（计算数学专业论文）鞅过程在期权定价中的应用.pdf

鞅过程在期权定价中的应糟 攘要 本文主凝讨论了鞅道程在期权定价中的应用问题a 利用 鞍逑疆瓣注藕势裁讨论了当不眷在交器戒零薅 受存在成毙 剑交瑟袋本惑鄹姿存在燃交爨成本鲢欧式勰校鲍哭绘辩囊铃 问题 同时缭出了棚应的定价公式 另外 本文还利用鞅过 糕的性矮讨论了当不存在交易成本瓣夔式期粳静定价闫蘧 势绘漠了捷癜懿买侩察卖徐公式竣获赣关翳一些缭论e 关键谢 鞅过程 期权党馀j 变翕成本 t h er e s e a r c ho n a p p l y i n gm a r t i n g a l ep r o c e s s t o o p t i o np r i c i n g a b s t r a c t i nt h et e x ti m a i n l y t a l ka b o u tt h e p r o b l e m o f a p p l y i n g m a r t i n g a l ep r o c e s s t o o p t i o np r i c i n g u s i n g t h e p r o p e r t y o f m a r t i n g a l ep r o c e s s ic o n s i d e r w h e nt h e r eb e i n gn ot r a n s a c tc o s t w h e nt h e r e b e i n gp r o p o r t i o n a l t r a n s a c t c o s ta n dw h e nt h e r e b e i n gc o n c a v et r a n s a c tc o s t e u r o p e a no p t i o nb u y i n gp r i c ea n d s e l l i n gp r i c er e s p e c t i v e l y a n d a tt h es a m e t i m e g i v e c o r r e s p o n d e n tp r i c i n gf o r m u l a f u r t h e r m o r e ia l s or e s e a r c ho n t h ep r o b l e mo fa m e r i c a no p t i o np r i c i n gw h e nt h e r e b e i n gn o t r a n s a c tc o s t u s i n gt h ep r o p e r t yo fm a r t i n g a l ep r o c e s s a n d i g i v ec o r r e s p o n d e n tb u y i n gp r i c e s e l l i n gp r i c e a n ds o m e c o n c l u s i o n s k e yw o r d s m a r t i n g a l ep r o c e s s o p t i o np r i c i n g t r a n s a c t c o s t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成聚 攒我溪稚 除了文中装粼热竣栋注秘致漆戆缝方矫 论文串不惫食 其他人已经发液或撰筒过的研究成果 也不包含为获得佥肥王业塞燮或其仇 教育税鞫懿学位蠛涎书蠢谈鼹过翡秘料 与我一霸王作过豹瀚志瑟徽携任鼹黉 献均融在论文中作了明确的说明并表添致谢 学位论义作者签名 j 王 俭螭 签字日期 文唧多年妒月名阳 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者毙全了解金雎焉业太堂有关保留 使用学位论文的规 定 蠢蔽镶骜势囊莺家毒关郝门或惑稳递交谂突蕊复窜舞窝疆蠹 竞诲论文蔹 查阅和借阅 本人授投佥肥玉业太墼可以将学位论文的全部或部分内容编 天有关数据撵进行检索 哥黻采精影印 缩窜藏扫籀等复澍手段深存 汇编学 位论文 保密韵举位论文在解密后适嗣本授权书 学位敝律者签名 弓捡涛 导繇躲 群煮放 签字鞫麓 函磅年夸罔移筒签字鞴鬻 哟年尹搿夥葛 学位论文作者毕业詹去向 工作单位 通讯地址 电话 邮编 致谢 在这里 我首先对我的导师杜雪樵教授表示我最衷心的 感谢 在近三年的研究生学习期间 杜老师以他严谨认真的 治学态度和对学术的孜孜追求深深影响了我 杜老师知识渊 博 具有敏锐的观察力和非常强的逻辑分析能力 这些都是 我学习的榜样 在杜老师的悉心指导下我对科研工作有了更 深一步的认识并深受启发 从开始做与本论文相关的论文 一直到本论文的完成 杜老师给了我无私的指导和帮助 在选题 开题及至完成论 文的每一个阶段 杜老师都严格把关 并在课题的研究思路 上给出了具有建设性的意见 对论文的审阅也同样耐心细致 大到论文的框架 小到一个知识点 杜老师都是一样细心批 阅纠正 同时感谢理学院老师们的谆谆教诲 最后再次向我的导 师杜雪樵教授和方毅副教授表示感谢 汪金菊 二零零三年四月 于合肥工业大学 第一章前言 随着金融领域的迅猛发展 由金融风险带来的金融震荡以至经济 建辊 遗使经济学家犍舞始磅究务秘预溅秘规避风险的办法 美国缝 约大学的马克维茨教授所开创的在不确定条件下理性投资者进行资产 缀合投资的理论和方法 与颊坦福大学教授夏普赝建立的资本瓷产定 价模鍪 简称c a p m 为投资者提供了一种方便快捷的预测风险和确认 价格的方法 也为分数资本市场风险 评估风险和收益的研究 奠定 了理论基础 哈佛大学教授默顿与斯坦福大学教授斯科尔斯研究的期权定价理 论释公式 可以说是遥年来会融经济领域中最为踅大静突破和最卓越 的成就 它不仅为金融衍生市场近十多年的迅猛发展奠定了可靠的理 论基蕊 雨量在经济生活多令领域审遣褥巍广泛豹斑爝 期投是幸 为 一种避险工具诞生的 但从实际意义上讲 期权是一种客观的选择权 楚箨持窍者逶l 霪爨塞一定残本 获褥在今螽一定辩闯鲶嚣菜顼舞 产静 权力 从古至今 期权无处不在 特别是在投资和经营领域 人们目 藏豹决策总会影嚷来寒戆选择及其浚夔 因燕 疆突期援理论蒸毒嚣 常大的应用价值 当前 在我国企业产权制度改革中 引入了股票期 权剑 随着枣场期法律环境瓣进一步完善 宅将在企业管理孛发挥越 来越重藤的作用 鞅的概念藩先由p l e v y 在随机变量和数磷究中弓l 入概率论 后寒 j d o o b 又提出了上鞅与下鞅的概念 并对它们谶行了系统的研究 用 以解决许多概搴论与蠢典分析的问题 p m e y e r 等在此基础上又进一 步深入做了一系列工作 形成所谓法国s t r a s b o u r g 学派的现代鞍论 现在 鞅论方法已深入到许多领域中去 特别是应用于龛融数学 成 为了一个强有力的磷究工具 研究期权定价联论的文章层出不穷 诸如 c o x r o s sa n d r u b i n s t e i n 1 9 7 9 捉密期权定价静二顼式模垄戳及后入在诧基确主静 推广形式 e r n s te b e r l e i n j e a nj a c o d 1 9 9 7 结含鞅测度给出了欧式 期校徐楱嚣阂 d a n i e ls e v c o v i c 2 0 0 1 稠瘸禧立盼积分变换静方法分 析了关于具有连续分红的美斌股票买式期权定价的b l a c k s c h o l e s 方 稷戆叁纛逮雾瓣遂 l u k a s zs t e t t n e r 2 0 0 0 程尾赣涮度分裂绘爨了光 交易成本 具有成比例交易成本和凹交易成本三种情况下的离散时间 欧式期极约买裳馀格 本文在前人的基础上研究了离散鞅在期权定价中的廒用 首先 在第二 第三章孛蕊擎奔鲻了鬟投鞍离散鞅戆鏊零壤念爨及鞠关静璧 骤定理及结论 其次 介绍了离散鞅在期权定价威用中的前沿动态 簸瑟一章震瑰t 笔者自己鑫这方瑟翡研究戏暴e 慧 第二章期权的基本概念 2 1 期权合约 金融裁权 f i n a n c i a lo p t i o n 是一静合终 其持寿考鸯权在终 来某一时间或某一时期内按台约中规定的价格买卖某种资产 买式期 投 c a l lo p t i o n 的持有者窍权买入某种资产 娄式期投 p u to p t i o n 的持有者有权央出某种资产 欧式期权 e u r o p e a no p t j o n 的持有者 拥有在未来浆一确定的时间买卖某种金融资产的权删 美式期权 a m e r i c a no p t i o i l 的持有者拥有在未来一定时期内买卖某种金融汝 产的权利 例如最简单的欧式买式期权合约 其持有者可以在朱来某 一确定豹虱麓目 e x p i r yd a t e 戳确定的价格都执彳予价 e x e r c i s e p r i e e 或敲定价 s t r i k ep r i c e 购买某种确定的资产一一标的资 产 u n d e r l y i n ga s s e t 褥美式实式期投合终 持鸯者羹 j 可激在来 来某一段时间范围内以确定的价格基出标的资产 之所以说可以购买 竣卖出 是合终持有蠢寿赡买或窭焦资产戆权穗 毽去嚣没寿必须魏罴 戚卖出的义务 即合约持有糟具有决定合约是否生效的权力 但却没 鸯必须执行合约的义务 舍约豹爨售方剽承担饕潜在豹义务 因必当 合约的持有者选择买入或卖出标的资产时 出售方必须熊出或买入资 产 激段票朝粳尧例 买卖双方鹃投利和义务可翔图2 l 所示 瓣 股黎期权 买式期权 实式期权 鬓厶整送塞遗嫠整鬓厶簦熬塞壅塑筮 有权按执行有责任按执有权按执行有责任按执 徐买入毅票露徐奏出毅蔡馀褰出黢票程徐买入羧票 圈2 1期极买卖双方憋投穰帮责任 为了持有会约蠢拥有买炭瓷产憋权裂 援投掩有者必须支秸一定 的费用 与此相对应 合约的出售方承担着潜在义务 则是以收取一 定瓣费鼹 睾梵蛰偿 这拿费翅 裁楚买卖合约豹双方确定斡关予会约 的价格 即是期权价 p r e m i u m 此论文所讨论的就魑如何确定期权 俊格 或者淡 如傍确定公平数期粳馀掇 倒如 黢票f 现农戆段铃 足2 8 元 现有一份毖式期权合约 其投资者可以在半年后以2 8 元的 价格卖啦一股f 股票 则这一合约蛇价格是多少 这里强忽略葵他因素 的作用 只考虑基础资产价格变化的影响 如果半年詹 该股票的价 格变为2 5 元 该期权含约的持有者选择执行该会约 擞剥3 元 如果 半年瑶 该股梁的价格上升为3 0 元 合约无利可图 持有者不会执行 该合约 假定股价变化只有两种可能 上升为3 0 元的概率和下降为2 5 元的橇率均为0 5 则该合约的价格应为 0 5 3 十0 5 0 1 5 冗 投蜜者滋1 5 元鹣买这 卖式麓投与誊接卖国f 黢象有行么不同弦 如果投资者以1 5 元购买了该合约 半年后可能净盈利1 5 元 股价 f 降受2 5 元 盈程3 元 减去期较徐l 5 元 余1 5 元 胃缆损失 1 5 元 股价上升为3 0 元 撤利和损失的比例都是初始投资的1 0 0 毽如果投资者瑷在裁黻2 8 嚣卖出黢票 半年后熬裂1 0 嚣或攒失7 1 这是衍生产品交易的最大特征 2 2 影响期权价格的因索 一般来说 影响期权定价的毽素有基础资产价格 执行价搀 到 期期限 基础资产价格波动率 无风险利率和拟派发红利的大小 这 魑因素对不同种类期权的影响有所不同 簇础资产价格是影响期权价 格的最霾要的因素 例如对于买式期校 执行价与基础资产价乏差 通常称为期权的内在价值 i n t r i n s i cv a l u e 基础资产价格越低 瀚较内在徐篷藏相应瀣翻 逶常情况下 执行价是不交豹 期校价值 主要决定于基础资产价格 例如 菜股票买式期权在到期日 股票价 格是3 0 砉 l 嚣徐貉是1 8 粼期农内在徐篷为1 2 实际孛豹期投价值胃 能高于1 2 也可能低于1 2 这是因为还有其他因索影响期权价格 但 掰骞其魏嚣素 全稳为终在翔素 在其他因索不变的情况下 离到期日时间的长度与期权价值呈负 樱关关系 越接近到麓曩 勰投徐壤便会下降 越接遥到麓强 絮投 价值下降速度越快 因此 期权一般被视为损耗性资产 股息因索一般只逶鼹予股票期投 但在分援外汇资产黩 终汇利 率可以当股息处理 襁其他阑素不嶷的情况下 派发现盒股息将使股 价在除权日随麓股息现值下跌 股息越惠 预期股侩鲍跌幄会越大 从而影响期权价格的程度也越大 就卖式期权而裔 基础资产价格下 4 降会弓 趣麓投铃蓬藏少 嚣蕊导致期较稔撩下默 嚣魏 卖式麓较持 有者通常会在股票除权前行使期权 而不会让期权价格下降 黢桑麓较与其毽麓毂不霹 裂褰上秀爵戆警教买式期投鹣赞撂主 升 但却会降低卖式期权的价格 但利率通常是影响殷桑期权最小的 终在霞索 在任何时候 以上因素都可以得知或以极小的偏差计算出 并对 掰有投瓷孝都怒一样憋 毽鼹便以上因素突全穗瓣 两种麓投系列却 w 能有不同甚蕊显著不同韵价格 遮就是风险因索的j 乍用 风阪程度 髑基础资产馀格的预期波动米表示 波动蠛度越大 期粳持瓷豢获取 较大收益酌税会就会鞍多 期权价格也应黼之上箭 2 3 期粳麓 誊塌 期权的基本作用可以总结为投机和保值 先着投机 某人认为某只 羧票会上深 霹驳竞褥魏买该羧票 懿栗该羧票采然上涨 稔弼菇获 中获利 如果股价下跌 他遭受损扶 这鼹一种投机行为 但如果他 嶷诀兔般徐会上涨霹 是戳祗褥多熬徐撂买戆该毅票戆鬟式裁投 处 于多头位置 如果股价果然 i 二涨 他获取的利益骚大得癣 即使股价 下跌 稳靛撰失最多怒攒投费 并不大 穗爱 躲象诀炎段徐会下黢 时 可以购买冀式期权 即所谓的做空 墩可以达到投机的目的 买 卖絮投拢买卖鏊戳资产获取收益羚愆镤要太褥多 承受靛鼹殓逛丈褥 多 如聚某人 寺有y x 股票作为投资工具 佩又担心股价突然下跌 或 蛰认为瑗在股徐较裹 毽又不放弃般徐继续走裹以获取蹩多剩蘸熬枕 套 就w 以在崮己可以接受的价格t 出侮卖式期权 既达蓟了保值 蛉目的 又保鲤了投炎蛇枧会 当某人认为某种搽产的价格将上舞对 俄就会灏入买式羯稷 翔采资产价褥果然上升 购买者不一定巍会买 入资产辫出售 从中赚取收益 因为只需出售期权 就可以获取收入 翔粟羧侩交托青囱裾凝 拖就蒋承受谈失 同样 当试海菜稀资产静 价格将下降时 他就会买入爨式期权 毽麓投魏簧重要豹襻焉爨僳篷 掰疆镰擅 拣是迁禁入舞瓷产不 炎价格 溅其他什么变最 变化的影响 理论上很昝易说明 当某种股 藜镑穆下簿对 辩票蔡天搀有懿垒建黢票 毽载损失戆羲下簿赣度藏 正比例增大 似如果他持有的全是毖式期权 他的收益隧下降幅度成 菠逡铡上舞 翔聚健将蒲援蠢斡财寓分终两黎分 一辩分蘑塞鼹买黢 黎 一部分用来购买实式期权 在某一价格范围内 一滋存在浆一个 魄铤 锬趣豹财富不受段铃波秘豹影噻 邀靛是说 谴爨己熬财富楚 予无风除状态 通过基础资产和期权的组合以减少风险的活动 通常 表2 1单一因素的变化对期权价格的影响 欧式买式期欧式卖式期美式买式期美式卖式期 变量 权权权权 股票价格 执行价格 到期期限 波动率 无风险利率 红利 注 和 分别表示呈正相关 负相关和不确定关系 可称为对冲 h e d g e 也就是保值 如果一个人能够以比期权实际价 值大的价格卖出期权 而又能在期权的剩余时间里 通过保值将风险 转移出去 他就能获取有保证的无风险利润 2 4 期权定价理论的一般性 期权定价理论不仅仅可以用来为期权定价 原则上 只要一种资 产的价格随另一种资产变化 期权定价理论都可以用来为该衍生产品 定价 例如 某人拥有一个煤矿 是否值得开采决定于煤炭价格的变 化 在未来的时间里 煤价可能上升到开采有益 可能下降到关闭煤 矿为好 这个煤矿的价值为多少呢 你有一块菜地 其价值随着蔬菜价 格的变化而变化 现有人提出要买此地 什么价格才是公平的价格 衍 生产品的定价理论不仅适用于金融衍生品 更不仅仅适用于期权 只 是期权己成为最为广泛的金融产品之一 并有广泛的代表性 我们以 其为代表进行讨论 期权有许多种 前面提到的只是最简单的情况 从近年的发展来 看 未在交易所交易的各种新型期权 以及基本期权的各种各样的变 种 正随着投资者的不同需要而被不断设计出来 有的期权价值不仅 仅决定于执行价 而与基础资产在一定时期内的价格有关 称为路径 依赖期权 p a t hd e p e n d e n to p t i o n 例如 一个投资者为了为其在一 6 个秀肉连续辖黉馥藏赫僳蓬 就可以赡买 令买式麓毅 嗣镑黉收入 按期权到期曰前一个月的平均价格购买基础资产 同样 有的期权价 簸决定予一定融蘩蠹鹣蔻褥平骜徐 毒豁决定予该瓣瓣凑鹣最大徐辏 娥最小价格 谯现代盘融市场上 几乎可以设计出满足投资者稃种不 麓嚣要鲍戆生产瑟 铡努 拦式期较 b a r r i e ro p t i o n 一骚在舞 期日前錾础资产的价格达到某一预斑确定的价格 期权要么被执行 簧 么变缮没毒纷蕊 亚式麓投 h s i a n o p t i o n 箕徐格决迩于莱耱形式 的平均德 酗爨期权 l o o k b a c ko p t i o n 其价格决寇于基础资产 在毒效期内达到的最大僮秘竣小值 2 5 利率的作耀 绝大多数标准纯金融麓稷鹃最袄时期不超过9 个劳 一般潦说 谯这样的时间范围内刹率变化不会太大 对期权价值的影响也并不十 分显著 在分橱薅 霹骧宠缀定无械浚羁率魏鬻数 弱建立惹模鍪戳 麟 如槊有必臻 再放松这 假设 考虑利率变化的影响 假斑在t 辩蓊 麓了褥鞠数薰必 魏赞委 在薯之藏鹃t 孵裁 藏投入多少货 币m t 呢 设镶程翻率受r 嚣菇 d m 一 l 删 材 衡 鼷 撑 其中 为c 积分常数 在f t 时 宵m e 所议 在 时刻应付出的 数量为 材 z 沾 弘 翔莱r 蹩辩窝豹骚数剿有 材 西 f r 瓷 警 第三章离散鞅的基本概念 3 1公平竟举 我们隽介绍一个简单蔼有助予理解嚣丽所介绍的鞅过程例子 1 引 一个赌撼者在每次赌博的时候以等概率豢褥或竣捧一个赞苯单蠢著且 每次赌博结果独立于其它赌博结果 同时他最多只有 汤赌博机会 但是赌博者拥有在蜘场之前停止的权利 可以根据随机游动秘 n n 来公式化他的收益a 令s o 0 s 三一 并且i 墨 k 作为独立 翔分布的随藕 交量篮依赣率驴2 各密取值一1 和l 飙丽 瓯是第摊弱之 后赌博者的赢利 现在定义一个以 为界的停止规则 令 w n z 一 o 1 k 竹 1 2 n o 是检测函数族 其中w n 0s l 停止规则是取值 予垂 哟 懿瓣撬交鬃f 显搜f 群囊显毂巍嗨瓴 誓 毡i l 辑一l 窝 w 匕 1 1 o 所以如果经过第栉局之厝检验溺数h 镣于0 难么这个赎薅喾继续 然露躲果这令缝果簿予1 健裁退蹬戆撩 如暴 这个停止规则r 被应用 那么这个赌博者将以收焱 跫 最u 0 玎 放弃赌博 其中 u f 一 三 下面我们来证明资 0 3 1 1 这个方程是后颇3 5 节选择抽样理论的特殊情况表明赌博是公平鲍 注意事件f h 是独立于匕 i 竹 1 n o 一1 因此 压b r f b r n e 窭o f 群 嚣k l 耳耙 f 拜l 占b f 疗 瓣 对予i 撵 n o 有 e s o 拜 嚣 f 棚 3 t1 2 所以 嬲 嚣f 兰 u r 拧 b 兰点k 勘 嘎 o l l 8 蠢量 进一步存在魄 3 1 2 更强静结栗 即 对所有七 肛 n 有 e 转 女阮 y n s n 3 1 3 这个方程获舅一方瑟溺疆了赌薄豹公正瞧 记e s t 离 匕 表示趣事 箨扣 瓴 匕 毫嚣 勘撑f 集鲴 嚣公一 豹子一仃一代数f 豹条俘期 攘 3 2 域和俘此时间 假设 蜀 n e 楚实值隧机变量空间融 疋尹 上豹任意随祝净歹 其 中对任意n e n 有e r x l to o 包含事件 w 似 如l 鼓 e b 的仃一代数硝 被称徽矗翻辩闻 豹溉 豹辘迹 其中b e 嚣溶 l j 氇称硭是宙涟祝变 詹扎 x 生成的 对v n 毯n 下瑟熬结论残立 f c f f cf b x 是关于掣可测 盯一代数族蟛 黠 被称必溉 的轨迹 然蔗 更豢见的说法认为 群 月 是幽 x 生成的域 正如这样 它是下面定义的特殊情况 定义3 2 1 使只c f 只c 以 l l 芒n 的口一代数族慨 雅蒜 被称为域 如果对所有摊 n 以怒关于蛾可铡那么称净列 鼍 以 适应予域 曩j 举例 考虑3 1 节描述赌博者赢利情况的随机游动投 在这种情况 下 群是由事件诲 鼠 z 或者等价途由事俘 锨 l i n k f l i n 1 1 生成 因为序列 最 疗s 和 叛 拧 t 2 怒一一对痤鹣关系 霹瓣嚣 n 砰 群 其孛 礤 硭 移 q 3 1 苓掰考虑夔箨壹矮羯f 怒停壹鐾孪阕概念夔一令重要撰予 定义3 2 2 如果对所有胛 n 事件忙 刀 属于e 那么取值子 u 和 鲍涟掇变量f 稼傲关予域识 教箨瘫时阉 或溉 一箨史瓣润 举例 令 z 是实值隧机变爨序列 考虑b o r e l 集b e b 震 首次劐达时 间f 即 聱 z b 一 m i n 如 x b x b 行 一1 其他 随机变量f 8 是关于潞 的停止时间 因为 口 z o 仨占 一 x 一l 仨b x h 曰 如果存在 n 使尸p 1 那么称停止时间f 有界 下面的结论称为 k o m a t s u 引理 它给出了更强烈的动机引出鞅的概念 定理3 2 1 令 只 是域且 以 适应于以 假设对每一个有界以 停 止时间f 有 e x f e x o 3 2 1 则对每一个k n 有 3 2 2 证明 令k n a e 是固定的 考虑随机变量f 制 w w e a 爿 很容易看出f 是 e 一停止时间 因为 f 妒 h k f a 珂 k b h k l 所以对v n f 疗 只 现在继续应用 3 2 1 式于r 和有界停时 f k 1 得 e 防i 彳 e k i 4 c e x e x k l e 防i 彳 e x k l 彳c 即e 防 爿 e 防i 彳 由于k n a f k 是任意的 所以 3 2 2 式得 证 口 3 3 鞅 下鞅和上鞅 假设慨 是域 讧 是适应于 只 的随机变量序列且对任意一 n 有e j 以i x 潮 层 t i r x 3 3 6 对 3 3 4 式一 3 3 6 式两边阋时取辅望得 对于鞅 v n 宥麟 e x o 辩予下软 v k r i 艚硝棚 硝n 对于上鞅 v k n 有e x e k 令讧 是具有有限二阶矩 以 0 时得到下鞅 当e y 0 时得到上鞅 对每一个具有e iy 0 0 的随 机游动i s 序列忸 是 一鞅 其中x s 一 e y 2 考虑随机游动书 其中s 羔l l j e y 0 v a r y 仃2 o o 那么 序列口 是 一鞅 其中x 爵一甩盯2 这个结论的证明类似于例1 3 考虑使对某s r 时 矩生成函数吼 s 有限的随机游动p 其中 瓯 函e 那么忸 是 j 一鞅 其中x e 峨酾 0 一 因为 机i 硝 篙掣 掣 一苎丝兰一旦一y 翰 g 旷1 翰 g 一 4 考虑关于域 b 的鞅 r t 和使z 关于吒一 1 2 可测的随 机变量序列 z n n 1 2 这样的序列留 是 e 一可预测 如果 e 吖 那么乙的值由w o 一l 的值确定 假如对所有k 1 2 整 体性条件e l z 一 一1 i 0 令k 如 是独立同分布的随机变量序列且密度函数为f 戏歹 郧么似然比序列取 摊 n 由下式绘爨 弘撼怒捌 i 1行 0 熟暴扳其鸯密度f 鄹么霹涯骥江 楚砖 一鞍 霆戈 露眇瓯q f u 1 夕g 遗 1 所以蛳碟 量嘣矧略是烈剡唱 从而留 据戤鲰 另一种情况是 的密度是于 再加上假设 e 于2 g 渺g 皿 a o 就使仁 变成关予妊 的下鞅 因为 在这种情况下 攻剽 瓣 e 矧2 嚣 矧 2 乩 其孛z 是具鸯密度 厂的随机变量 3 4 收敛结果 如果没有特别说明域 我们仅简单提鞅 下鞅 上鞅和停止时 间而省略域 一个很有用的工具是下鞅收敛定理 定理3 4 1 令讧 0 为下鞅并假设 s u p e 伍 o o 3 4 1 h o 则存在随机变量x 使依概率1 有 l i m x x 3 4 2 且e l x l 0 0 如果另外有 s u p e x 2 o 3 4 3 n 0 则 删三 0 0 l i m e l x 一l l 0 3 4 4 n 首先给出一个将在定理3 4 1 证明当中用到的辅助结果 对于任意固定 的实数口 b r 其中口 f i 以 6 k f 2 棚一i m i n n 玎 2 卅一2 爿 口 f 2 m i n n h z 2 m ix 6 并称u 0 b m a x m f 2 n 为直到时间疗的上穿数 利用这个记号可以 获得离散下鞅的上穿不等式 引理3 4 1 对任意n 1 姒o 6 掣 掣 3 4 5 证明 注意由 上穿 口 6 的个数等同于由留 上穿 o b 一口 的个数 1 4 其中x 口 一口 而且 由条件期望的j e n s e n 不等式知试 也是下 鞍 驮露 不失一般毽 缀没 0 基秘 喾受 玛 0 下瑟诞明 e u o 6 b l 删 3 4 6 其中协 艺 t m f 兰f m l 删为奇数 f l m 为偶数 我们有e u o 6 急2 研口l 一并 与h 1 u k f j f i j m e 且为毒数 因此 b e u 0 垂 e 砉臻 x 一x 砉 司 x 一x 一妒 喜b e x 喝 t 慨舻 囊予瓿 l f l 黢藏 剔 o 6 砉b e x 瓤 x i i 如 娄 e x 杷 x 1 如 e x 一e x t 英孛最螽一今苓等式燕赉取 躲下鞍经趱褥 帮e x 一x 毯 定理3 4 i 的 难明 荫先注意到由 3 4 i 式知x 是不可能的 令a 表示使极黻l i m x 0 不存在的所有国 q 酌集合 显然a c q 这样 我们有 肚 a l i m i n f x l t o 油鬻z h 女毖碧 t m j p a 链 雌 其中 乓 t 隰警菇 式与 3 4 5 式表爨p 0 毒 o 蹶 基p 0 o 熊 3 4 2 式得证 悫f a t o u 弓l 理想疋是霹积的 为了诞明 3 4 4 式成立 注意出f a t o u 引理知 1 5 躺三 t i m i n f x s l i mm r 瞬 s 删u p f x 扶瑟 条搏 3 4 3 式隐含羲默三 占 o 所以我们肖 e 阮一x i e 缸取 一疋 占 h 蜀一瓦 占巍瓦一瓦 占十e u i x 一爿 占 阻一彳 i s c h w a r t z 不等式给出对充分大的 n e i x x 刚慨以i 占 1 7 2 s u p e x 2 s u p e 圹 e 程y 心 e 嬲 2 6 这样完成了定理3 4 1 的证明 口 3 5 选择抽样理论 接下寒豹续暴是选择热襻理论 霜露霹戳看传是公乎性爱 3 1 1 式的扩展 定理3 5 1 令拯 为鞅且f 楚有界搏止时阏 那么醚 e x o 证明 令f 以n o 为界 这样 由 3 3 4 式得x l e b 旧 其中i i t o 所以 e 妻嚣蕾k 嚣 l i 势 芝鼍h f 嚣警 霉 势 f t o i 塞e k h f 勘 瓯 除q 作特别的假设 停止时间f 有界怒等式e x e x o 成立所必须 簧懿条 孛 对予菜登逶合熬霄隈条释 f 蘩有赛等式也成立 定理3 5 2 令 以 是一个鞅且r 是柯限停此时间 满足 e 阢l 3 5 1 黻及 2 i m e x k f 小0 3 5 2 那么料 e x o 涯鞠 注意怼v k n 致 r a i n r k 是毒器停止涎阕 从蠢 盘定理 3 5 1 得e x o 麟靠 因此利用控制收敛定理 3 5 1 溅与 3 5 2 式给出 e x 憋疆 溉e x f 毒 膦 我们仍可限制某些嚣强的条件使戮 e x o 成立 定理3 5 3 令取 愚鞅且f 是停止时间 满足 器r 3 s 3 以及对某个常数c k k 0 再利用三角不等式和单调收敛定理得 l l e 泌 卜e 陟 转 一鼍 u f 毒j i k 0 j 竭戈 呈嚣l 五 墨 r k i t o e i x o l 窆职鹜 鼍稚一鼍l 噱 f k 女 o e l 爿 c p f 女 e t x l 癌7 k 0 其中最后不等式是由 3 5 4 式所得 嚣量重复裂矮 3 5 4 式褥 f e x k f 女j e 8 爿 l f 七j e 8 x o l f 七j 拒肫 r j j 踞扛 f 壶 阉时出 3 5 3 式帮控制收敛定理褥 j m e 阮 f 詹 0 e o o 从而由定理3 5 2 得 1 7 e x e x o 即本定理得证 口 推论3 5 1考虑随机游动岱 其中s w 函i 这里的k 匕 匕是 独立同分布随机变量满足e m o o 如果f 烧关于域娣j 的停止时间 而 且如莱e f 假如窀瀵是定理3 5 1 一定 理3 5 3 中所给的某个定理的条件满足 那么 e x f 急8 坶粕 3 5 6 而且定理3 5 1 可推广为 定理3 5 4 令 x 鼹一个下鞅且f 是一个停止时间 满足 p 和 撑o 1 n 0 n 那么 对v x 0 有 e x x x e k x x 3 5 7 证疆 我稍骞 e x r 以 并 1 t 凇 x k x r k k o s 釜e k 乩 x r k j e x n 以 卅s e 阢o 乩 x f o 以 z j 量 o 熟中最后一个不等式戆由 3 3 5 式所得 从两命题褥证 嬲 l 嚣 3 6 杜布不等式 下面介绍杜布上鞅和下鞅不等式 定理3 6 1 a 如果 x 是非负下鞅 则 pm a xx k x 了e x n x 0 n e n b 如果 z 是非负上鞅那么 p m 揪a x x k x 了e x o x 0 n e n 3 6 1 3 6 2 证明 假设僻一 是下鞅 令爿2 挺篙x t x 则一 彳o u u 以是 离散事件之和 彳o 忸o x e f o a 女 0 r o z x l x x t l 0 当且仅当7 g 0 定义似然比函数 岍一以 器测册吣 川地 l o 其它情况 同时令 x o 1 x l 竹 1 可以证明下面结论成立 在 q f p 上序列仁 是 碟 一鞅 对所有的a 群 有f 0 f x 0 户 咖l 3 8 2 呱 1 讧 的鞅性已经在3 3 节提到 为了证明 3 8 2 式 考虑具有形式 a 亿 骂 l 玩 且生成彤的事件 这里b i 峨 b 伍 那么 f o 丘 l 7 一 7 y 协 砂一 e f y 虬驴 厂o 协 a y e x 白 p 胁 e x 爿 因此 3 8 2 式成立并且立即得到瓯 f q 1 在 3 8 1 式中所定义的似然比鞅融 是下面模型的特殊情况 从定义在可测空间 q f 上的随机变量序列k 巧 开始讨论 其中域 群 给定 同样有p 和f 两种基本概率测度情况 然而 这次我们不考 虑k k 的独立性 与 3 8 2 式相对应 我们假定 对每个玎 n 存在一个碍一可测非负随机变量x 使 f 0 x 白户p la 硝 定理3 8 1 在概率空间妞 f p 上 僻 一鞅且e x 1 3 8 3 由 3 8 3 式给出的序列 是 证明 由于群c 碟 很明显由 3 8 3 式 可得 对v a 孑 e 阮 一 e i x a j 又假定搿 为群一可测 从而e k i 砰 瓦 闲为 出条 串期望嚣伍 碍j 豹定义褥 露 槲阱么 萎防州 蠢1 掰鞋 黠磁 e e x 捌眵 么 e 阮弗么 而且显然从 3 8 3 式中得 辩v n n 瓯 1 口 当獠率测发p 和爹被限制予玎代数碟之上时 分别记作乓 霞 从而 3 8 3 式记作 爹 x 晒h c 渤 a 了 3 8 4 根据r a n d o n n i k o d y m 定理这种缓定是合理的 潮对v a 毒砖 3 8 4 忒成立当置叙当或秘 o 域p 0 o 获丽 曩称势甚关予只翡 r a n d o n n i k o d y m 导数 记铬 z 幻 碱 织勋 特别 如果在r 与或下 随机向量 z e 的密度函数 抚 以 和 z y 存在 则依l 一概率1 脊 x h 1 2 3 9 k o i m o g o r o v 的扩展定理 现焱我妇考虑相爱瓣闻题 镁没存在豢有域 瓦 及包含黪蠢来爨 u l 只事件的概率空间 p 其中f r 令讧 是空间 f p 上 且为 乃 一鞅的非负随机变鬣形成的序歹f j 并且e x l 记只表示限制 2 2 粼 于e 上韵概率p en 下丽定义集合函数蕺 懿 i o l j 磊0 毛 溉妇 e 以 w 陋螃 名e 艺 3 9 i 稷容荔诞疆嚣鼹空蠲缸疋 土静穰攀瓣疫 穰在颤 功主燕否存燕概率 溅囊 饺对爨鸯撑芒n 当爹隈裂予焉辩必磊 这个淘题熬答案蜜 k o l m o g o r o v 扩震定璇绘爨 这个定理的蒜散舨本说明站 震 即所有 安数穿捌y o y 一的集禽 在纂合霸上 a 彳弋数f 鼹按下褥静方式定义 蛉 令g 是r 上的子集族 弗且这蝼子集摄具有形式b 0 b x 集合的 蠢鞭蕈元 其中b k 琶b r k 嚣 魄 露 撵 k 令 f 出 其审嚣蟹 净d f 嘬 嚷 t 定理3 9 1 假设 对锫意 0 在空间k 1 嚣k 1 上存在概率测度只并 嚣啜竣族陂 满是一致性条释 只 j x 也 r p o b o 吃 0 1 3 9 2 懿在窆润弦 嚣 霆 上毒在瞧一确定翡穰率漆发 诺热p 使辩爨豢 撵 o 1 釉恳 一恳叫脚舂 p 枷ox 巩 r 只慨 x 螺 3 9 3 寇理3 9 l 终涯硬忽赂了 宅露璐在茭继黪越方找到 雠始在 s h i r y a y e v 1 9 8 4 的文章中找到 定理3 9 1 中考虑的概率空间 嘛f 尹 c 足 嚣蟹 l p j 教称失典则概攀率阕 推论3 9 1 令取 e j 是空间k 嚣k i p 上关于域慨 的非负鞅 其中 塌 a 瓴 霰浚e x l 粼在空翔扭4 雄 上存在唯一确定翡概率溺 度乒 使对所有h e n a e 只有 群磅 嚣 3 9 毒 其中e 由 3 9 1 式蝓出 谖鹱 辩每一个 秣 令 岛瓯 x 磊b 0 x 壤x r j 堍 冁 君球 3 9 5 划由 3 9 5 式定义的概率测艘族碱 满足 3 9 3 式a 由于 b o 玩 最 磊 掰渡 只 玩 矗 2j k n r x 槲 w 联挑 0 舻 僻删阪h p k w x m p 伽 只 雪0 b n 出定理3 9 1g l 理褥诞 口 评论定理3 9 1 隐含着独立同分布随机变量序列矗 e 分布p 令f 为磊的菇同分布函数 刚由 n 只a o 绞 疆f b i 热 致a r j 胡 给出的概率测度族以 满足一致性条件 3 9 2 式 存在 全局 3 9 6 3 1 0 随机游动的指数鞅 令f 是r 主懿分枣函数 p 楚溅度空阕 4 嚣q 4 上熬概率测疫 正如 3 9 3 式和 3 9 6 式所给 而且 令r o r l 是空间 r 嚣 r l p 上豹独立羁分毒熬夔撬变量窍裂显其分毒先f 缓设幺 占冬 l 尹 是试 的典则概率空间 即对所有h 0 1 w 饥 y l i 有 w 假设e y o 劳登考虑随税游动秘 j 其中甄 誓 歪颡3 3 节静铡1 掰示 溉 是 砖 一上鞅 3 3 节例3 表暖 假如方程 r h f q l 3 1 0 1 商正解y 则序列 以 n n 3 1 0 2 是空间酝 矗 震 j p 的弛 一鞅 其中 苁 一 主誓1 kf 越 0 1 推论3 9 1 隐含着在空间伍 矗0 上存在由 3 9 1 式和 3 9 4 式给 懑静缀好定义瓣概率灏废芦 舔置 滓弼融 一e 楚空阔惫 丑酋 j 上 的砖 一鞅 其中艺 e x p f 一莲i l 辩 o t 这是由于在概率测度声下 随机变嫩巧 兄 是独嶷同分布的随机变量 艇其有分布蘧数雨 其中 扛 曩 舞且 只 静 爨与f 耀关虼分毒 对v s 芒r 使建 h 3 1 0 5 依声一概率l 有限 由予 3 1 0 3 式绘出的藏 是空澜惫 嚣强 l 上的鞍 所以 3 9 1 式及 3 9 4 式定义的测度变换尸 芦可以迭代 对v n 鬯n 令 露0 只 舻 a e 群 剐推论3 9 1 隐含着在空间识 雪 上存在难一确定的概率测度 使 0 露o l 爿芒群成立 然而 鉴于 3 1 0 3 式及 3 1 0 6 式 骞 p p 3 1 0 7 下面 我们需要大量的选择抽样定理派如3 5 节中陈述 如果讧 是鞅且r 是停 t t 时间 则昱仪 阪 舅 n e n 其中 c a 和 h n a h 譬n j 3 1 0 8 是包含所有直到停止时间r 的事件的盯一代数 为了证明它 需要注懑对a r 有 e i x j 4 n 矗 j e 防 一n 扛s 硼 3 1 0 9 定理3 1 0 1 令l d 0 为 3 1 0 5 式给出的停止时间 如果 彳c 勺0 c m x e 如 划 p 秀 唧 一 萼 一 3 1 0 1 0 证明 令一 n 怒固定的数同时考虑事件a n k h 群那么由 3 1 0 6 装及e 引 7 式褥 弘n 如 s 一 d 一芦骞薯 一秘礼q s 拜司 由于 e x p 一 喜h 硌是檄率f 下的鞅 所以c m 9 式给出 罾卜 盹眯嚣 崖h y 戮瓶阳司 令 斗m 出攀调收敛定理竞成了定瑷的避螺 心 第四奄离散鞅应用于期权定价的前沿动态 4 1 引裔 在一个绘定羲突备壤搴空麓娩只砖上存在囊鼗靖游玎一壤 只k g r 其中而是小萨一域 并且定义d 缨适应过程s t 掣 s 来 描述所交易的d 个风险资产于t t 时刻的市场价格 在每个交翁时刻 t 我稻投资于风险姿产组合熬瓷金娉予初始投入资鑫x o x 并爨把剩 余未投汝的资金存入银行 为简单想见 我们设收髓率r 0 设川表示 缀过交翁时刻t 1 的可能交易磊风陵资产缀合中第i 个风险资产于t 时 刻的数爨 且为适应予玎一域f 一 的实数隧机变量 这里允许卖空 所 以州可能为负数 记厅 f o 表示交易懿略 熟中 f 埘 彬 令x j 滞裘示初始投资成本为x 且经过交易策略疗之后组合 财富过程 超 薅裁鹣贽簸 程设不存在交荔戒本 誉么舂 fdl x 7 x 峨继 工 虬 斛 4 1 1 l械 以 其中丛i s i s 一l 蚣 如 嬲擘 其中 表示转置 表示胄 中的内积 设烂是玛一可测随机变爨棱豁檄未定权益 如果存猩交赛紫略雀 使x h p 黜 那么称初始投资成本x 是h 的套期保值赞用 如果存在交易策略 使膀 m 圮p 黜 那么称初始成本x 是 的复 镧僳值费嗣 4 2 嚣衮荔蔑零套期僚蕴 设蔓在与p 等价瓣概率溅度q 下是d 缭曩一鞅 我销穆q 为鞍溅 废 所有这些鞅测度擞记作掣 在这部分哉们有如下假设 後谖4 2 l 垂 给定一个未定权盘h 我们定义它的疯价n 耳 作为能够使h 得到 套麓缳 壹翡最小韬始投资成本 帮 热 h 掣i n f x 3 碳x h p 口 4 2 1 由最小值定义我们可以等价得到 热 嚣 滓s u p x v 旅正概率p 有x 记e q 表示q 测度下的鞭望馕 我们作下甏舱假设 假设n z z e g 一 0 q e 妒 其中 一 孑 下面酌定理羯赣测度丽数式描述了p s h 定理4 2 1在假设4 2 1 和假设4 2 2 成立下 有 p s 日 s u p e q h 口e 涯舞 由d e l b a e ne ta l 1 9 9 8 豹定理2 1 证臻 首先注意蜀类 e q 囟1 只 q 妒 是上指 所以过程ke s s s u p 盆 妒层a 陋峨 能够很好的定 义 而且对任意q e 妒过糨e 是推广的q 上鞅并且由f o l l m e r 和 k a b a n o v 1 9 7 8 t h m 2 存在交易策略石 这令式予势不憩缀意黢 毽怒献 4 2 s 鼗辨 4 2 2 式中立帮w 褥 爨您 嚣 热搿 舞舞 熟累存翟嚣黪复裁繇篷赞麓苒 惑 凄 2 1 裁及 4 2 5 斌容翁褥文x 一协 p s h 从而嚣被认为楚耱平偾 揍 下霹凌靛终程溲 糕设4 2 s v 璺毯戤露q 嚣 熬巾露斗 孑三三 幽滋溪4 2 t 籀粼下箍黼摧滤 捺谂4 2 l 程戳浚莲 2 l 耧缓浚凄 窑 3 痰立下 赣璐搿 一i l t f 嚣嚣嚣 舞了淫埝p b h 襄p s h 瓣套秘滚达黪凌我锻绦出下强豹零l 攥t 霉 纛4 2 t 奁霰设4 2 t 纛立下 誉醛瑟滋麓今蕞耩零襻穗繁爨菸 筏怼禁枣善矮菇 帮蛙群s x 莲 2 芋 骥立甚楚其中之 是妒掇不等式 蘸甓 蠡 4 i l 式辩巢薄 械b 浚帮 湖 渤辫稳樊 l x 纸t a 爰篓撵 善每黑蟛 矗 a lj 摊l 搏辨 辩饪惑咎 矽 麓 氓t 竭榔 孵 缄溺为推广的q 鞔a 嗣 撵谯鬏设4 2 窭壤盛下磷辍镊蘩戳 蛾 链瓷憝霪一鞭 霆憩 嚣9 霹 8 嚣e 舅 口娃羔 敝两程斌 4 2 7 串辩使严格不秣式氇 挣娌 丧不存霞 融 资谂萼 莲4 2 l 辩菇箨一释莓器溪鹱熬泰法蹩翔榘 0 其中 i 0 1 d i 为了简化 令名 0 令 液示在可能交易前f 时 瓣投资予第 令毅票熬资本 并量投资子这令黢紧熬拐贻成本梵v 鸯 于我们仅考虑自我金融策略所以得到 f t t t v 9 v s i 磙 4 3 1 n ln 0 其中 dd 酲 z 一 0 x j 0j 0 现在交易蒙珞完全崮转移算予b b t 决定 其中 壤 凹 酽 t o 1 2 t 在下筒 记k 8 表示包含t 时刻投资于银行和证券资本的矢量 妒 v o 一 v 口 令 c v r 1 j o f 0 1 d 使v 一 1 爿 o 其中扣o l d l j o产o 集合c 明显是一个锥体并且怒所有可以利用转移策略 5 j 使投资予每个 股票的资金数额为0 的初始投资v 联晨 1 的集合 记锥体e 静稻律锥体为d 且定义如下 d 涉e 发4 卅 y i 一 1 2 u l 7s 0 i 0 1 d 锥体c 在空间尺4 1 定义了偏序兰 即当且仅当 l v 2 c 时有v l 她 考 虑一个d 1 维e 可测随机变缀的未定权益h h o h 1 h 4 由于交 荔成本的存在 见k o e h l p h a m 和t o u z i1 9 9 7 a 1 9 9 7 b 我们不得不考 惑d l 一维未定投整 邕嗲嚣蟹时认失 秽 嚣 套麓保篷未定投懿h 下 颇描述所谓套期保值赞用集含r f 争毫r 靠 存在交荔繁碴罐畛8 窭 p a e 4 3 2 4 3 t 囊期保健费用槊会的特征 在研究集含r 的形式之前引入d 维空阃的操作数 令瓢 吲 2 7 糯z i 均褐予 有z l o z 铆i z 1 4 4 并且伟下面的假设 黻设圣 3 1 符 寥 令 拶 r1 篙黧嚣嚣恶 篆e