o r ：p r o f y u x y m a j o r ： o p t i c s a b s tr a c t t h et h e s i su s et h es e m i c l a s s i c a lt h e o r yo ft h ei n t e m c t i o no ft h el i g h ta n dm a t t e r t os t u d yt h ei n t e r a c t i o no ft h es h o r tl a s e rp u l s ea n dt h et w o l e v e ls y s t e m ，r e l a t e dt ot h e t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a lc a l c u l a t e ，i n c l u d i n gt h et h i na t o m i cs y s t e m ，t h e d e s ea t o m i cs y s t e ma n dt h ea t o m i cs y s t e m si nt h em i c m c a v i t i e s f i r s t ，w ed e r i v et h eo p t i c a l b l o c he q u a t i o nw i t ht h ea p p r o x i m a t i o no ft h e t w o l e v e l ，r e s o n a n c e ，e l e c t r i cd i p o l e ，r o t a t ew a v ea n ds l o ww a v e ，a n do nt h i sb a s i c ， c o n s i d e r i n gt h el o c a l f i e l de f f e c t w ei n t r o d u c et h en e a rd i p o l e - d i p o l ee f r c c ta n d d e r i v et h em o d i f i e db l o e he q u a t i o n w eu s en u m e r i c a lm e t h o d st oc a l c u l a t et h eb l o c he q u a t i o n sa n dt h e n ，w e a n a l y s et h ee r r o r so ft h em e t h o d s w es t u d yh o w t h el o c a lf i e l de f f e c t ，w h i c hi n c l u d e s t h en d de f f e c t ，m e d i u ma b s o r b a b i l i t ya n dm e d i u mr e f r a c t i o n ，a f f e c tt h es y s t e m f u r t h e r , w es t u d i e dt h et w o l e v e la t o m i cs y s t e mi nam i c r o c a v i t y w ed e r i v e t h em a x w e l l b l o c he q u a t i o nf o rt h et w o l e v e la t o m i cs y s t e mi nam i c m c a v i t y b a s e o nt h es t u d i e s ，w ec o n c l u d et h ec o n d i t i o n si nw h i c ht h et w o - l e v e la t o m i cs y s t e mi s a b l et og e n e r a t ea n ds u s t a i nc a v i t ys o l i t o n s ，t h ed y n a m i c a le q u a t i o n sw e r ei n t e g r a t e d 【i n u m e r i c a ll y u s i n g as p l i t s t e pm e t h o dw i t h p e r i o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o n sa n d r u n g e - k u t t aa l g o r i t h mi no u rs t u d i e s f r o mt h er e l a t e dn u m e r i c a lr e s u l t s ，i ti sf o u n d t h a tt h ed e n s e n e s sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h em i c m c a v i t yw i t ht h et w o l e v e la t o m i c s y s t e m w ec o n c l u d et h a th o wt h ep a r a m e t e r so ft h ec a v i t ya f f e c tt h ed y n a m i c a l b e h a v i o ra n dt h ea p p e a r a n c eo ft h ec a v i t ys o l i t o n s t h ek e yi st h ea p p e a r a n c eo ft h e b i s t a b i l i t i e si n d u c e db yt h el o c a lf i e l d t h ec a v i t ys o l i t o n sa r eb e n e f i tt ot h e i n f o r m a t i o np r o c e s sa n dt r a n s i t i o n w ep r e s e n tt h ef u t u r ew o r ko nt h i sw o r ka tl a s t c h a p t e n k e yw o r d s ：s h o r tp u l s e ，t w o - l e v e ls y s t e m ，l o c a lf i e l d ，m be q u a t i o n s ，c a v i t y s o l i t o n s 第一市光与物质相互作用的模型 第1 章光与物质相互作用的理论模型 1 _ 1 绪论 自激光短脉冲技术的发展和成熟以来，就一直被广泛地应用于物理、光电子、 化学和生物学等领域。光与物质相互作用的理论处理方法有：1 ) 经典理论，将 光场和物质系统都作经典处理，光场用经典的m a x w e l l 方程组描述，物质中运动 的电子用经典力学的振子描述；2 ) 半经典理论，光场用m a x w e l l 方程组描述， 物质体系用量子力学描述；3 ) 全量子理论，对光场以及物质体系都作量子化处 理；4 ) 速率方程理论，是e i n s t e i n 提出的一个简单的唯象理论。 本论文以短脉冲光与物质相互作用为主要研究内容，采用光与物质相互作用 的半经典理论，在处理的过程中用到了几个主要的近似：二能级、近共振、电偶 极、慢变振幅和旋转波近似 i ”。光学b l o c h 方程是光描述光与物质相互作用的 基本方程，研究光学瞬态过程、光脉冲传播、光学孤子等的重要量子光学现象的 基础。 本章中，我们首先推导了稀薄且均匀展宽的气体中的光学b l o c h 方程。在此 基础上，推导修正的b l o c h 方程，用以描述稠密的二能级体系以及嵌于线性固体 介质中的二能级体系。 1 2 稀薄气体中光与二能级相互作用的b l o c h 方程 考虑二能级体系与单色光场的相互作用，沿：方向传播的单色线偏振光，光 场表达式为 e o ) = 妻 豆( f 弦“+ “+ 豆4 9 弦7 “。“ ( 1 1 ) z 国是入射光的频率，k 是光场的波矢，光场为实振幅的情况下有e = e = e o 一。 由密度算符的狄拉克形式为 p ( ，) = i 甲( ，) ) ( 甲( f ) l ( 1 2 ) 它由态矢量完全确定。 笫一章光。l 物质相互作用的模型 薛定谔方程为 腩掣刮甲) 一疏掣= ( 甲f 很容易得到密度运动方程 ( 1 3 ) 俐= 一寺阻，矿】 九 、7 在二能级体系中，激发态为f 2 ) ，基念为f 1 ) ，那么二能级体系的波函数”为 j 甲( ，) ) = c ：1 2 ) + c i l )f i 5 ) h 在光场作用下体系的总哈密顿量1 ，其中包括体系哈密顿量峨与光与体系相 互作用的哈密顿量日， 肚耻 惫纠 s ， 其中， h ，= 矿c ，= z ：名| = 逻1 则，2 风+ 日，= z 毫箸j = 瓮2 。w 。2 1 c ， q ，h c o z - 为能级1 ，2 的本征能量。对于可见光，波氏远大于组成体系的 粒子大小，因而，在电子运动范围内，电场改变极小，可以看成由电子型中运动 的电偶极子在均匀场中运动，即是电偶极子近似l 。2 1 ， l = - ( e r ) 矿豆一2 e o k 。= ( k 。户= 一( e r ) ，：豆+ = 一2 ，2 e 。 f 1 8 ) e 为电子电量，为偶极予半径，心，是偶极子相互作用系数，使得 舭2j2 k 2 2 “ f 1 9 ) 二能级在光场的作用下，将一部分的粒子的能级激发到j 2 ) 态，假设单位体 笫一章光与物质相互作用的模型 积内，1 2 ) ，1 1 ) 态的激励速率分别为五：，五，写成矩阵的形式即为激发矩阵a a = r ( 1 1 0 ) 另一万曲，由于各种】划素造成能级的衰减，上f 能级原子衰减，导致原子的电偶 极矩的衰减，这个衰减会使辐射谱线有一定的线宽。另外粒子i a l 的弹性碰撞虽不 能引起能级衰减，但可以引起本征态的相位分布的混乱，引起相干性的衰减，这 种衰减过程通常称为“退相”。能级的衰减也写成衰减矩阵r ， r = 呤 考虑到泵浦以及衷减过程，密度矩阵的运动方程为 声= 人一争即一【印+ p r ( 1 1 2 ) 当光场为零时，得到定态时上能级粒子数与下能级粒子数之差为 肾碱) 2 去一砉 ( 1 1 3 ) 当考虑泵浦过程和衰减过程，并假定纵向弛豫速率为f = n = 1 五，横向弛豫速 率为r z2 y ：2 l h ，从式( 1 1 2 ) 得到 a ( f ) = 一( r 2 + i r a ：。) p ：。( f ) + k 。( f ) l ：o ) 一p ，( f ) 】 n 庙：( ，) = 一( 厂2 一i c a ：) p ：( ，) 一k ：( ，) l 吐：( f ) 一p l 。o ) 】 凡 岛：( f ) = 一2 2 p 2 2 ( f ) 一【o ) p l ：o ) 一k ：( f ) p ：( ，) 】 矗- ( f ) = 一一日- ( f ) + ；【- ( ，) n z ( f ) 一k ：o ) ，岛( ，) ( 1 1 4 ) 考虑慢变振幅近似，即光场在一个光学周期内的变化可以忽略不计i ，体系在光场 作用下按e “振荡，可以写成慢变项与高频项的乘积，有 p 2 i ( f ) = 历1 ( t ) e 1 “+ “ p 。0 ) = 芦：u 弦“一“ n 1 5 1 西：和声：分别为原子偶极矩的负频部分和正频部分的慢变振幅。在旋波近似的条 1j o 撼一帮光- ，物质相互作用的模型 件下，口处理光与二能级相互作用的时候，只考虑近共振工! j ! ，向怂峪 匹禺挑豫坝 将高频项去掉，( 1 1 4 ) 变为如下 掣= 一忆+ f ) 删一舡协m ( f ) 掣= l 融觥) 心驸鼬确) 】 掣“m 眦) 】一舡( f ) 钒f ) 一瓦( 0 1 ( 1 式中：一出，为二能级体系的共振失谐量，口z t 是二能级的上下能级差的频 将二能级体系与光场相互作用的运动变成简单的几何形式1 ，系统的运动 可以表示为一个虚构矢量运动。描述这个虚构的矢量运动的方程称为b l o c h 光学 方程，对b l o c h 矢量进行定义： “( f ) = 芦2 1 ( f ) + 芦i2 0 ) v ( ，) = 幔i ( f ) 一涵2 ( ，) w ( f ) ：段2 ( r ) 一n l ( ，) ( 1 1 7 ) 由( i 1 6 ) 以及( 1 1 7 ) 得到没有相位实振幅的b l o c h 光学方程 警一扣旷小川， 掣= v l ：o + a - u ( o + x , , e 0 ( t ) w ( f ) a w ( o ：一! ! 尘二坠一坐! - 墨! 坐2 ，v f f l ( 1 ，1 8 ) 西z 拉比频率n 代入式( 1 1 9 ) ，得到的二能级体系的光学b l o c h 方程 a u ( t ) ：一r ，“0 ) 一v ( f ) 掣：一r 2 v ( ，) + “( f ) + q ( f ) w ( f ) 掣“飞h 分心) 1 1 9 “分量反映与光场同相位的极化强度的实数部分，决定介质的色散，v 分量反映 0 一 肛百 第一章光与物质相互作用的模型 了与光场位相正交的极化强度的虚数部分，决定了介质的吸收，w 反映上下能级 粒子数之差。 1 3 二能级体系中的局域场效应 1 3 1 稠密的二能级体系 上述光学b l o c h 方程仅适合于稀薄气体介质，在这个条件下，光场对物质的 作用，一般认为是各原子独立与光脉冲相互作用，原子之间的相互作用可以忽 略。但是当气体原子的密度超过一定的限度，则须考虑在共振原子组成的介质中 存在的近邻偶极子与偶极子的相互作用，即是n d d 近似。- - 一“f h f , 级介质除了受到 宏观电磁场的作用外，还受到由于近邻偶极子相互作用引起的局域场的作用m 】。 对于稠密气体的二能级体系，驱动原子的电场为两部分贡献的叠加【4 5 j e ，= e + e ( 1 2 0 ) e 是在波长的立方区域里由于近偶极的极化强度而产生的原予问的内部作用 场，这内部场本身可以写成两个场的差叫川6 】 e ，= e 一e 。 ( 1 2 1 ) 邑。是在一个大小为d3 的空间区域里偶极矩的实际贡献，其实d 是一般的分子 间隔。e = 0 ，e 。是考虑从微观到宏观修正的抵消项。考虑n d d 局域场修正 情况下，电场强度m 8 1 为 e = e + ：l ( 1 2 2 ) 。 3 岛 p = 2 坼乒2 l ( 1 2 3 ) 是稠密二能级体系的粒子数。 在稠密二能级系统气相介质体系中，考虑n d d 引起的局域场效应， e l ：豆十_ 2 n 1 2 肫l ( 1 2 4 ) j s o 第一帝光j l 物质相王 作用的模型 令近偶极子相互作用的n d d 修正系数为专：型鳖眇】，值得注意是局域场修正 。 3 占壳 系数不仅仅取决于原子密度n ，更取决于原子跃迁矩阵元的大小。那么在实振 幅的情况下，得到局域场修正的b l o c h 方程为 _ o u ( t ) ：一“( f ) 一 + 和( ，) 】v ( ，) 掣：一l v ( f ) + + 知( ，) “( ，) + f 2 ( t ) w ( r ) u t 掣叫吨。咿v ( f ) ( 1 2 6 ) 比较r 1 2 5 1 式和( 1 2 6 ) 式，我们可以看得剑局域场修_ f 系数f 的作用是增加了两 个非线性项w v 和w r 的作用。f 越大，非线性作用越强。n d d 的修正系数会引起 物质的一系列变化。在下一章通过数值计算分析局域场修正系数引起的附加频率 移动导致物质丰富的非线性的变化。 1 , 3 2 固体材料的二能级系统 把二能缴原予体系放入固体介质巾，会产生宏观局域场效应，除了考虑上面 提到二能级原子近偶极子相互作用的影响外，还要考虑基底介质的对二能级原子 的影响叫1 ， j 。介质的极化变为 p = 硎，重? j + p 嚣 其中口为分子极化率， ( 1 2 6 ) 口= 等起 z ， 式( 1 2 6 1 的第一项为背景即基底材料的极化强度，其在局域场中是线性的；第二 项是来源于二能级原子的非线性极化强度。令 f ：! 型凼巳：盟三( 1 2 8 )7 3 3 式中，s 如是基质的相对介电常数。则在实振i 隔的情况下，得到的修正的光学 第一章光与物质相互作用的模型 b l o c h 方程为 o i u ：一( f 2 一，知b 一( + ，知卜 叫 芸= 一( r 2 + 如卜+ 一( + ，如囊+ ，q w 优 坐o t = f 1w 。一w h q v 一，q “+ f ，f ( m 2+v 2 ) 2 ( 1 2 9 ) 其中，是固体折射系数，是固体吸收系数。加入，以及z ，后，方程的非线性效 应更加明显。从式子也可以看出，影响二能级系统的失谐量。f ，以及，效应对体 系的作用，在下一章通过数值计算进行分析。 本章主要推导描述稀薄气体的光学b l o c h 方程，稠密气体的光学b l o c h 方程， 以及有基底介质的修正的光学b l o c h 方程，为下章的数值计算提供了理论基础。 在此基础上，下面我们建立其数值解法，计算局域场效应对二能级体系非线性的 影响。 参考文献 | 1 李福利，高等激光物理学，中国科学技术出版社，合肥( 1 9 9 2 ) 1 2 a l a n c ，j r o m e v m ，“n o n l i n e a ro p t i c s ”，a d d i s o n w e s l e y p u b l i s h i n gc o m p a n y ( 1 9 9 2 ) 1 3 】m o s c u l l y , m s z u b a i r y , q u a n t u mo p t i c s ，c a m b r i d g e ，u n i v e r s i t yp r e s s ，1 4 5 ( 1 9 9 7 ) i4 】b o w d e nc m ，d w o l i n gj p ，“n e a r - d i p o l e - d i p o l ee f f e c t si nd e n s em e d i a ：g e n e r a l i z e d m a x w e l l - b l o c he q u a t i o n s ”，p h y s r e v a4 7 ，1 2 4 7 - 1 2 5 i ( i 9 9 3 ) 【1 5 】c r e n s h a wm e ，“q u a s i a d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o nf o rad e n s ec o l l e c t i o no ft w o - i e v e a t o m s ”，p h y s r e v i a5 4 ，3 5 5 9 3 5 7 5 ( 1 9 9 6 ) 1 6 】 s t u a r th r ，h a l ld c o ，”e n h a n c e d d i p o l e d i p l e i n t e r a c t i o nb e t w e e ne l e m e n t a r y r a d i a t i o sn e a ras u r f a c e ”，p h y sr e v l e t t 8 0 ，5 6 6 3 5 6 6 5 ( i9 9 6 ) 1 7 】虞福春，郑春开，电动力学，北京大学大学出版社( 1 9 9 2 ) 【1 8 方俊鑫，殷之文，电介质物理学，科学出版社( 2 0 0 0 ) 1 9 w a n gn i n g j u n ，r a b i t s h n e a rd i p o l e d i p o l ee d d e c t si ne l e c t r o m a g n e t i c a l l yi n d u c e d t r a n s p a r e n c y ”，p h y s r e v a5 1 ，5 0 2 9 5 0 31 ( 1 9 9 5 ) 7 笫2 章光与物质干日互作用的数值汁算 第2 章光与物质相互作用的数值计算 2 1 引言 光学b l o c h 方程是一组常微分方程，在一般情况下，尤其是修正后的b l o c h 方程，如近偶极一偶极的近似，或者与波动方程耦合，都要依靠数值解法。常微 分方程的经典数值解法有e u l e r 法，h e u n 法，四阶r u n g e - - k u t t a ( r k 4 ) 法；另外 的还有修诈的四阶预测一校正法( p c 4 ) 。本章中将这四种解法与光学b l o c h 方程 的解析解进行比较，分析数值解法的误差以及可靠性。几种数值算法在合适的步 长下对光学b l o c h 方程的求解都可以收敛，并且保持算法具有的相应误差的阶 数。其中四阶预测一校正法具有精度高，速度快的优点。 通过用p c 4 的方法计算光脉冲在稠密的二能缴体系以及有基底介质的：_ ：_ 二能 级体系中传播。我们发现n d d 修正系数以及固体基质的吸收和折射会带米局域 场效应，并分析了局域场效应带来的影响非线性效应的加强以及非线性响应 的加快。另外，我们发现n d d 修正以及固体基质的系数对二能级的失谐量会产生 影响，使能级移动。 2 2 光学b l o c h 方程的解析解 对于方程( 1 1 9 ) ，恒定光场e ( o 为常数时，在几种特定的参数条件下，用 l a p l a c e 21 1 变换法，光学b l o c h 微分方程组可以得到解析解。这早选择四种常用 情况下的解析解 2 2 1 ，为了下面行文的方便，标志为i i v ，在初始条件为： 1 共振且忽略弛豫时间，即，厂1 = 0 ，r = 0 ，a = 0 ， u ( t ) = 0 v ( t ) = - s i n ( f f ) t ) w ( t ) = - e o s ( f ) t ) ( 2 1 ) 第2 章光与物质相互作用的数值汁算 i i 忽略弛豫时间，即，= 0 ，f i = 0 “( f ) = 竽s 一s ( “) 】 。( f ) ：一旦s i n ( s f ) 价等【l 一吣帅 式中，。：丽。 i i i 共振，即，= 0 ， “( f ) = 0 v ( ，) = s k - ( r 2 + q ) f 2c o s ( s ，) 一l 】+ ! ：【! ：j ：! ! ； 二塑e 一( r z + - i 2s i n ( s ，) 峥q ，e 4 r 2 + r , ) j 2 卜，+ 警s i n 小” 式中：s = 扛( 再丽， i v 强碰撞，即，互= 疋 式中s f q ：竖一。 f + q 2 “( f ) = 垒s 2 1 l - e - f c o s ( s f ) 一f 。ee , s i n ( s f ) w ) = 詈h o s ( 跏一1 鸬j - ；y e m s i n ( w ( r ) = g 。；l i - e - r tc o s ( s ，) 一了fe r s i n ( s r ) 一 2 + q 2 s = r 2 + 岔+ q 2 。 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 9 第2 章光，物质相互作用的数值k l - 算： 2 3 光学b l o c h 方程的数值解法 2 3 1 数值解法的基本原理1 2 3 e u l e r 法是最简单的有限差分法，误差是一阶，h e u n 法是e u l e r 法的改进， 也是最简单的预报一校正法，误差是二阶，r u n g e k u t t a 是最为常用的求解方法， 其中又以标准四阶r u n g e k u t t a 法最为常用。四阶r u n g e k u t t a 法由于其格式和 效率的限制；而且，r k 4 的刚度小，计算时需要较小的步长，因而需要大量计 算，数值计算时i l = i j 较睦。人们常常根据具体不同的数学物理方程，在标准格式的 基小上提出修正的方法邮】。这里，我们针对自己的问题，在文献叫1 的基础上， 建立一种适合计算光学b l o c h 微分方程的修正的p q 阶校正- 预报法( p c 4 ) ，该方法 是以e u l e r 法、h e u n 法为初始猜测，通过预报一校f 二步来实现数值求解。 对于如下形式常微分方程的初值问题， d 讲y = f ( f ，少) y ( t = 0 ) = y ( 0 1 ( 2 5 ) 介绍几种微分方程的基本原理】： f 1 1e u l e r 法的计算步骤为， 儿i = 儿+ 彬( ，乩) + 1 = t + h k = 0 , 1 n 一1 ( 2 6 ) 式中，h = r n ，为步长，欧拉法是一阶格式的。 f 2 1h e u n 法的计算步骤是以e u l e r 法作为预报，然后用梯形公式进行校f 以巴= y 。+ h f ( t 。，y 。) 预报格式 以：”：儿+ ! 【厂( “，儿) + 厂( 。y 矧) 校l f 格式 ( 2 7 ) 式中，p 为迭代次数，在步长选取适当的情况下，通常只需迭代两三次即可。 标准r k 4 法由合适的泰勒方法推导而来，其计算步骤如下， 乩+ 1 = y t + ( 一+ 2 + 2 l + a ) 6 ( 2 8 ) 第2 章光i j 物质相互作用的数值计算 式中 厶= f ( t + h 2 ，y + h ：2 ) 厶= f ( t + h 2 ，y 女+ h 2 ) a = f ( t k + 矗，y k + h 厶) ( 2 9 ) 对于标准r k 4 法，已有了多种修正的方法。这里，针对我们的问题与需要， 基于文献的基础上，建立了一种修正的四阶校正一预报法( p c 4 ) 。其计算步骤简述 如下：f 第一步，用h e u n 法和中点规则，得到初始预报所需的初始点。 第二步，用下面预报计算公式，计算预报点 _ ) ，：7 ，：= y 。一+ 鲁【3 ，( f 。一。，y 。一) + 9 ，( f 。，y 。) 】 以巴= y k - i + 昙【4 厂( 一。，n 一，) 一8 ，( f 。一，：，比一，：) + 1 0 f ( t k , y k ) 】 ( 2 1 0 ) 第三步，用下面校正计算公式，计算得到结果， y 。+ 刍4 1 5 f ( t , ，儿) + 8 厂( + ，：，以召，：) 一f ( t k + ，以窖) 肌+ ；扩( ，儿) + 4 ( k 。，以幺彩一f ( t k 。y 黝) 】 ( 2 1 1 ) 2 3 2 光学b l o e h 数值结果的分析 我们首先将解析解与数值方法的结果进行比较。假设入射到二能级体系是矩 形光脉冲，解析解【一i v 与数值解计算结果如图2 1 所示。从图中我们可以看出， 除e u l e r 法外，其余四种方法，其线型都与解析解重合，而e u l e r 解也能在较小 的误差范围内保持其线型，说明四种方法的计算结果是可靠的。计算参数如下： 光场的归一化面积均为3 - 2 z ，脉宽为5 0 扣。步长为0 o l 庐 第2 章光j 物质相互作用的数值 1 算 1o 。5 o o i o5 一榴 q 5 q o _ q 5 10 e u l e r 搿 i i r u | | _ 一 i v 。 个、i 、厂 0l o 2 03 04 05 0加2 d3 0 5 0 t i m e ( f s ) 圈2 1 光学b l o c h 方程解析解i i v 平| i 四种数值方法的计算结果 f i g 2 it h ea n a l y t i c a li - i vr e s u l t sf o rt h eo p t i c a le q u a t i o n sa n dt h ef o rn u m e r i c a lr e s u l t s 我们计算四种数值计算方法与解析解的绝对误差，如图2 2 。从图中，我们 i 叮以看出，四种算法的误差都显示出一个规则的变化，但都随着积分时间的增长 而增大，依然在误差的阶数量级内。e u l e r 法是步长一阶的，h e u n 法是步长二 阶的，r k 4 法和p c 4 法都是步长四阶的，与这些算法的误差理论分析的结果是 一致的【2 “。也就是说，r k 4 以及p c 4 ，步长变成原来的十分之一，误差变成原 来的万分之一，变小的i 嗝度远小于e u l e r 法以及h e u n 法。数值计算及理论分析 的结果显示这四种算法在求解光学b l o c h 方程时，是可以保证收敛以及结果的可 靠性。计算有参数如下：光场的归一化面积均为3 2 z ，脉宽为5 0 蠡，步氏为0 0 1 矗 吣 舶 邶加 舶 舶 第2 章光与物质相互作用的数值汁算 1 0 x 1 0 8 0 x 1 0 - 2 6o x l 酽 4o x l 0 2 2o x l 矿 0 0 2 0 x l 矿 1 6 x l 矿 1 2 x l o 七 8 0 x l 矿 4o x l 矿 f e u l e r 一h e u n 1 j i v j 1 ，：、? 篇遵，厂孥? 遴 r k 4 p c 4 ，o 厂 。黪腻? !广露、媳 ol o2 03 04 05 01 02 03 04 05 0 t i m e ( f s ) 图2 2w 分量四种数值解的绝对误著 f i g 2 2 t h ew sr e l a t i v ee r r o r sf o r t h ef o u rn u m e r i c a lr e s u l t s 8 q x l 矿 6 q x l 矿 4 m 1 矿 2 0 x 1 0 4 0 0 3 2 1 o _ 0 5 o5 0 0 1 0 0 0 l ( f s ) i n 26 稠密一能级体系对脉冲信号的响廊 f i g 2 6t h er e s p o n s eo f t h et w o l e v e ls y s t e r mw i t hd e n s em e d i u m 从这里我们推断，在稠密的二能级体系中，局域场效应使得系统的非线性 效应加深，响应时间加快，有利于光学器件的性能改良。但是过大的n d d 局域 场修正系数，使得副作用加大，响应数值图的分差变多，n 向应的时间反而加氏。 所以，我们在选择稠密体系时，要适当选择局域场修正系数。 接着，我们数值计算有固体基底的二能级体系，如上章所讨论，除了 n d d 修正系数f ，还要在系统中引入固体介质的参数。我们按照上述的讨论选择适中 的善，研究固体基质的折射系数，和固体基质的吸收f ，对系统的的作用。计算时 参数设置为善= 0 2 ，= 1 ，f ，= 0 ( 实线) ：f ，= 1 5 ，= 0 ( 虚线) ：，= 1 5 ， ，= o 5 ( 点线) 。 一 一唷 第2 章光与物质相互作用的数值计算 首先考虑系统只有固体基质折射系数，光学b l o c h 方程组加入，的作用，如 图2 7 实线，信号分叉增多，响应强度减小；我们继续增大固体折射系数，如图 2 7 的虚线，l r 有利于非线性响应，信号的响应时间缩短。我们继续加入固体介质 吸收系数f ，如图2 7 点线，分叉的深度减小，但是响应强度并不明显减小，可见 介质吸收对于系统的作用并不明显，相比之下，其非线性的贡献更大。 1 f 0 5 。 - 。t 5 ； 。1 占5 0 01 0 0 0 l ( f s ) 图2 7 稠密二能级体系对脉冲信号的响应 f i g 2 7t h er e s p o n s eo ft h et w o l e v e ls y s t e r mw i t hd e n s em e d i u m 从稠密的二能级系统到有基底的二能级固体介质系统，局域场效应可以分成 两个部分，一部分是共振粒子间相互作用产生的，称为近偶极一偶极的相互作用， p , j n d d 修正，另一个是固体基质折射以及吸收系数的贡献。由于局域场的存在， 系统的非线性行为出现了一系列的变化。我们通过分析不同情况下的数值解，得 到影响局域场变换的因子。因此，选取适当的参数，可以使系统出现较强的吸收 以及短的非线性响应时间，便于改进光学器件的响应。 2 3 4 局域场影响下失谐量同波长的关系 对于二能级体系，局域场的出现，影响失谐量随入射光变化的规律。失谐 量是入射光的频率与二能级体系固有的体系频率的差，a = l 印。，一m l 。当加上n d d 第2 市光 物质相互作用的数值汁算 局域场修正后，从修正的光学b l o c h 方程得到，失谐量作用从变成+ 知。如 图2 8 所示，体系在局域场修j f 下，能级被推移。在入射光波长与能级跃迁波长 一致，系统处于完全共振处，由于n d d 修正，激发能级移动，使得系统偏离完 全共振。在入射光脉冲波氏小于能级跃迁波长处，n d d 修诈使得激发能级下移， 系统的失谐量加大。在入射光脉冲波长大于能级跃迁波长处，激发能级同样下移， 但此时的失谐量减少。 图28 火惜量随入射波长变化的改变 f i g 2 8t h ec h a n g eo faa c c o r d i n gt h el i g h tw a v e l e n g t h 当有基底介质的原子密度以及二能级体系原子密度足够大，此时二能级体系 除了受近偶极予相互作用影响外，还要考虑基底介质的原予影响。在这种情况下， 失谐量除了受n d d 修正系数的影响外，还受到基底介质的固体折射系数影响。 从修正b l o c h 方程看到失谐量的作用从+ 和变化到a + ，审，如图2 9 。从图中 我们看到，固体折射系数进一步推移激发能级的移动。对于入射波k d , 于跃迁波 长时，在入射波长与能级跃迁波长相差较大的地方，固体折射系数使激发能级上 移；当入剁光波睦接近能级跃迁波【丈时，固体折射率使激发能级下移。在入射波 长大于能级跃迁波长时，固体折射率使得激发能级发生同样的推移。 曰亡j6i芒，口mo 第2 章光与物质相互作用的数值汁算 幽2 9 失惜量随入射波长变化的改变 f i g 2 9t h ec h a n g eo faa c c o r d i n gt h el i g h tw a v e l e n g t h 本章主要分成两个部分，第一部分主要讨沦b l o c h 这类型的微分方程各种的 数值解法；第二部分是修正的p c 4 计算具有局域场效应的二能级体系得到局域 场效应包括n d d 修正系数以及固体基质的吸收和折射对二能级体系影响。局域 场的存在，使得系统的非线性行为出现了一系列的变化；此外，失谐量也会受到 局域场效应的影响。从第3 章开始，我们研究在微腔中光与物质体系的相互作用。 参考文献 2 1 】t o f f e 弘h c ，“t r a n s i e n tn u t a t i o n si nn u c l e a rm a g n e t i cr e s o n a n c e ”，p h y s r e v7 6 ， 1 0 5 9 ( 1 9 4 9 ) 2 2 】余向阳，周建英，“飞秒相干瞬态过程的b l o c h 方程描述，中山大学学报，3 8 ， 2 4 - 2 7 ( 1 9 9 9 ) 2 3 】胡建伟沥怀民，微分方程数值解法， ：e 京，科学出版社( 1 9 9 9 ) 2 4 】b r o d e r i c k gr ，s t e r k e c m ，j a c k o nk r ，“c o u p l e dm o d ee q u a t i o n sw i t h f r e e c a r r i e re f f e c t ：an u m e r i c a ls o l u t i o n ”，o p tq u a n t u me l e c t r o n ，2 6 ，2 1 9 2 3 4 ，( 1 9 9 4 ) 2 5 】j o h n h m a t h e w s ，k d f i n k ，“n u m e r i c a lm e t h o d su s i n gm a t i a b ”，b e o i n g ，p u b l i s h i n g h o u s i n go fe l e c t r o n i c si n d u s t r y ( 2 0 0 4 ) 2 6 】a l l e n j ，e b e r l y j h ，“o p t i c a l r e s o n a n c ea n dt w o l e v e la t o m s n e wy o r k ：d o v e r p u b l i c a t i o n s 1 n c ( 19 8 7 ) 1 9 第3 章腔孤予的概述 3 1引言 第3 章腔孤子的概述 从这章开始，我们将二能级体系引入微腔系统中，研究微腔中光与稠密的二 能级近共振体系的相互作用，探讨光场在微腔中的动力学行为和腔孤子出现的条 件。 首先介绍腔孤子的特点以及背景理论知t 。对于微腔中稠密二能级体系，局 域场效应带来一系列非线性行为，如局域场效应导致双稳态的出现。本章阐述腔 孤子的研究发展状况，尤其是半导体腔孤子。描述半导体微腔光与物质相互作用 的动力学方程与描述微腔中光与二能级系统物质相互作用的动力学方程形式类 似有助于我们研究微腔中的二能级体系的动力学方程以及腔孤予出现的条件。 在这基础上我们推导微腔中的光与二能级体系相互作用的m b 方程组，建立了相 应的数值计算方法，并且从方程组以及其数值解上分析出腔孤子出现的参数闽值 以及腔孤子传播特性。 3 2 腔孤子的概述 3 2 1 腔孤子的特点 在微腔中，光学非线性效应带来很多有趣的现象其中一个热点是腔孤子。 孤子是能量或者物质以特定的形状和速发传播的波动状态。通常研究的光孤子形 式有两种，一是光场的传播与分布不随时m 以及传播方向的变化而变化，足时空 孤子；另类是光场的传播在衍射空间1 i 发生变化，是空间孤子。在我们研究的 体系主要是研究光场在微腔中衍射空问上没有变化的情况，即腔孤子。将来希望 从空f 刚的讨论推广到时空的讨论。 腔孤子是以平而波传播为背景，在平丽波传播方向i 二出现的一个亮点( 亮孤 子) ，或者是一个暗点( 暗孤子) ，光场在光传播的衍射方向上不随时间变化。腔 第3 章腔孤了的概述 孤子是种空间孤子，但是与标准的空间孤子不同，它存在于耗散体系中，而传