材料力学第06章(弯曲应力)-06

61 纯弯曲 62 纯弯曲时的正应力 63 横力弯曲时的正应力 64 弯曲 切应力 66 提高弯曲强度的措施 第六章 弯曲应力 内力 剪力 FS 弯矩 M 61 纯弯曲 M FS 纯弯曲 : FS =0 ， M0 正应力 切应力 横力弯曲： FS 0 ， M0 AB段纯弯曲 (Pure Bending) FS图 + F F F F a a A B 纯弯曲 (Pure Bending) M图 F a + 平面弯曲 纵向对称面 F1 F2 62 纯弯曲时的正应力 一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力 1.梁的纯弯曲实验 横向线 (mn、 mn）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，横向线与纵向线变形后仍正交。 变形几何规律： b n a m a b n m a b a b M M n m n m 横截面变形后仍为平面。 2.平面假设 b n a m a b n m a b a b M M n m n m 设想梁由无数根平行于轴线的纵向纤维组成，变形后，上部纤维缩短，下部纤维伸长。 有一层纤维变形后不伸长也不缩短。 3.两个概念 中性层：梁内既不伸长也不缩短的一层纤维，此层纤维称中性层。 中性轴 中性轴：中性层与横截面的交线。 中性层 2015/1/11 9 （一）变形几何关系： xbbl dllddd)( yb b n a m a n m dx 建立坐标系 变形前： 变形后： d)( ya b a b M M n m n m y bbl 1yd（ 1） dlll 1伸长量： 线应变： xxyddd)( xy dd)( yy 中性层 中性轴 z y x y （二）物理关系： 假设：纵向纤维无挤压。 ( 2 ) yE当 -曲线 P 式中： E和 为常数，所以横截面上正应力与 y 成正比。 x y z 时，P Ey（三）静力关系： zyxzyxMMMFFF0（ 1） 0（ 2） M （ 3） M 横截面上的正应力组成一个空间平行力系，向一点简化： 000x y z Fx My Mz x y z xF 0 0 ZSE 所以，由于 yMyAM Az )d( y dA dA Ax AF d AAyE d A AyE dZSE00（ 1） 0（ 2） M （ 3） 由（ 1）式 轴通过截面形心中性 )( zAdAz zA )d(AyEx y z Fx My Mz zAMAy)d( （平面弯曲， Iyz=0） yAM Az )d( EIz 梁的抗弯刚度。 由（ 2）式 由（ 3）式 zIyM （ 5-2） A AE y z d A AyzEd yzEI A AyE d2 zEIMzzEIM1 （ 5-1） 0yE A AEy d2yEx y z y dA dA z zIyM （ 5-2） x y z M M 纯弯曲时正应力的计算公式 63 横力弯曲时的正应力 h F l A B 对于横力弯曲，当 5 时，按纯弯曲时的公式计算正应力，误差不超过 1%。 hl一、 横力弯曲时的正应力 zIyM 二、最大正应力： zIyM m a xm a xm a x yIW zZ ：记zWMm a xWz称为抗弯截面系数 zIyM max M 32 3dW z )1(32 43 DWzDd空心圆 实心圆 644dI z 2 m a x Dy z d y )1(64 44 DI z矩形 抗弯截面系数 b z y 6 2bhW z 123bhIz D d z y 2 m axdy 2 m axhy maxzWM m a xm a x 三、梁的正应力强度条件 h F l A B max M 例 1 图示起重机大梁， Q235钢， =170MPa，小车和重物重量 F=265kN， l=4m， 求 ： 1）设计 h/b=1.5的矩形截面梁； 2）选择工字钢型号： 3）比较这两种截面梁的耗材。 h b z y 解： (1)当小车在跨中时梁最危险。 z y F A B l 求支座反力 ,画弯矩图。 M m/kN + 265 l/2 l/2 C F F A B l/2 l/2 C (2)矩形截面梁 ZWM m a xm a x zWM m a xm a x 62m axbhM32m a x5.16bMb )mm(8.160)mm(2.2 4 1 h(3)工字形截面梁 zW )cm(8.1 5 5 83z y h b z y 32m a x5.16M maxM查表，选择 No.45c工字钢 3cm1570zWM m/kN + 265 工矩AA23.3(4)比较耗材 工字钢耗材是矩形截面梁的三分之一。 z y 1 2 0 0 02.2418.160 h b z y 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：梁内的最大正应力； 例 2 120 180 z y M + 5.67 m)(kN 解： zWM m a xm a x k N m5.67m a x M62bhW z6180120 2)mm(1048.6 35561048.6105.67 M P a2.1 0 43m q=60kN/m A B 例 3 支座 A和 B放在什么位置，梁的受力最合理 ? 解： 考虑两种极限情况 a=0 和 a=1.5m 3m q=60kN/m a a 3m q=60kN/m A B 3m q=60kN/m A B a a + A B 时，梁受力最合理当 AC MM C + 2 82 qlaql22qa记 l=3m 22qa2 2qaMM BA 8 ) 2( 2 2qlalqlM C 时，梁受力最合理：当 AC MM 044 22 llaa222 llla舍去负值 la )12(21 l207.02 2 822 qaqalql 2 82 q l aql3m q=60kN/m A B a a + C m)kN(56.11 BA MMm)kN(56.11 CM最大弯矩下降了：82.05.67 56.115.67 %82梁内最大正应力同样m)kN(56.11 56.1156.11。下降了 %823m q=60kN/m A B a a 3m q=60kN/m A B M + 5.67 m)(kN + 铸铁梁，受力如图，铸铁的 t=20MPa， c=60 MPa，试根据危险截面 k-k的强度，确定最大载荷 F。 (2)求危险截面上的弯矩 例 4 解： (1)求形心位置和惯性矩 )( m m3.1 1 2cy)( m m106 2 2 0 44zI)mm(N770 FM K10 10 10 180 285 C yc y z k 770 F k )mm(N770 Ft c Mk Mk 10 10 10 180 285 C yc y z k 770 F k t c (3)正应力强度 zckIyMt)(k N4.144106 2 2 03.112770 F t zckIyM )285(c4106 2 2 07.1 7 27 7 0 F c)(k N1.28允许的最大载荷 F=14.4kN T 字形截面的铸铁梁，受力如图，铸铁的 t=30MPa，c=60 MPa，其截面形心位于 C点， y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 解： (1)求支座反力 )k N (5.2 AFF1=9kN 1m 1m 1m F2=4kN A B C D 例 5 FA FB )k N (5.10 BF（ 2）画弯矩图找危险截面 B截面弯矩最大，是危险截面 2.5kNm 4kNm M + 负弯矩，上边缘受拉，下边缘受压 + - z y2 y1 C y MB t c B截面弯矩最大，是危险截面 F1=9kN 1m 1m 1m F2=4kN A B C D FA FB 负弯矩，上边缘受拉，下边缘受压 zBIyM 1t zBIyM 2c t c M P a2.27107 6 35210446M P a2.46107 6 38810446+ - MB z y2 y1 C y t c 2.5kNm 4kNm M + (3)C截面的强度 正弯矩，下边缘受拉，上边缘受压 zCIyM 2t zBzCIyMIyM 21c t c + - 梁安全 461076388105.2F1=9kN 1m 1m 1m F2=4kN A B C D FA FB + - y2 y1 C y MC t c MB t c zIMyM P a2.282.5kNm 4kNm M + 讨论：若将 T字形梁倒置，梁是否安全？ zBIyM 2t B截面的拉应力： 梁的强度不够。 F1=9kN 1m 1m 1m F2=4kN A B C D FA FB z y2 y1 C y MB t c z y2 y1 C y M P a2.46107 6 3 88104 t46 2.5kNm 4kNm M + FS M 64 弯曲 切应力 b 2h2hz y 一、矩形截面 梁 1、 切应力的 两点假设 64 弯曲 切应力 y FS （ 2） 切应力沿宽度均匀分布。 （ 1） 切应力与剪力 Fs平行； h b x z y y FS 2、研究方法：分离体平衡 （ 1）在梁上取微段 h b x z y y FS M M+dM dx dx y FS z y x h b FS FS Sdd FxM dx F1 dx 2、研究方法：分离体平衡 , 0 xFM M+dM y y 1 dx F2 （ 1）在梁上取微段 （ 2） 在微段上再切取一部分求平衡 0)d(112 xbFF 1 FS FS dx y FS z y x h b zIyMM 1)d( dx y z y x 2FzzISMM )d(bISxMzzdd1由切应力互等定理 bISFzz*S zzIMSF 1同理 ：* d)d(1AzAyIMMF2 dx F1 1 AzIyMM 1)d( )d( zzISMM Sdd Fx bISFzz S0)d( 112 xbFF 由Ad AdA y1 *zzIMS 0d1 xbAdA* * d1Az AySb 2h2h y z y FS bISFz*zS z b 2h2hy y FS y * c A * zS)2( yhb )4(222yhb)2( yhb ) 4(222yhIFzS 矩 max(2b当 y=0 时， m ax , 2hy 0 cyA)24( yhy )24( yh )(2 yh )2 yh 、切应力分布规律 422Sm a xhIFz)4(222S矩 yhIFz方向：与横截面上剪力方向一致； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度 h分布为抛物线。 最大 切 应力为平均 切 应力的 1.5倍 ，发生在中性层上 。 当 y=0 时， max矩形截面弯曲切应力分布规律： AF. S51412223S hbhFbhF23 S平均5.1平均 5.1m a x z b 2h2hy y FS y * c A * F F F 分离 整体 考虑是否容易脱胶的问题，采用 2层还是 3层好？ B 2H2H2h2hb y z y FS bISFzz*S工字形截面 分为腹板和翼板， 翼板上除了有平行于 FS的切应力分量外，还有水平分量。 腹板为狭长矩形，可以采用前述的两个假设。采用相同的推导，得到相同的切应力公式 ： 二、 工字形截面 梁 zS)442)(22( hHhhHB )(8)4(2 2222* hHByhbS z B