（计算数学专业论文）关于两个hermite型单元的研究.pdf

摘要 首先 本文研究了四阶重调和方程的双三次h e r m i t e 元的各向异性有限元方法 通过 引入新的思路和技巧 得到了与传统的正则网格或拟一致网格下完全相同的超逼近结果 从而扩展了其应用范围 其次 研究了一个新的h e r m i t e 型矩形元关于s t o k e s 问题的收 敛性 得到了最优误差阶o h 2 关键词 重调和方程 s t o k e s 问题 h e r m i t e 型元 超逼近 最优误差阶 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r b yu s eo fs o m en e wi d e a sa n dt e c h n i q u e s t w ok i n d so fh e r m i t e t y p e f i n i t ee l e m e n t sa l es t u d i e d f i r s t l y i ti sp r o v e dt h a tt h ew e l lk n o w nb i c u b i ch e r m i t ee l e m e n ti sc o n v e r g e n tf o rf o u r t ho r d e rb i h a r m o n i cp r o b l e mo nt h ea n i s o t r o p i cm e s h e sa n d h a st h es s x a es u p e r c l o s eb e h a v i o ra st h a to nt h ec o n v e n t i o n a lr e g u l a ro rq u a s i u n i f o r m r e c t a n g u l a rs u b d i v i s i o n s oi t sa p p l i c a t i o ni se n l a r g e d s e c o n d l y t h ec o n v e r g e n c eo fan e w h e r m i t et y p er e c t a n g u l a re l e m e n tt os t o k e se q u a t i o n si sd i s c u s s e d a n dt h eo p t i m a le r r o r e s t i m a t i o n0 舻 i so b t a i n e d k e yw o r d s b i h a r m o n i ce q u a t i o n s t o k e se q u a t i o n h e r m i t et y p ee l e m e n t s 8 u p e r c l o s e o p t i m a le r r o re s t i m a t i o n 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的 学位论文没有剽窃 抄袭等违反 学术道德 学术规范的侵权行为 否则 本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后 果 特此郑重声明 学位论文作者 示恚云 沙止年华月p 日 引言 有限元方法是求解偏微分方程的一个强有力的手段 最初由r c o u r a a t 于1 9 4 3 年提 出 5 0 年代由航空工程师们所发展 随后在固体力学 弹性力学 流体力学等领域得到 广泛应用 有限元方法是古典变分方法 p d t z g a l e r k i n 方法 与分块多项式插值结合的产 物 我国数学家冯康先生 2 7 2 9 和西方科学及于6 0 年代各自独立奠定了有限元方法的 数学理论 经过4 0 多年的研究和发展 有限元方法已成为一门理论完善 应用广泛的数 值计算方法 传统的有限元方法要求对区域n 的剖分满足正则性或拟一致假设 1 2 3 即要求剖分 满足舞s c v e r 或 慧 c 忍m 一 m e k k m m 讯e h e 其中r 是区域的某种 剖分簇 h 风分别是单元的最大直径和单元最大内接球直径 g 是 个仅与区域有关的 常数 然而 在实际问题中 由于许多问题的解可能会在边界层或区域的拐角处呈现各向 异性特征 即真解仅仅沿某一方向变化剧烈 于是一个很自然的想法就绕开传统有限元中 对区域剖分的正则性或拟一致假设 通过各向异性网格在离散化的过程中反映这种各向异 性 在解变化剧烈的方向使用较小的网格 而在其垂直方向使用较大的网格 一般也把各 向异性剖分下的有限元称为各向异性有限元 最近出现了有关各向异性有限元的研究 关 于这方面的研究 法国的a p e l 作出了重要贡献 在其专著 5 中 他对这方面的研究作了 系统的总结 最近 文 6 对a p e l 的方法进行了改进 给出了一种更易于操作的方法 如 今 虽然已有许多软件可以处理有限元的计算 但为了提高计算的精确度和速度 有必要 将软件建立在更精密的数学机理上 针对一些具体的网格 建立精确的误差分析是提高效 率的基础 1 4 中将其统称为广义矩形网格 林群先生在这种广义矩形网格下 把多种 方程多样有限元的精确分析化简成矩形网格上的积分精确计算 一般称为积分恒等式技 巧 在第二章中 本文就是在此基础上构造了 类矩形网格 分析了双三次h e r m i t e 元超 逼近性质 在第三章中 构造了另外一种h e r m i t e 矩形元格式 研究了s t o k e s 问题 并得 到了最优误差阶 个是如何放松剖分所受的限制 一个是充分挖掘有限元的构造特性 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及一些记号 仅就本文用到的基本知识和记号列举如下 酽表示实n 维e u c l i d 空间 x 1 z 2 表示舻中的点 令qc 舻 a o t l 口2 是一多重指标 其每 分量都是非负骧数 且记a 的长度为 混合偏导数记为 s o b o l e v 空间定义为 l o t i 1 茎 兰 脚 研 w n p q i d l n 空间w n 的范致和半范分别记为 慨胪9 m l l i 墓五阢1 9 埘 珈l a i m i v w w n l i 暑五阢l 腑 1 加 为简便起见 当n 2 时 记x z l z 或x z 锄踟伊 2 瓦 2 巧 2 瓦两 空间j p n 2 q 范数和半范分别简记为 和1 i s b l 嵌人定理设q 为具有l i p s c h i t s 边界的区域 1 ps 0 0 如果 n 仇一z 则 w 9 n 一 q 即存在常数c v u w p q 存在磊上的一个连续函数与u 等价 仍记为u 使得 i l 一 n c l l l l w n 2 1 2 有限元方法的基本理论 有限元方法的基本原理是将原始问题转化为变分形式 即弱形式在较弱的空间y 上 求解 然后构造能逼近变分问题求解空间的有限维空间v h 在 上求解原始问题的近似 解 设y 为h i l b e r t 空间 定义在y 上的抽象变分问题为 求u k 使得 1 1 l 口 t v v 其中o 为定义在v v 连续双线性瑟函 为定义在v 上的线性泛函 定义1 1 1 1 2 3 j 设h 是h i l b e r t 空间 若双线性泛函n 满足 3 c 0 对 使得 k 扣 i a 备 j k 则称8 在矿 量上强制 8 称为 在y 上的常数 大量的数学物理闻题都可以表示为形如 i i 变分问题 关于变分问题的解的存在唯一性 我们有 l a x m i l g r a m 定理1 1 2 1 2 3 若y 为h i l b e r t 空间 口 为vxv 上的连续 强制的双 线性泛函 则变分问题 1 1 在矿上存在唯一解 v 使得 n u v l a x m i l g r a m 定理对变分问题 1 1 的解存在唯 性给出了明确的回答 但是如何实 际计算这一精确解 直接从这一定理中找不到答案 只有少数非常简单的数学物理问题用 分析方法可求出其精确解 人们自然要问t 是否能求出其近似解 g a l e r k i n 方法就是求 解变分问题近似解最有效方法之一的 求变分问题精确解的主要困难在于y 是 个无限维空间 若 1 1 中的无限维空间y 用一个有限维空间k 来代替 及有限维空间逼近无限维y 1 1 化为离散变分问题t 求 k 使得 1 2 la u h v h l 蜥 v n 3 这就是g a l e r k i n 方法的基本思想 关于离散变分问题 1 2 解的存在性 只需有限维空间v 是t i l b e r t 空间 双线性泛 函 于v h v h 上有定义 线性泛函 于k 上有定义 并且满足l a x m i l g r a m 定理 条件 根据l a x m i l g r a m 定理立即可知离散变分问题 1 2 的解在v h v h 上是存在唯一 的 设 城 罂1 有限维空间k 的一组基 则u h v h 碥是基函数 她 鍪 的线性组合 u h 风m v h 乍m 1 3 妊 1i 1 把 1 3 代入 1 2 由于 是双线性的 是线性的 得 昌暑n m j 屈 蚕 坼 仁2 l o l l 亦即 a 甜a 一毋 0 1i 1 其中 a i j m 毋 吩 因为v h 是任意的 故屈也是任意的 从而墨a 玎屈 日 j 1 m 这是一个线性方程组 其系数矩阵a a 系 称为刚度矩阵 f f 1 f m 称为 荷载向量 求其解 屈 饕l 由 1 3 即得离散变很问题 1 2 的解 这样 求解离散变 分问题 1 2 最终实陌 上成为求解纷陲方程组的问题 就 1 2 中的有限维空间k 和 1 1 中的无限维空间y 的关系而言 由两种可能情 形 k 属于y 称为协调元 k 不属于y 称为非协调元 作为变分问题 1 1 的解u v 的近似 离散变分问题 1 2 的解 h k 逼近u 的 程度如何 自然是理论和实际计算中都菲常关心的问题 c d a 引理和s t r a n g 引理分别 解答了协调元和非协调元的误差估计 c d a 引理1 1 3 1 2 3 设矿为h i l b e r t 空间 碥cv 是y 的有限维子空间 o 满 足l a x m i l g r a m 定理的条件 u 是 1 1 的解 u h 是 1 2 的解 则 一蛳 j q c i n f j j n 一酬y 1 4 q h 4 其中c 为n 在v 上的连续常数 a 为n 在v 上的强制常数 s t r a n g 引理1 1 4 1 2 a 设y 为h i l b e r t 空间 y 和k 是日的子空间 o 是日上 的连续双线性泛函 并且在k 上强制 h 是 1 1 的解 是 1 2 的解 则 i l u u h l b 0 为常数 上述的h i l b e r t 空间日 v 均为定义在有界区域n j p 上的函数空间 实际计 算中 无论对协调元k 属于y 或非协调元 不属于矿 要构造出g a l e r k i n 方法中所 用的有限维空间k 的适当的基函数 有限元方法不是在整个q 上构造垤的基 而是 要避开这 难点 首先把n 剖分为一些小的形状简单子区域 即f h e e n n u e h e t 岛称为单元 然后在每个单元白上构造适当的基函数 p t p m 由此张成的空 间p s p a n p p m 称为形函数空间 最后对单元基函数进行拼接形成k 的基 这 种基是由分片函致对接构成的 有限元方法对q 的剖分f h e l 8 由一些基本的要求t 1 晓 u h e v e l e 2 f h 且e 1 e 2 时 e 2 ne 2 d e o 表示e 的内部 2 w f h 是闭的且e o e 具有l 印s c h i t z 边界 3 若v e l e 2 f h 是两个不同的单元 则u r e d 或公共的顶点 或是e 1 和 e 2 的公共面 3 边n 2 v e r 令p e s u p d i a m s s ce 是礼维球 h e d i a m e s t p j z l 一z 2j x l z 2 e h m a x h e n 如果存在常数c 使剖分族五 o 0 则对0 t s m 和帕 h e 存在与m 仉鲁有关的常数 c 使得 i v c g 射 其中r 一 为次数不超过m 一1 的 元多项式集合 对整体插值误差有 定理1 1 1 4 2 3 设r e l j e 忍 m o 甄 d i a m e t n 是多面体区域qcj 矿的非 退化剖簇 户 宝 为对某些m f 满足定理条件有限元 若对v e r 有限元 p i e 与 户 壹 仿射插值等价 e 户 奎 称为参考元 则存在与参考元 i m n 及 1 6 中 a 的有关的常数c 0 使得 对0 s m 和 h m n 有 e e r i i 一 r l l 备 j c h j 叫h m n 1 7 此定理给出了有限元空间 r 伊 n 对s o b o l e v 空间日m q 的逼近 1 3 各向异性基本定理 剐分的正则性是传统有限元方法进行理论分析的前提条件 但最近的一些研究成果 7 5 2 2 表明 这种假定对一些有限元格式并非必要 同时有些问题定义在各向异性区 域 如果用正则性剖分 计算量将非常大 另一方面有些问题的解呈各向异性 即沿某个 方向解变化非常剧烈 而沿另外方向解变化平缓 这时采用各向异性单元剖分 求解的效 果会更好 一般也把各向异性剖分下的有限元称为各向异性有限元 最近出现了有关各向 异性有限元的研究 关于这方面的研究 法国的a p e l 作出了重要贡献 在其专著 5 中 他对这方面的研究作了系统的总结 最近 文 6 对a p e l 的方法进行了改进 给出了一 种更易于操作的方法如下 设 是参考元 p 是e 上的 个m 维多项式空间 形函数空间 p 是p 的共 轭空间 设 癍 疡 碥 和 窥 厩 馗 是户和p 的一对共轭基 郎 m 弓 如 l t j m 设j h 一声 1 是有限元插值算子 满足 窥 j o 成 o i 1 2 mv o p 设o t o t l a o z 是一个多重指标 则d n p 也是 上的多项式空间 设d i m b a p r 也i 1 2 r 是d p 的一组基 则d a j o b o p 可表示成 西 南 藏 妨d 8 毫 岛 当 1 8 i l 3 1 显然 西是 西 扇耀 的线性组合 而岛 o 是 m o 罂 的线性组合 设 m 岛 o 啦疵 o 1 9 1 则由 1 1 和 1 2 我们有 岛 啦砖 o 嘶疵 j 岛 j o li 1 基本定理 6 1 在上述表达下 如果岛 o 能表成 岛 o 乃 西 o 1 j m r 其中日 日3 1s i j m 同时局 e c 西 p l s 一1 则存在常数c a 满足 1 1 9 包一1 心 1 1 t 自兰c 占 1 d 也1 1 0 t z 1 v 缸 日l l 1 芭 1 4 各向异性网格下的的逆不等式的形式 本小节单独列出 简要给出一个区域上的逆不等式 其形式体现了沿不同方向进行估 计的可行性 在下面第二章的讨论中用到这些不等式 引理1 i 1 5 设 e p 竞 为参考元 满足户 蟛 nw e e p 为仿 射等价有限元 其中p g f l o o 0 m z 则存在正常数c c g z 使得 讹 只0 l p s 一m 有 i d 4 w e i c m e 0 8 e 1 p 一1 4 一4 mw q e l 1 1 0 0 d w 9 e l lsc m e o s e 1 p 1 q 一4 i i v w 9 e m 1 1 1 此处和下文中 c 不加区分地指代一个与k 和 p o 无关的常数 证明 在参考元上 由有限元空间上的等价模定理知 忪嘭 a l l c l l o l q 刚 vo 户 1 1 2 从而得 i d 驴 刚 c l l 0 l 4 驯 v 川 z 1 1 3 因此 在参考元上 若有m 0 则对任意 利用 1 1 3 可得 i i d 胪 e j 上j d v p d x d y 1 p c m e n s e 1 扫 厶l 九一 i b a o i 一d 旬 1 p a l 1 7 1 c h l m e o s e 三 1 l d o p i 1 1 4 l n l 1 7 1 sc h 一 m e a s e 1 加 o 工9 6 c h 一7 m e e 1 p 一1 u l e 1 1 9 下面考虑情况0 m 兰 假定i o t l k m k i 卢i k m 1 1 i m 则有 l i d 口 p e i i l d 什 p e 0 口d p e l l 1 1 5 sc 一4 m e n s e 1 p l q d q l 4 e 因此有以下估计 l i d 口v w e i d 什p u p e 1 1 p 1 7 l s m c 0 d 1 口 e f f m 1 1 6 c h 一4 m s e 1 p 1 q i i d l y l 9 e j s m c h 一4 m e n s e 1 p 1 q l l v w e m 整合上面的不等式 可知对任意p 满足0 墨l 卢ls 一m 我们有如下结果 l d w p e j i d p u 口托 i i r 1 2 c i i d 4 p e 0 i s i 1 1 7 c h 一4 m e 口 1 p 1 4 i d 五4 e l l a l m 曼c 危一om e a s e 1 i p 1 1 9 i v w e 定理得证 对于情况p q 1 o o 将所有单元e 综合起来可以给出一个更一般的结论 下面仅 列出当p q d 的形式 推论1 1 1 6令f 为一个多角形区域nc 酽的剖分 费 p 宝 为参考元 且有 户 孵 e nw e p q 1 o o 0sm f 对任意e f h 墨p i 为参考元的仿射 等价有限元 v h 上2 n i i p ve f i 当p q 0 使 口 2n 0 1 1 支 v v z 其中z x l b v g o v q m 2 6 在x m 上满足l b b 条件 即存在常数p 0 使 濯粼 n l a l l v q m 则混合变分问题有唯一解 p x m 设x h 靠为x 和m 的有限元逼近空间 若 x 且m h m 则称为协调元空 间 否则成为非协调元空间 1 1 对于协调元 混合变分问题的离散变分形式为求 u p x h m h 满足 蜥 邺 胁 1 1 1 9 ib u h 咖 g q h v m h 对于协调元 离散的混合变分问题 1 1 9 有如下结论 定理1 1 1 8 2 6 若双线性型口 6 满足 1 n 在 x x h 满足强制性 即存在o 0 使 a v 2o 艮讹 酥 2 6 在x h m a 上满足l b b 条件 即存在常数夕 0 使 思 芦l l q h l l v 铂 慨 则离散格式 1 1 9 有唯一解 p h x h m h 并且与连续变分形式 1 1 8 的解之间有 误差估计 0 一 恢 0 p p h l i m c 如i n m f 帆 i n 一 恢 l i p q 怕 本文所考虑的s t o k e s 问题就属于这种类型 若有限元空间是非协调 即x h x m h m 至少有 个不成立 假设可以找到更大 的空间n 和y 使得n x n x j y m y3m h 同时成立 以及双线性口 扩 展到n n 6 可以延拓到n y 线性泛涵 g 也可以进行相应的延拓 延 拓后在有限元空间上的双线性型记作 b h 等 此时离散格式为 扣b h 吣 m 卜仃m h m 柞 1 2 0 ib h u h q h 9 q h h v q h 定理1 1 1 9 2 s 若双线性型a h b h 满足 1 o 在玩 满足强制性 即存在n 0 使 a h v o i 斋 x h 2 b h 在瓦 m h 上满足l b b 条件 即存在常数卢 0 使 黑础冽弧 v q h 螈 则离散格式 1 2 0 有唯一解0 虬p a 溉x 地并且与连续变分形式 1 1 8 的解之间有 1 2 误差估计 l l 一 p 一川y a e i n f 地 1 1 u 一 h l i n i p 一酬y m l m 2 坞 m 4 其中 舰一 芝发如畔黼龇业 幌一2 溉紫 墨龇踹叫 2 勰皆 注t 尬 一般为数值积分所致 如不考虑数值积分则该两相为0 另外有些情况下 混合元中一个是协调的 一个是非协调的 这时m 和 中有一个为0 1 3 第二章各向异性网格下的双三次h e r m i t e 元的超逼近分析 2 1 引言 众所周知 单元剖分的正则性条件或拟一致假设是传统有限元分析的基础性条件 即 满足h p c 或h h e v e 其中h 仇分别是一般单元e 的最大直径和最大内切圆 直径 h m h h m i n h e c 是一个与h 无关的正常数 但是 从理论分析和实际 应用的观点来说 如此假设在很大程度上限制了有限元方法的应用范围 这主要是因为 在实际问题中 由于许多问题的解 如椭圆边值问题 可能会在边界层或区域的拐角处呈 现各向异性待征 即真解仅仅沿某一方向变化剧烈 例如多边形区域上的对流扩散问题和 奇异摄动问题就在边界层或内部层出现这些现象 于是一个很自然的想法就是绕开传统 的有限元方法中对区域剖分的正则性条件或拟一致假设 在离散化的过程中 通过各向异 性网格反映这种各向异性 在解变化剧烈的方向使用较小的网格 而在其垂直方向使用较 大的网格 而且 对具有很大的各向异性曲率的表面或不同材料的狭长层 各向异性网格 的优势更能得到体现 因此 各向异性有限元成为了当前国际国内关注的热点 最近 出现了一些文章 分析了在不满足上述正则性或拟一致假设条件下二阶椭圆边 值问题的l a g r a n g e 型和c r o u z e i x r a v i a r t 型元并得到了相应的误差结果 5 7 一1 3 1 5 1 给出了一个各向异性元的验证条件 但应用起来很不方便 6 把 5 进一步改进 给出 了更容易验证的各向异性一般笋 别定理 并把它应用于窄边类w i l s o n 元及c a r e y 元等 1 7 2 2 但是据作者所知对各向异性网格下的四阶问题的研究还很少见有报道 另一方面 超逼近和超收敛分析是有限元领域中又一令人关注的课题之一 众多学者 为此做了很多成果 2 3 4 8 1 5 但几乎所有这些分析都是建立在某种均匀剖分或几乎均 匀剖分的基础上 对于四阶问题在各向异性网格下的超逼近和超收敛性质 就我们所知还 尚未涉及 本文利用新的技巧和方法 针对四阶重调和问题 研究了各向异性网格下的双 三次h e r m i t e 元超逼近性 得到了与 3 4 在正则剖分的条件下完全相同的结果 其中插 值误差的估计可以看作是作者成果 6 j 6 的直接应用 而超逼近结果则是对 4 1 的进一步扩 展 本文结果对各向异性网格下的自适应算法有重要的理论意义和应用价值 1 4 2 2 一些已知结果 考虑q 上的重调和问题 2 l 栅丸 1 舞 o 在锄上 卜 叫 相应的变分问题为t 籼 瑶 n 使得 2 2 io u t 厂 v 口 皤 n 其中o u 丘 w 2 u 4 v v b v d x d y nf v d x d y 嘲 n u h 2 n 口l 铀 是l 鲫 o n n 是单位外法向向量 为了方便起见 令n 为有界多边形区域 其逝a n 分别平行于z 轴和y 轴 设1 1 一为n 的 矩形剖分 不要求满足正则性条件和拟一致假设 设e f 为一般单元 其平行于x 轴和 y 轴的边分别为t l 坛和f 2 如 其边长分别为2 k 2 中心点是 勋 y o 不妨设k 勾 则其四个顶点坐标分别为z 1 x o h y o h y z 2 x o k y o b z 3 x o h y o k 及五 o h x y o b 记四边分别为磊 夏石乏鬲 i 1 4 r o o d 4 h m o z h h d i a m e 设 是 可平面的参考元 顶点坐标分别为磊 一1 一1 毛 1 一1 乞 1 1 及 反 一1 1 则在参考元 上 双三次h e r m i t e 元的有限元 竞 p 可定义为 宝 暖 咄 识 魂翻 i 1 2 3 a t p 印n n 筘1 如 p 1 6 其中 壹1 1 一f 1 一目 如 1 十 1 一 南 1 f 1 q t 1 一f 1 q 盎 1 一 2 蠡 l q 2 多7 1 一譬 庇 田 1 一铲 两 1 一田2 多l o q 1 一 2 p 1 1 1 一 2 1 q 2 p 1 2 f q 1 一f 2 p 1 3 1 一q 2 p 1 4 f 1 一叼2 1 一 2 五1 5 卵 1 一 2 1 一叩2 西1 6 叼 1 一f 2 1 一叩2 vv p 经计算可以得到 o 嘶 2 3 其中 啦 魂 i 1 2 3 4 a 5 3 o l 一j 0 2 f 一 1 3 暂 钒t o e o o 一 讥 o t o 一 o 一 o 赴一 峨 如一 咄一 讥一 咄 a 8 3 一 o 一 o 一 o z 一 如 锄一 o a m 一 n 9 一i o l 白卸一 讥口 由椰n o 一 o t f 啻2 f 一事k 静幢 口1 l o 去o l 翱一击 砷 击峨 一矗蛭 a 1 2 3 0 1q o 一 吨 虹 o 一 咄一 舌4 一 o 峙 n 1 3 o l 讥 一 赴一 o 卸 o s 一 1 3 韧一 毋4 钆 o a o 一矗o 一去0 1 妇 击 却一去屯钾一去 击 嘞 击 去咄 0 1 5 p 一矗o e 一去o l 钿 击诧f 去如钿一击投 击咄 矗砒 一击o t 卯 a l e 3 去魂 去o l f 去0 1 去0 1 妇一去0 2 去蛭一去 2 矗蛙 一击0 3 一矗0 3 f 一击 丽13 3 钾 击0 4 一击 嘶 去缸 击 4 如 设定义在a 上的双三次h e r m i t e 矩形元的插值算子为 j 抒4 a 一而 户 知 8 疵 2 4 t l 则j 矗 磊 矗 反 允 应 矗避 之 诧卸 幺 砬如 磊 j 屯嘲 宣 也蜘 幺 从a e 的变换疋定义如下 6 f ly y o 6 毋 设 为俨 n 一p 的插值算子 n i 则有 2 5 假定v 6 是相应的有限元空问吐即v v v l o e 1 o p v e n 谢 0 v h v l n 塞i n o 那么 2 2 的逼近形式为 k 曼 是喈 偿s 1 6 假定 和 分别是 2 2 和 2 6 的解 在均匀网格下 于日4 n 日5 n 及h 6 a 时 得到了下述结果 1 1 u h 一训l z c 胪 1 4 1 l 2 3 分别在u 属 2 7 i i 一m 1 1 2 c h 3 l l u l l 5 2 8 1 1 h m 1 1 2 c h l l u l l 6 2 9 最近 林群院士和林甲富 4 用b r a m b l e h i l b e r t 引理给出积分展开式 并进一步证明 了对于 般矩形阿格 但仍要求满足正则性假设 2 9 式仍成立 2 3h e r m i t e 元的各向异性及其收敛性分析 首先我们将给出下面重要引理 它是该元收敛性证明的关键所在 引理1 v d 口l 毗 川 2 则成立 d 砬一i 砬 l l o c i d 砬1 2 自 v 矗 h 4 a 2 1 0 其中这里及以后出现的c 均是一个与h 及k a 无关的常数 证明t1 当n 2 0 时 有 2 3 式可得t d 4 局 錾1 啦 o d 一2 5 0 一6 f 0 7 一2 y a i o o 一2 1 一q 2 n l l o 一6 口1 2 一6 f 1 一目2 a 1 4 v 一2 1 一 2 口1 5 一6 n 1 一q 2 n 1 6 显然 d p s p a n 一2 一6 一2 吼一2 1 一目2 一6 吼一6 f 1 一目2 2 1 1 一q 2 一6 1 一q 2 可以得证t 如 o 苛1 t i 如 一 o 延 曲4 器 f 一1 武一i 1j i 器 1 嘶 f l d 且if l 叫 l i 丘w d s l l j 己w d s l t i m i d 舵 c 0 i i 南 0 7 o 一 0 1 一 o l e o z 一 o 讥一 o 越一 m 一 呱 一 蠢1j 一1 z 象 一1 避蜓一i 1 i 1 层器恁 一1 武武 1 7 1f l 正 器 1 d 武一击i 1 露器 1 武武 如 d o 且i f 2 伽 i s 丧 i 正 一1 埏武i i 詹 一1 蜓武i 正 6 1 蟛 j j 层埘 1 蟛蟛j c l l o e c o wj j 2 a a l o o 一 0 1 f o 麓一 呱 讥f 一 器 f 一1 武一 器 1 畦 f 3 d 且i f a w i 瞎矗w d s 一 见w d s l c l w l o 鼬 c l l w l l 2 南 o o 去仉即一击咄 矗 渤一击 吣 一去 墨黎嬉 一1 武 矗 墨擎 毛1 武 f 4 西 且i 毋扣 i 去i 鬻 一1 碰一 鬻 1 必l c l i l 抛sc 伽1 1 2 1 2 o 0 1 o l f 一 o 4 啄 讥 o 鞋一 讥一 讥f 击 曩雾 一1 磁建一 t 正t 豢 一1 礤鹰 十止 正 器 1 武武一正 露露 1 诞避 f 5 d o 且l f 5 w l 茎去 1 正1 正1 a o g 0 9 1 l 正1 层 一1 o g d l 十l 正1 正 u 1 武i i 正 詹u e 1 蜓武1 墨c i l o 善 c i 叫1 1 2 算 口t t o 一去o t 一击0 1 如 去 卸一去 越 一击 去 k 击 击砒翻 盎 正 正 尝擎 一1 一 层 磬 一1 d 层墨挚 1 武 一 正 墨挚 1 武 f 6 d a 层 竿 1 武 一 正1 竺铲 1 武 f 6 d o 且i r i 击 i 正 鬻 f 一1 嘶l i 正 层筹 一1 l 叫 筹 1 呔l l t 露筹落 1 鹰1 c l 1 1 e c 4 1 1 2 吼5 一矗亩l 一去0 1 轴 去咄 去咄 一矗 篷 击0 8 钿 击o 一去0 4 聊 去 嚣 一1 必一正 器他1 磷 正 旦紫篮 一1 警 f 1 e 昂 d 0 1 8 且i f d l 矗 i 正 加 f 一1 d l i 1 武i l 正 筹 1 蜓i i 鬻 f 1 畦1 茎c 1 w l o 撕 i 1 1 舢 c o w i l 2 o 6 o 击移1 击o 击0 1 击o f 一矗 2 i 去毋2 f 一去赴 去咄 矗玩一去 辨一去嗡 去 一击讥一击咄 去 击咄 一 耐1j 一1 詹爨 已一1 一上t 正z 露 f 一1 必 正 正 砸8 a t i l t 1 蜓一正 詹器 f 1 武 露竺枣 一1 武畦一 正 墨黎 一1 d 武 正 层墨掌 1 武磁一正 墨挈 f 1 武必 三焉 d 且i f 8 l 击 i 正 正 1 她1 十i 正 层加 一1 必武i i 正 1 蟛畦i l 上l 层w 1 嫩 i i 正 正 鬻 一1 i t i e 鬻 一1 d 必i j 正 舞 f 1 d s c d f l j 卫 层辫 f 1 1 冬c i o e 1 w l l 冬c 0 i i 印 由各向异性一般插值定理 6 知 当o 2 0 时 引理1 成立 2 当d 0 2 时 有 2 3 式得 d 町o 墨 啦 o 西嗡 一2 口6 一 a 8 0 一2 d 9 一2 1 一 2 n 1 1 啻 一6 v a l a o 一2 1 一f 2 g 1 4 0 一6 e 1 一f 2 a 1 5 o 一6 翱 1 一f 2 0 1 6 由 在基萄数中的对称性 类似与a 2 0 的证明知 当o 0 2 时 引理1 成 立 3 下面我们 b 算o 1 1 时情形 有 2 3 式得 d a 知 鉴1 啦 o 西 l o 一 2 o a 一a a o 一2 q n 9 o 一2 n l o o 4 f 口 1 l p 1 3 f 2 n 1 2 p 1 3 7 2 n 1 3 一2 7 1 3 f 2 a 1 4 v 一2 f 1 3 q 2 0 1 5 o 1 3 f 2 1 3 r 1 2a 1 6 o 1 9 显然 d a 户 印n n 一2 r 一2 e 4 f q 1 3 2 1 3 r 2 2 7 7 1 3 f 2 一2 1 3 r 2 1 3 f 2 1 3 叩2 同上面推导一样可以验证t a l o 一a 2 o 口3 0 一0 4 o 饥一也 饥一以 正 怒 q 武却 f 1 d o 且if 1 isi 训 q 武却isc 1 1 1 1 2 南 0 9 o 一 o o z 一 讥 扣 蒜 一1 武一正 怒 1 武 f 2 西 o 且f r fs 一1 磷f f 专1 嘶f c 陋f o 雒 c w a a l o 一 o l 赴 一 o 越 o 一孙1j 一1 lo 丽 1 目 d 1 一正lo 一 丽 一1 q d q 毋 d 且i f 3 i 1 正1 1 目 却1 i w 1 q d 目1 c l l o 讲 c 1 1 1 1 2 南 a 1 1 o 去 0 1 翱一0 2 相 峨1 一心锄 吲1 j 譬 f 一1 d 一正 譬 武 凡 d a 且i 五 i 矗 i 正 错 一1 武i i 上t 器 f 1 武i c 1 雒 c l l 恢e 0 1 2 o 0 1 0 1 f 一 也 o 麓 3 一 一 钒一 正 正 怒 价d d 叩一 正 怒 1 却 正 器 一1 q 却 f 5 d 且i 见扣 f f i lj 一1 正 蒜 t 7 鹰却f i w x 目 砌f i 1w 一1 口 却i c l w l o 雒 c l l w l l 2 a 0 1 3 啦 o l 一 如一 由2 9 1 v 3 一 如口一 砒 讥 i 1j 一1 1 上1 酝 f q 却一 正 怒 f 1 蜓 正 器 f 一1 畦 f 6 d 且i r i i 上 正 q d 咖l i 正 硼 f 1 武l l t 即 一1 武i c 1 w l l 自 l i o 摊 c l l w l l 2 a 0 1 4 o 一去o l 一去0 1 轫 矗 一去0 2 翱一击讥 去 十矗讥 去眶 去 正 卷 一1 一 盎 1 武 正 墨擎 1 q 却 堕擎 一l 却 ef 7 d 0 且l f 7 w i 去 i 正 f i 武l i 正 w f 1 i i 等 1 q 却l f 筹 一1 q 却i sc 1 1 0 雒 1 w l l 艇 sc j 2 e 口1 5 o 一去o l 一去o l 翻 南 越 击面2 翱一矗 越 击镟 击o 一矗咄1 去 正 器i 一l 咖一正 蒜 1 q 却 正 堕磬 f 一1 堕磬 f 1 蜓 r d 0 且i r e w l 矗 i 正 一1 q d 刊叫 t 1 q 却1 i 正 器 一o d d i 上 鬻 f 1 畦1 sc i i o 0 l 1 1 自 墨c 1 1 伽1 1 2 由 a i s 心 去心1 去o l f4 击o l 矗蚤l 如一去赴 南咳一击0 2 口 去 茸1 去毽一去咄一击 去o s 妇一击如一击诋 去0 4 町 去 矗 正 正t 盎 町 必却一 怒 1 q 曲一 鑫 一1 q 却 壶 层譬佳 一1 武戎一正 正 垫磬 f 1 嘶 层丛磬 f 1 避一正 正 塑磬 1 鹰 r d 0 且i f 9 i 4 1 w h 1 w l o 1 w h 酏 c l l w l l 2 e 因此 证明了只 西 1 i 9 是h 4 a 上的连续线性泛函 由 6 的基本插值定理可 得t l i b 屯一i 矗 1 1 0 sc i b n 也1 2 e v 矗 日4 a 注1 本文在f 1 6 的基础上 对其证明h e r m i t e 元具有各商异性特征的有些地方作了一些 必要的修正 注2 容易看出 引理i 是 6 中各向异性插值定理的具体应用 此时的验证要比一般的 二阶椭圆边值问题复杂的多 而这正是在各向异性网格下研究四阶闻题的困难和关键所 在 定理l i n 假设 和 分别是 2 2 和 2 6 的解 当 r e n n 掰 n 时 则 f u u n c 吲j 忆n 2 1 1 证明 因为 l i d 钍一l u l l o 危一 西 砬一j 也 j jo s 也 c h 一 h b t l b a 矗1 2 j 由b i 理1 2 1 c h a k b 悱2 h 2 p i ld 9 圳3 h h 1 1 c e i 刖 2 印i d 憾 sc 境叫4 p 因此 由c e z 引理 可得 i 一钍 1 2 nsi n h l 札一u 1 2 nsc l u j 训2 n c h i u i u l c r i 忙2i i d 一 u j 苦t c 玩 r l i 2 砖m i c 瑶川t 订 定理1 得证 2 4 超逼近结果 为了研究双三次h e r m i t e 元的超逼近j 陛 同 1 4 一样 并为了得到 2 9 式结果 我们引入下面两个误差函数t e z z z 2 一磅 f y y 一曲2 砖 我们先证明以下重要的引理t 引理2 对v e n v v 有以下式子成立 1 1 1 1 0 c i 1 川2 f f v 1 1 0 4 o h 1 2 1 1 c h 1 i 1 一i l p 2 1 2 证明 令妒一 则8 憾 e 咤 d x d y l 妒 2 d x d y 五九尹 p 2 k d 曲 k k l 俐j t c h k 1 3 a c h h 9 1 h z l i 1 i 妒1 3 c 百2 0 t k 3 o h 2j 巨 同理若令妒 重复前面的证明可得0 口 c h 1 b 另一方面 1 艮 c h 2 k c h 2 川 故引理2 得证 引理3 令w u h u 则在各向异性网格下成立 上 o 蝴缸i i e p 证明 v 由t a y l o r 展开 2 2 z 可 叱 盘 玑 y 一雏 9 0 y e p y o 2 t k z 乳 0 一骓 3 z 蛐 故有 如地 如w u 0 乳 如w 0 一驰 口0 弧 如 b 一玑 2 叱 w 扛 y iw 一口 3 u w z 可 2 1 3 注意到 z i 五 iz 1 地 五 o i 1 2 3 4 在单元的上下边1 1 i 3 f y 0 严 g o 在单元的左右边2 2 1 4 e z 0 e 2 z 0 对 2 1 3 右端的第一项运用分部积分得 上毗 t k 扛 y 上 f 2 掣 4 啊扣 乳 j 一j f 2 3 z y d x tf o f 2 函 3 t 乳 一 厶一是 f 2 白 砷t k 睨 阮 出 一 丘一j f 2 0 w y d x 上 f 2 扫 h k 乳 o o j 丘 丘 f 2 g y d x i 1 上 f 2 7 w m 执 一 l f 2 m z y 2 1 4 对 2 1 4 进一步分部积分可得一 e z 纨 ef 2 u 吨 奶乳 o h l l 训k i l v l l 2 2 1 5 同理 2 1 3 右端的第二项可估计为 上 0 一y o v z 雏 矗上 f 3 口 5 0 挑 一嘉止 f 3 y t w y w 乳 o h l l u l l s 0 1 1 0 2 1 6 对 2 1 6 进一步分部积分可得 上 b y e v 0 驰 葡1 上 f 3 0 饥 0 乳 o 蟛 i i 1 1 w 1 1 2 另一方面 反复利用引理2 的技巧可证t f t 一v i l o e c h 2 i i 叫1 2 ml i 让 i l o e c h 2 8 0 2 ml i v 0 e c h 3 l l 1 2 所以 2 1 3 右端的第三项可估计为 厶 一挑 2 t k w 挑 正 矗 f 3 白 等f 2 乱 y l c v x x o h l l u l l 6 p 2 同理 2 1 3 右端的第四项可估计为 上 一 白一玑 3 马乳 上 矗嘉 p 3 蒜 p g o h l l u l l 训训 对所有单元求和 并利用s c h w a r t z 不等式即可得证引理3 引理4 在引理3 的条件下 网格沿 一轴方向和f 一轴方向均匀 见图1 成立 n v v o h l l u l l d l v l l 2 咖 坩 2 1 7 证明 v v v 在 乳 点运用t a y l o r 展开 w z 魄 一z t 黜 乳 y 一乳 w 扎 犰 0 一z e 2 z e 玑 4 0 一如 0 一玑 w 0 托 0 一 2 v w z 玑 一 2 0 一乳 w 玑 b 一 2x x 玑 一x o 2 0 一y o 2 w f 由 1 4 1 p 5 6 一p s s 可知 上 b 一i 1 上j 尹 z u 一 如 乳 一 上f 2 u w y l 锄 y 一击l e 3 一 叫 z 玑 一击止 f 3 掣 7 铆 螂 w 茁 乳 一 上f 2 可 e z u 删鲫 删 茹 y o 鲁f o e 2 z t 如 w 茹 乳 一嚣厶f 2 坤 骓 一丽1 上 e 2 z f 2 掣 u v w 盯w z 乳 纂止 e 3 z z y 0 一鬃上e u 一击丘 f 2 y e 2 茁 乱 删 哪 y 蔫丘 p d 叫 删 喇 执 一矗a f 3 剪 u 籼 枷 孔 乳 一篡上 e 3 z u 删 z 执 一面1 厶 e 2 z f 2 u 鲫t 屯瞄 鲫p 茁 乳 兰 鉴la i 对a i 1 1 5 进一步分部积分可得 止t 如 一 止e 2 z 钍 如 乳 一 上f 2 封 勰增p 妤 强 矗丘e 3 扛 一z z t k z z 玑 击厶f 3 z 挑 止f 2 0 e z 他 w v v z 玑 一纂止e 2 t w w 扛 雏 一嚣止f 2 u 如 乳 去止 e 2 z f 2 y z y o 一嘉7 0f e e a x 7 z 乳 一薯上e 2 z u 茹 乳 击正 f 2 0 e 2 嚣 删 蝴 石 乳 一蒹上 f 3 0 乱 删u 鲫 茁 弧 5 4 0l f 3 t z y o 尝女上 e 3 u t k z 击上 e 2 z f 2 可 t k 一鲫 啪 z y o 一 le 2 z p t 骓 一 lf 2 g 口 m z 骓 一3 f c f 2 t k 强 一譬上e 2 扛 口 知 乳 o 弩 n f 6 口恢 2 1 8 2 4 对 2 1 8 右端的第一项分部积分 见 1 4 中 p 6 2 p 6 a 并利用类似与引理2 的方法可 得