大学物理第二章第二部分.pdf

变力问题的处理方法变力问题的处理方法 1 力随时间变化 力随时间变化 F f t 在直角坐标系下 以x方向为例 由牛顿第二定律 在直角坐标系下 以x方向为例 由牛顿第二定律 x dv mf t dt 且 t t0时 vx v0 x x0 则 则 1 x dvf t dt m 直接积分得 直接积分得 1 xx vdvf t dt m v tc 其中c由初条件确定 其中c由初条件确定 由速度求积分可得到运动学方程 由速度求积分可得到运动学方程 2 x xv dtx tc 其中c其中c2 2由初条件确定 由初条件确定 例 飞机着陆时受到的阻力为F ct c为常数例 飞机着陆时受到的阻力为F ct c为常数 且t 0时 v v且t 0时 v v0 0 求 飞机着陆时的速度 求 飞机着陆时的速度 解 解 根据牛顿第二定律 ct m dv dt 2 1 2 c vdvtdt m c tc m 当t 0时 v v0 代入得 v0 c1 2 0 2 c vvt m 2 力随速度变化 F f v 直角坐标系中 2 力随速度变化 F f v 直角坐标系中 x方向方向f v m dv dt 经过移项可得 经过移项可得 dv dtm f v 等式两边同时积分得 等式两边同时积分得 0 1 m ttdtdvmdv f vf v 具体给出f v 的函数试就可进行积分运算具体给出f v 的函数试就可进行积分运算 例 质量为m的物体以速度v例 质量为m的物体以速度v0 0投入粘性流体 中 受到阻力f cv c为常数 而减速 若物体不受其它力 求 物体的运动速度 投入粘性流体 中 受到阻力f cv c为常数 而减速 若物体不受其它力 求 物体的运动速度 解 根据牛顿第二定律 解 根据牛顿第二定律 dv cvm dt 移项变换 移项变换 c m dt dv v 1 ln cdv dt mv c tvc m 积分得积分得 由初条件定由初条件定c1 当t 0时 v v0 0 lnv0 c1 c1 lnv0 0 0 ln c t m cv t mv vv e 3 力随位移变化力随位移变化 F F f f x 直角坐标系中 x方向直角坐标系中 x方向 dvdx dvdv f xmmmv dtdt dxdx 经过移项可得 经过移项可得 f x dx mv dv 等式两边同时积分得 等式两边同时积分得 22 0 1 2 f x dxmvdvm vv 例 光滑的桌面上一质量为M 长为L的匀质链 条 有极小一段被推出桌子边缘 求 链条刚 刚离开桌面时的速度 例 光滑的桌面上一质量为M 长为L的匀质链 条 有极小一段被推出桌子边缘 求 链条刚 刚离开桌面时的速度 x 链条所受的力F是个变力 链条所受的力F是个变力 F m x g 解 解 M m xx L 根据牛顿第二定律 根据牛顿第二定律 Mdvdx dvdv xgMMMv Ldtdt dxdx 00 22 1 22 Lv M gxdxMvdv L M gLMv L vgL 第三定律第三定律 Third Law F v 2112 FF rr m1m2 F12F21 对牛顿定律的说明 对牛顿定律的说明 1 1 牛顿定律牛顿定律只适用于惯性系 2 只适用于惯性系 2 牛顿定律牛顿定律是对质点而言的 是对质点而言的 而一般物体可认 为是质点的集合 故 而一般物体可认 为是质点的集合 故牛顿定律具有普遍意义 牛顿定律具有普遍意义 两个物体之间作用力 和反作用力 沿同 一直线 大小相等 方 向相反 分别作用在两 个物体上 两个物体之间作用力 和反作用力 沿同 一直线 大小相等 方 向相反 分别作用在两 个物体上 F v 作用力与反作用力特点 作用力与反作用力特点 1 大小相等 方向相反 分别作用 在不同物体上 同时存在 同时消失 它们不能相互抵消 大小相等 方向相反 分别作用 在不同物体上 同时存在 同时消失 它们不能相互抵消 2 是同一性质的力 是同一性质的力 注意注意 m 0 微观粒子 时 牛顿力学不适用了 要用 量子力学 的方法解决问题 微观粒子 时 牛顿力学不适用了 要用 量子力学 的方法解决问题 V c 速度接近光速 时 牛顿力学不适用 了 速度接近光速 时 牛顿力学不适用 了 要用 相对论 的方法解决问题 要用 相对论 的方法解决问题 n 大量粒子 时 牛顿力学不适用了 大量粒子 时 牛顿力学不适用了 要用 统计 的方法解决问题 要用 统计 的方法解决问题 牛顿力学的适用范围牛顿力学的适用范围 n i i d Fmv dt v v 适用于不太重 不太小 不太快的运动物体适用于不太重 不太小 不太快的运动物体 牛顿会高兴的牛顿会高兴的 Newton would have been pleased 2014年将返回地球 1978年NASA发射 2014年将返回地球 1978年NASA发射空间飞船空间飞船ISEE3 ISEE3 4年后经37次点火和5次 飞近太阳而进入了一个复杂的轨道 85年拦截了一个 86年与哈雷慧星相遇 彗星 4年后经37次点火和5次 飞近太阳而进入了一个复杂的轨道 85年拦截了一个 86年与哈雷慧星相遇 彗星 2 2 SI单位和量纲 2 2 SI单位和量纲 国际单位制 SI 的力学国际单位制 SI 的力学基本量基本量和单位和单位 质量质量 9 192 631 770 倍 时间 秒 倍 时间 秒s 138Cs原子某特征频率光波周期的 长度 米 原子某特征频率光波周期的 长度 米m 光在真空中在 光在真空中在 1 299 792 458 s 内所经过的距离内所经过的距离 量的 名称 单位 符号 单位 名称 单 位 的 定 义 量的 名称 单位 符号 单位 名称 单 位 的 定 义 千克千克 kg 保存在巴黎度量衡局的 保存在巴黎度量衡局的 kg标准 原器 的质量 标准 原器 的质量 量纲 量纲 基本量以外的其他量和单位都可根据一定的关系式由 基本量及其单位导出 分别称为 基本量以外的其他量和单位都可根据一定的关系式由 基本量及其单位导出 分别称为导出量导出量和和导出单位导出单位 为定性表示导出量和基本量间的关系 在SI中 基本力学量是长度 质量 时间 常不考虑关系 式中的数字因数 这样的式子称为该物理量的 为定性表示导出量和基本量间的关系 在SI中 基本力学量是长度 质量 时间 常不考虑关系 式中的数字因数 这样的式子称为该物理量的量纲式量纲式 简称 简称量纲量纲 某物理量 Q 的量纲通常表示为 某物理量 Q 的量纲通常表示为 Q Q 而将物理量用若干基本量的乘方之积 表示 它们的量 纲分别用 L M T 表示 这样 导出量如速度 而将物理量用若干基本量的乘方之积 表示 它们的量 纲分别用 L M T 表示 这样 导出量如速度v v和力和力F F 的量纲就分别为的量纲就分别为 v v LT LT 1 1 和 和 F F MLT MLT 2 2 只有量纲相同的项才能进行加减或用等式联接 只有量纲相同的项才能进行加减或用等式联接 2 3 常见的几种力2 3 常见的几种力 书2 2节2 2节 引力引力 2 21 R MM GF M1 M2 万有引力常数万有引力常数 G 6 67 10 11m3 kg 1 s 2 均匀球体均匀球体内内的引力 只由球内部分决定 的引力 只由球内部分决定 R x 3 R Mmx GF 以后可以由高斯定理简洁证明 以后可以由高斯定理简洁证明 弹力弹力 kxF Nf ss k 弹性系数 x 弹簧的伸长 或压缩 弹力的方向 与弹簧伸长的方向相反 摩擦力摩擦力 静摩擦 和运动趋势的方向相反 滑动摩擦 和运动方向相反 Nf 2 4 基本的自然力 2 4 基本的自然力 引力 引力子 引力 引力子 质量之间 质量之间 1种质量种质量 电磁力 光子电磁力 光子 电荷之间 电荷之间 2种电荷种电荷 弱相互作用 中间玻色子 味之间 弱相互作用 中间玻色子 味之间 大多数粒子 大多数粒子 6种味道种味道 强相互作用强相互作用 胶子 胶子 色之间 色之间 存在于质 子 中子 介子等强子之间 存在于质 子 中子 介子等强子之间 3种颜色种颜色 2 5 牛顿定律应用举例 续 2 5 牛顿定律应用举例 续 书第二章 2 3的各个例题书第二章 2 3的各个例题一定要认真看 一定要认真看 再补充两例 说明做题的要求 再补充两例 说明做题的要求 m mg z z0 r N 已知 已知 桶绕桶绕z z 轴转动 轴转动 const 水对桶静止 水对桶静止 求 求 水面形状 水面形状 z r关系 关系 解 解 选对象 选对象 一小块水为一小块水为隔离体隔离体 m 看运动 看运动 m作匀速率圆周运动 作匀速率圆周运动 ra rr 2 查受力 查受力 受重力受重力 gm r 水面 水面 N r 非粘滞流体间只能承受相互的压力 非粘滞流体间只能承受相互的压力 水水任选表面上任选表面上 N r 及其余水的压力及其余水的压力 a r z r O 列方程列方程 z向 向 1 0cos mgN r向 向 2 sin 2 rmN 由导数关系 由导数关系 r z d d tg 3 1 2 3 得 得 r gr z 2 d d 分离变量 分离变量 rr g zdd 2 等号双方积分 等号双方积分 z z r rr g z 0 0 2 dd m mg z z0 r N z r O 水水 a r rmamgmN rrr r 2 解得 解得 0 2 2 2 zr g z 旋转抛物面 则由旋转前后水的体积不变 旋转抛物面 则由旋转前后水的体积不变 R hRrrz 0 2 d2 R hRrrzr g 0 2 0 2 2 d2 2 g R hz 4 22 0 得 若已知不旋转时水深为 得 若已知不旋转时水深为h h 桶半径为桶半径为R R 有 有 验结果 验结果 0 2 2 2 zr g z 量纲的分析 量纲的分析 1 T2 正确 正确 mh 过渡到特殊情形过渡到特殊情形 0 有 有 z z0 h 正确 正确 看变化趋势 看变化趋势 r 一定时 一定时 z zo 合理 合理 复杂问题往往除动力学方程外 还需补充一些复杂问题往往除动力学方程外 还需补充一些 课后作业的基本要求与此例相同 课后作业的基本要求与此例相同 运动学方程或几何关系 如前面 3 式 运动学方程或几何关系 如前面 3 式 hR g r g 2 2 2 2 42 2 2 2 r g 4 2 2 R g 2 22 Tm m T 1 z g m T2 r m 例例2 已知 已知 M m M m 桌面水平 各接触面光滑 求 桌面水平 各接触面光滑 求 m m 对对M M 的压力的压力 m m 相对相对M M 的加速度的加速度 m M M Y X NM N Mg aM N a aM mg x y 解解 M mM m受力及坐标如图受力及坐标如图 对对M M M MaN sin 对对m Mm aaa rrr 2 2 sin sin sin cos mM gmM a mM Mmg N sincos cos sin M M mamgN aammg 结果分析 结果分析 2 2 sin sin sin cos mM gmM a mM Mmg N 1 量纲无误 量纲无误 2 特例 特例 0 0 amgN m平放在光滑平板上平放在光滑平板上 gaN 0 2 m靠在光滑竖直面上 自由下落 靠在光滑竖直面上 自由下落 结果合理 结果合理 2 6非惯性系中的动力学问题2 6非惯性系中的动力学问题 牛顿定律仅适用于惯性系 牛顿定律仅适用于惯性系 为何还要在非惯性系中研究问题呢 为何还要在非惯性系中研究问题呢 有些问题需要在非惯性系中研究 有些问题需要在非惯性系中研究 有些问题在非惯性系中研究较为方便 有些问题在非惯性系中研究较为方便 S S 牛顿定律成立 牛顿定律成立S S 牛顿定律不成立 牛顿定律不成立 地面参考系 地面参考系 22 m s104 3 a 地心参考系 地心参考系 23 sm 106 a 太阳参考系 太阳参考系 210 sm 108 1 a a S 例如 例如 m 光滑光滑a S m 光滑光滑 静止静止 静止静止 a 静止静止 地球自转加速度 地球绕太阳公转加速度 太阳绕银河系转加速度 对 地球自转加速度 地球绕太阳公转加速度 太阳绕银河系转加速度 对S 如 如 S 理由 理由 赤道 赤道 惯性参照系 参照系本身没有加速 度 惯性参照系 参照系本身没有加速 度 牛顿第二定律只适于惯性参照系 牛顿第二定律只适于惯性参照系 有很多情况参照系具有加速度 有很多情况参照系具有加速度 一 平动非惯性系中的惯性力一 平动非惯性系中的惯性力 S a0 m Fa a a0 aaaa rrrr 0 S amF r r FF rr mm 故故amF r r 由由 amF r r 得得 amamF rr r 0 00 amF r r 定义定义惯性力惯性力 inertial force 则有则有 0 amFF r rr 惯 性 系 惯 性 系 S 修改牛顿第二定律 使之适用平动非惯性系 修改牛顿第二定律 使之适用平动非惯性系 0 aam rr 0 amam rr 非惯性系中的 牛顿第二定律 非惯性系中的 牛顿第二定律 S 平 动 平 动 相互作用 惯性力 相互作用 惯性力是参考系加速运动引起的附加力 是参考系加速运动引起的附加力 本质上本质上是物体惯性的体现 是物体惯性的体现 它不是物体间的 没有反作用力 它不是物体间的 没有反作用力 但但有真实的效果 有真实的效果 二战中的小故事 二战中的小故事 a0 美美 TinosaTinosa号潜艇号潜艇携带16枚鱼雷 离敌舰4000码发射4枚斜向攻击 携带16枚鱼雷 离敌舰4000码发射4枚斜向攻击 使敌舰停航使敌舰停航 离敌舰 875码垂直攻击发射11枚离敌舰 875码垂直攻击发射11枚均未爆炸 均未爆炸 在太平洋海域在太平洋海域 敌 舰 体 敌 舰 体撞针滑块撞针滑块 雷管雷管 导板导板 鱼雷鱼雷 v 撞针滑块撞针滑块 雷管雷管 导板导板 鱼雷鱼雷 v 分析 分析 S F0 近距 垂直 滑块受摩擦力大 近距 垂直 滑块受摩擦力大 大大 0 a 大大 0 F 雷管不能被触发 雷管不能被触发 v m mg mg 1 在 1 在M M 参考系参考系 T 匀速率圆周运动匀速率圆周运动 光滑光滑 M m g v 讨论讨论M M 自由下滑后 自由下滑后 m m 对地面的运动情况对地面的运动情况 M m 地面地面 直接讨论直接讨论m m 对地面的运动较困难 可分两步讨论 对地面的运动较困难 可分两步讨论 m m 作速率 为 作速率 为v v 的圆周运动 2 的圆周运动 2 M M 对地作自由对地作自由 落体运动 中观察 落体运动 中观察 m m 对地面的运动 是以上两种运动的叠加 对地面的运动 是以上两种运动的叠加 失重情况失重情况 在非惯性系中讨论问题更方便的情况举例 在非惯性系中讨论问题更方便的情况举例 失重问题失重问题 在太空中自由降落的升降机或绕地球自由飞在太空中自由降落的升降机或绕地球自由飞 在那里物体可以真正做到 不受力 在那里物体可以真正做到 不受力 引力引起的指向地心的加速度 受的引力被惯性离心力完全抵消而出现失重 行的飞船均可以视为 引力引起的指向地心的加速度 受的引力被惯性离心力完全抵消而出现失重 行的飞船均可以视为平动的非惯性系平动的非惯性系 其中物体所其中物体所 所以在 这样的 所以在 这样的非惯性系非惯性系中 反而能够真正做到验证惯 性定律 中 反而能够真正做到验证惯 性定律 有地球有地球 在飞船中几个球可以在空中摆成一个圈在飞船中几个球可以在空中摆成一个圈 a0 大飞船 地球 大飞船 地球 v C 潮汐潮汐 tide tide 与惯性力与惯性力 问题 问题 2 为什么潮汐同时在向月和背月侧发生 2 为什么潮汐同时在向月和背月侧发生 解释 解释 由于引力不均匀 有引力梯度 才引起潮汐 由于引力不均匀 有引力梯度 才引起潮汐 惯性力惯性力 引力引力 引力分布不均匀 有引力梯度 引力分布不均匀 有引力梯度 D E A B 指向 地心 指向 地心 C 地球地球 引力不能完全 被惯性力抵消 引力不能完全 被惯性力抵消 D E B A 1 为什么月球对潮汐的影响比太阳大 1 为什么月球对潮汐的影响比太阳大 绕地球与 飞船共同 的质心转 动 绕地球与 飞船共同 的质心转 动 在加速度为在加速度为a a0 0的平 动非惯性系中观察 的平 动非惯性系中观察 v 经计算 太阳引起的潮高 经计算 太阳引起的潮高 m25 0 2 3 3 E ES E E S S R r R M M h 月亮引起的潮高 月亮引起的潮高 m56 0 2 3 3 E EM E E M M R r R M M h 一般情况下 一般情况下 h hS S和 和 h hM M是矢量相加的 只有太阳 地球和月亮几乎在同一直线上时 二者才是算术相加的 是矢量相加的 只有太阳 地球和月亮几乎在同一直线上时 二者才是算术相加的 地球 月亮 涨潮 落潮 地球 月亮 涨潮 落潮 月球对地面上海水的引潮力月球对地面上海水的引潮力 落潮 涨潮 落潮 涨潮 月 月 日 月 月 日 地地 地地 大潮大潮 小潮小潮 大潮与小潮大潮与小潮 日日 引潮力常触发地震 引潮力常触发地震 地震常发生于阴历初一地震常发生于阴历初一 十五附近 大潮期 十五附近 大潮期 1976 阴7 2 唐山 1993 阴8 15 印度 1995 阴12 17 神户 2001 阴2 1 四川雅江 1976 阴7 2 唐山 1993 阴8 15 印度 1995 阴12 17 神户 2001 阴2 1 四川雅江 如 如 2001 阴2 2 印尼2001 阴2 2 印尼 固体潮 形变 固体潮 形变 月月 变形滞后 造成地 球对月球引力矩 阻止月球自转 变形滞后 造成地 球对月球引力矩 阻止月球自转 地球地球 使月球自转和公转周期最终达到一致 使月球自转和公转周期最终达到一致 影响 影响 使地球自转变慢 使地球自转变慢 使接近大星体的小星体 使接近大星体的小星体 r r r rc c 被引潮力撕碎 被引潮力撕碎 化石生长线判断 3亿年前 一年约400天 由植物年轮 珊瑚和牡蛎 如SL 9彗星被木星引潮力撕碎 1992 化石生长线判断 3亿年前 一年约400天 由植物年轮 珊瑚和牡蛎 如SL 9彗星被木星引潮力撕碎 1992 根据计算 赵凯华罗蔚茵编 力学 P385 将被主星的引潮力撕碎 根据计算 赵凯华罗蔚茵编 力学 P385 将被主星的引潮力撕碎 3 1 3 Rrc R R 主星半径 主星半径 主星密度 主星密度 伴星密度伴星密度 洛希极限洛希极限 对地球对地球 月球系统 月球系统 地 月 地 地月地 月 地 地月 RRrc7 1 3 3 1 若伴星的轨道半径小于某个临界半径若伴星的轨道半径小于某个临界半径r rc c 它 它 令令 设设S S 系相对惯性系 系相对惯性系S S 匀速转动 匀速转动 1 物体1 物体m m 在在S S 中静止 中静止 2 ns rmamf rr r 即 即 0 2 s rmf r r S 0 a r 0 0s amFf v rr S 则则rmF r r 2 0 惯性离心力惯性离心力 inertial centrifugal force rm r 2 二 匀速转动非惯性系中的惯性力二 匀速转动非惯性系中的惯性力 S r S m fS o 中向心力与惯性离心力平衡 中向心力与惯性离心力平衡 m 静止 静止 S 重力和纬度的关系 重力和纬度的关系 重力并非地球引力 而是引力和惯性离心力的合力 重力加速度 重力并非地球引力 而是引力和惯性离心力的合力 重力加速度g g 和地球纬度和地球纬度 的的 cos1 2 0 0 0 g a gg 式中 式中 22 0 ms034 0 Ra 2 2 e 0 ms83 9 R GM g G G 万有引力常量 万有引力常量 Me 地球质量 地球质量 R 地球半径 地球半径 地球自转角速度 关系式为 自己推导 地球自转角速度 关系式为 自己推导 F引 引 r F0 m P R O 由于地球自转 地面物体会受到惯性离心力的作用 由于地球自转 地面物体会受到惯性离心力的作用 2 物体2 物体m 在在S 中运动 中运动 设物体设物体m m 在在S S 中有速度 中有速度 v r 有关的惯性力 先看有关的惯性力 先看一个特例 一个特例 r m const S S O v 光滑凹槽光滑凹槽 在惯性系在惯性系 地面 地面 S S r r mF 2 v 2 2 2 mrmm v r v 在非惯性系在非惯性系 桌面 桌面 S S amF r a 2 v 向心加速度向心加速度 1 科里奥利力 1 科里奥利力 则在则在S S 中看 中看 m 除受惯性离心力外 除受惯性离心力外 v r 还要附加一个与速度还要附加一个与速度 2 2 2 m