勾股数与勾股数组的解.doc

学院学 术 论 文题 目: 勾股数与勾股数组的解学号： 学校： 专业： 班级： 姓名： 指导老师： 时间： 勾股数与勾股数组的解摘 要：能够成为直角三角形三条边的长的三个正整数称为勾股数勾股数的全体则组成勾股数的集合。对大于2的正整数x，给出了：求满足方程x2+y2=z2的正整数解（y,z）的一个公式；由x所确定的正整数解（y,z）的个数；满足（x,y,z）=1的正整数解的充要条件。关键字：初中数学 勾股数 互补的约数对 勾股整数 勾股数组Pythagorean triple Pythagorean solution withQin LuoScience and Technology Department of Mathematics, Jiangxi Normal University 330038 Abstract: The three sides of a right triangle can be a long three positive integers is called Pythagorean triple. Pythagorean triple is composed of all the set of Pythagorean triple. A positive integer larger than 2 x, is given: to meet the demand equation x 2 + y 2 = z 2 of positive integer solutions (y, z) of a formula; determined by the x positive integer solutions (y , z) the number; meet (x, y, z) = 1 for positive integer solutions of the necessary and sufficient conditions.Keywords: junior high school mathematics Pythagorean triple complementary about the number of integers on the Pythagorean Pythagorean引言1.1勾股数的定义勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 根据的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。1.2 直角三角形与勾股定理设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。 例：已知在ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n1)，求证：C=90。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26等1.3 勾股公式和证明证明：a=2mn b=m2-n2 c=m2+n2 证： 假设a2+b2=c2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可） 如果a,b均奇数，则a2 + b2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 1.4 关于勾股定理还是有局限的依照算术基本定理，k2 = p1a1 * p2a2 * p3a3 * .，其中a1,a2.均为偶数，p1,p2,p3.均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi1与刚才的证明矛盾 所以对于所有质因子,pi2|M, pi2|N，即M，N都是平方数。 设M = m2, N = n2 从而有c+b = 2m2, c-b = 2n2，解得c=m2+n2, b=m2-n2, 从而a=2mn目前，关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15.，就不能全部有公式计算出来。 1.4.1 勾股数须知连续的勾股数只有3，4，5 连续的偶数勾股数只有6，8，10 2.1 勾股数组当整数a,b,c满足a2+b2=c2这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。 容易看出，勾股数组源于勾股定理，是人们为了解出满足勾股定理的不定方程的所有整数解而创造的概念。 2.1.1常用勾股数组1.（3、4、5） 2.（6、8、10） 3.（5、12、13） 4.（8、15、17） 5.（7、24、25） 6.（9、40、41） 7.（11、60、61） 8.（12、35、37） 9.（48、55、73） 10.（13、84、85） 11.（20、21、29） 12.（20、99、101） 13.（60、91、109） 14.（15、112、113） 2.1.2 求法设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。 例：已知在ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n1)，求证：C=90。 此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17、10、24、26等。 再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13，7、24、25、9、40、41，11、60、61这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n平方+2n、2n平方+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。 另外我们还可以通过理论得出推算公式为a=m2-n2, b=2mn，c=m2+n2，详见圆和二次方程上海教育出版社 2.