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地图的数学基础 Tom Xu 中国地质大学 北京 土地学院 March 2006 序 1 地球体 1 1 地球的自然表面 1 2 地球的物理表面 1 3 地球的数学表面 2 坐标系与高程系 2 1 坐标系 2 2 高程系 2 3 卫星定位技术 3 地图比例尺 3 1 地图上标注的地图比例尺的形式 3 2 地图的比例尺系统 4 地图投影 4 1 地图投影的实质 4 2 地图投影的变形 4 3 地图投影的分类 4 4 地图投影的选择 4 5 地图投影的变换 5 地图定位 5 1 地形图的定位 5 2 小比例尺地图的定位 序 地图的数学基础 是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的经纬网 坐标 网 大地控制点 比例尺等数学要素 为了解地图上这些数学要素是怎么建立起来的 首先必须搞清楚地球是一个怎样的形体 然后 便引 出另一个问题 地球是圆的还是平的 空间采取什么样的方法 才能将球面的景物精确地描绘到平面图纸 上 这是地图学要解决的第一个矛盾 从而引出经纬网 坐标网和大地控制点的概念 而讨论这些内容的 目的 是要解决球面上点位的坐标 与图面上相对应点位的坐标 如何建立起严格的一一对应的函数关 系 这就是地图投影要回答的问题 地图是地面景物的缩小表示 将地球表面的景物描绘到地图面上 遇到的第二矛盾是大与小的矛盾 要解决这个矛盾 必须将地面景物依照一定的比率进行缩小表示 这就是比例尺所要解决的问题 1 地球体 1 1 地球的自然表面 人类很早就很关注自己世代繁衍生息的场所 但由于古代的科学技术不发达 人类对自己生活空间的 认识曾相当局限 如早在我国春秋时期 公元前770 476年 就曾有 天圆地方说 后来称之为 盖 天说 后汉时期的张衡 公元79 139年 创立了 浑天说 提出了大地是球体的概念 古希腊学者托 勒密在公元2世纪创立了 地心说 也认为大地是个球形体 大地是宇宙的中心 其他星球均围绕大地 页码 1 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 运行 但是 对大地是球体的早期认识 应该归功于古希腊学者毕达哥拉斯 Pythagoras 公元前580 前500 年 和亚里斯多得 Aristotle 公元前384 322年 他们在两千多年前就确信地球是圆的 但直到公元前 200年 才由古希腊学者埃拉托色尼具体算出地球周长 从 天圆地方说 到如今利用人造地球卫星进行地球椭球休的精确测定 反映了随着科学技术的进 步 人们对大地形状的认识也在不断前进 时至今日 人们早已接受地球是球体的结论 但是地球究竟是 一个怎样的球体却并不是所有人都能准确回答的 通过天文大地测量 地球重力测量 卫星大地测量等精密测量 都提供了这样一个事实 地球并不是 一个正球体 而是一个极半径略短 赤道半径略长 北极略突出 南极略扁平 近于梨形的椭球体 这里 所谓的 梨形 其实是一种形象化的夸张 因为地球南北半径的极半径之差仅在几十米范围内 这与地 球固体地表的起伏 或地球极半径与赤道之差都有 左右相比 是十分微小的 况且 已经有证据表 明 这种 梨形 还不一定会长期保持下去 1 2 地球的物理表面 由于地球表面自然表面凹凸不平 形态极为复杂 显然不能作为测量与制图的基准面 因此 应该寻 求一种与地球自然表面非常接近的规则曲面 来代替这种不规则的曲面 这种理想的规则曲面 是一个与 静止海平面相重合的水准面 这个海平面应该是无波浪 无潮汐 无水流 无大气压变化 处于流体平衡 状态的平面 假想以这个水准面作为基准面向大陆延伸 并穿过陆地 岛屿 最终形成了一个封闭曲面 这就是大地水准面 但事实证明 大地水准面仍然不是一个规则的曲面 因为 当海平面静止时 自由水面必须与该面上 各点的重力线方向相正交 由于地球内部质量的不均一 造成重力场的不规则分布 因而重力线方向并非 恒指向地心 导致处处与重力线方向相正交的大地水准面也不是一个规则的曲面 大地水准面实际上是一 个起伏不平的重力等位面 即地球物理表面 由大地水准面包围的形体称大地体 是一种逼近于地球本身形状的一种形体 可以称为大地体对地球 体的一级逼近 3 地球的数学表面 大地体是由大地水准面包围而成的 由于大地水准面是个不规则的曲面 因此它的表面仍然不能用数 学模型定义和表达 必须寻求一个与大地体极其接近的形体来代替大地体 人们假想 可以将大地体绕短 轴 地轴 飞速旋转 就能形成一个表面光滑的球体 即旋转椭球体 或称地球椭球体 地球椭球体表面 是个可用数学模型定义和表达的曲面 这就是我们所称的地球数学表面 地球椭球体表面可以称为对地球 形体的二级逼近 测量与制图工作将以地球椭球体表面作为几何参考面 将大地体上进行的大地测量结果归算到这一参 考面上 地球椭球体上有长轴和短轴之分 长轴 a 即赤道半径 短轴 b 即极半径 f a b a称为地球的 扁率 由此可见 地球椭球体的形状和大小取决于a b f 因此 称a b f为地球椭球体三要素 或称描 述地球形状与大小的参数 当求得地球椭球体三要素值之后 必须进一步通过数学方法实现对地球形体的三级逼近 即通过地球 椭球体定位 将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上 并且求出地球椭球各点至大地水准面的投 影距离N及垂线偏差 进一点从数学上给出对地球形状的三级逼近的大地水准面 图1 km20 页码 2 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 图1 地球自然表面 大地水位面 地球椭球面 在天文大地测量中 首先选取一个对一个国家比较适中的大地测量原点 并从此点出发通过事先布设 的三角网点进行几何测量和天文经纬度测量 逐一求出各网点的N和 再以上述的测量结果将事先设置 的地球椭球面位置调整到最理想的位置上 这种定位 相对而言于全球而言 只能是局部定位 局部定位 的地球椭球体 称为参考椭球体 国际上有多种大地测量原点和参考椭球 表1 表1 国际主要的椭球参数 我国在1953年以前使用海福特椭球参数 1953年以后改用克拉索夫斯基椭球参数 1978年开始 我国 决定在西安对地球椭球体重新定位 但建立我国的参考椭球及相应大地网并非一蹴而就 需要经过若干年 大量的测量工作方能完成 2 坐标系与高程系 地面点或空间目标位置需由三维数据来决定 即由确定平面 球面 位置的坐标系和确定空间高度的 高程系来定位 这个问题是一个与人类的生产活动与科学技术发展息息相关的重大问题 长期以来 人们 一直在寻找一种精确的定位方法 本节将讨论如何建立一个科学的球面坐标系统问题 关于球面坐标系统的建立 可以假想地球绕一个想象中的地轴旋转 轴的北端称为地球的北极 轴的 南端称为地球的南极 想象中有一个与地轴相垂直的平面能将地球截为相等的两半 这个平面与地球相交 椭球名称 年代 长半径 m 扁率 附注 德兰勃 Delambre 1800 6375653 1 334 0 法国 埃弗瑞斯 Everest 1830 6377276 1 300 801 英国 贝塞尔 Bessel 1841 6377397 1 299 152 德国 克拉克 Clarke 1866 6378206 1 294 978 英国 克拉克 Clarke 1880 6378249 1 293 459 英国 海福特 Hayford 1910 6379388 1 297 0 1942年国际第一个 推荐值 克拉索夫斯基 1940 6378245 1 298 3 苏联 1967年大地坐标系 1967 6378160 1 298 247 1971年国际第二个 推荐值 1975年大地坐标系 1975 6378140 1 298 257 1975年国际第三个 推荐值 1980年大地坐标系 1980 6378137 1 298 257 1979年国际第四个 推荐值 WGS84 1984 6378137 1 298 257 1984年国际推荐值 页码 3 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 的线是一个圆 这个圆就是地球的赤道 我们将一条过英国格林尼治天文台旧址和地轴所组成的平面 与地球球面的交线定义为本初子午线 以地球的北极 南极以及本初子午线作为基本要素 即可构成地球 球面的坐标系统 1 坐标系 用来表示地面点位置的坐标系的种类很多 但与地图及测绘密切相关的有地理坐标系和平面坐标系 等 1 地理坐标系 地理坐标系就是用经纬度表示地面点位的球面坐标系 对于地理坐标系统中的经纬度有三种不同的提 法 天文经纬度 大地经纬度和地心经纬度 天文经纬度 在大地测量中常以天文经纬度定义地理坐标 天文经度 即为观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午 面间的两面角 或视为一个天体在上述两地的时角差 在天文学和大地测量学中 常用时间单位表示 天 文经度在地球上定义 即本初子午面与观测点之间的两面角 天文纬度即赤纬 在地球上定义 即为铅垂 线与赤道平面间的夹角 大地经纬度 通常在大地测量中 所有的观测值在概算时均应尽量改化到参考椭球面上 地面上任意点A的位置 可用大地经度 大地纬度和大地高度表示 大地经度 即指参考椭球面上某一点的大地子午面与本初子午面间的两面角 通常由本初子午面向 东西量度 向东为东经 E 向西为西经 W 图2 按规定 东经为正 西 经为负 大地纬度 即指参考椭球面上某一点的垂直线 亦称法线 与赤道面的夹角 由赤道向南北两极量 度 向北为北纬 N 向南为南纬 S 按规定北纬为正 南纬为负 大地经纬度 构成的大地坐标系 在大地测量计算中广泛应用 图2 大地经纬度定义 地心经纬度 这里所指的地心 即地球椭球体的质量中心 地心经度等同大地经度 地心纬度是指参考椭球面上任 一点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角 由于实际工作的需要不同 考虑到地球形状精确程序亦各异 因而便出现上述几种有关经纬度的提 h oo 180 0 oo 180 0 oo 90 0 oo 90 0 页码 4 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 法 在大地测量学中 常以天文经纬度定义地理坐标 但在地图学中 认为以大地经纬度来定义地理 坐标更好 因为天文经纬度定义的地理坐标 其经纬度的地面等值线均扭曲成非平面曲线 而以大地经纬 度定义的地理坐标 是在规整的椭球面上构建的 每条经纬线投影到平面上皆呈直线或平滑曲线 因此便 于地图投影 但由于各国采用的大地原点和大地经纬网坐标值皆以本国规定的参考椭球为基准 因而出现 世界各国间的不一致性 表2 是部分国家的地理坐标系 为此 目前世界各国的地理经度均采用天文 经度 在地理学研究及地图学的小比例尺制图中 由于要求的精度不高 通常将椭球体当成正球体看待 地理坐标均采用地球表面的球面坐标 经纬度均用地心经纬度 表2 部分国家的坐标系 我国的大地坐标系包括过去使用的 1954北京坐标系 和现在使用的 1980国家大地坐标系 两种 1954年北京坐标系 新中国成立前 我国实际上没有统一的大地坐标系 建国初从前苏联1942年坐标系联测并经过平差计 算而引伸到我国 才建立了 1954北京坐标系 该坐标系的原点在前苏联西部的普尔科夫 采用克拉索 夫斯基椭球元素 据前苏联20世纪20 30年代大地测量成果推算的 致使椭球面与我国大地水准面不能 很好地符合 产生的误差较大 加上1954年北京坐标系的大地控制点坐标多为局部平差逐次获得的 实际 上连不成一个统一的整体 这对于发展我国空间技术和国防尖端技术及大规模的经济建设都是不利的 1980国家大地坐标系 我国在积累了30余年测绘资料的基础上 通过全国天文大地网整体平差建立了我国的大地坐标系 该 坐标系采用1975年IUGG IAG第16届大会推荐的地球椭球参数 长半径 及动力形状因 子 地心引力常数 自转角速度等数据 椭球短轴平行于由地球质心指向1968 0地极原点 JYP 的方 向 首子午面平行于格林尼治天文台的子午面 国家大地原点设在陕西省泾阳县 该系统的优越性主要表现在 椭球参数精度高 4个参数是一个完整的系统 克氏椭球只给定了长半 轴与扁率 仅描述了地球面的几何形状 定位所决定的椭球面与我国大地水准面符合较好 天文大地网 坐标传算误差 天文重力水准路线传算误差都不致太大 天文大地网坐标经过了全国的整体平差 坐标统 坐标系名称 使用国家 原点 经纬度 B L 1942年坐标系 前苏联及东欧各国 普尔科夫 N 55 184659 o E 09 421930o 1927年北美坐标 系 美国 加拿大 墨西 哥 堪萨斯州 N 686 261339 o W 506 303298o 1952年欧洲坐标 系 英国 法国 西德 比利时 荷兰 挪 威 土耳其 波兹坦 N 445 512252 o W 928 580313o 1948年东京坐标 系 日本 东京 N 95 340326 o W 50 4044139o 卡兰普尔坐标系 印度 缅甸 巴基斯 坦 卡兰普尔 N 26 110724 o W 57 173977o 銮山坐标系 泰国 銮山 N 34 304313 o W 94 223299o ma6378140 页码 5 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 一 精度优良 可直接满足1 5000甚至更大比例尺测图的需要等 采用这一坐标系后 对于国家已成的基本比例尺地形图将主要带来如下变化 a 图廓尺寸变化在各种比例尺地形图上均不超过 但图角点位发生显著变化 b 图幅内点位相对关系发生变化 但一般不大于实地 少数在之间 c 图幅内的点在高斯平面坐标系中位置发生显著变化 即使是1 50万地图 点位在图上的变化也超 过 在广袤的区域上进行测量与制图 不可能独家一次完成 必然要由许多单位分期分批完成 为了保证 测量成果既在精度上符合统一要求 又能互相衔接 首先必须在全国范围内选取若干有控制意义的点 并 且精确测定其平面位置和高程 构成统一的大地控制网 大地控制网 简称大地网 由平面控制网和高程 控制网组成 平面控制网 亦称水平控制网 一般可由三角测量或导线测量完成 三角测量方法建立平面控制网 是以大地原点为基础 在地面上选择一系列控制点 并建立起一系列相连接的三角形 组成三角锁和三角 网 当已知大地原点坐标和以大地原点至邻近一大地点连线作为起始边的长度及方位角 即可实施三角测 量 通过精确测定各三角形内角 利用正弦定理即可推算出各三角形边长及三角形顶点坐标 三角测量为 了达到层层控制的目的 由国家测绘主管部门统一布设了一 二 三 四等三角网 一等三角锁 是全国 平面控制的骨干 由近于等边的三角形构成 边长 布设形式基本按经纬度方向 每个锁段长 约 锁段内的三角形一般为16 20个 图3 一等三角测量的精度最高 在一等三角锁内布设二 等三角网 实际上二等三角网是在一等三角锁基础上扩展的 三角形平均边长 这样可以保证在测 绘1 10万 1 5万地形图时 每内有一个大地控制点 即每幅图内不少于3 个大地控制点 在二 等三角网的基础上进一步插补三等三角网或点 三等三角网点密布全国 三角形平均边长约 这样可 以保证1 2 5万测图时 每内有一个大地控制点 即每幅图内有个控制点 四等三角网点往 往由测量实施单位自行布设 边长约 可以保证在测1 1万测图时 每点可以控制 即每幅 内有个控制点 mm1 0 m5 1m15 5 1 mm1 0 km25 20 km200 km13 2 150km km8 2 50km3 2 km4 2 20km 2 1 页码 6 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 图3 三角锁 三角网及导线示意图 导线测量 是把各个控制点连接成连续的折线 然后测定这些折线的边长和转角 最后根据起算点的 坐标和方位角推算其他各点坐标 导线测量有两种形式 从一个高等级控制点出发开始测量 最后再回到 这个控制点 形成一个闭合多边形 称为闭合导线 当导线从一个高等级控制点开始测量 最后附合到另 一个高等级控制点 则称为附合导线 作为国家控制网的导线测量 也可以分为一 二 三 四等 通常 将一 二等导线测量称为精密导线测量 一等导线主要沿交通干线布设 构成纵横交叉的导线环 环长一般为 几个导线环 构成导线网 导线网与等三角锁妥善衔接 构成统一的控制网 二等导线布置在一等导线环或二等三角锁 内 周长 在测量条件特殊困难地区 可用精密导线测量代替一 二等三角测量 组成三 角导线联合网 作为国家大地网的基础 2 平面坐标系 将椭球面上的点通过地图投影的方法投影到 地图 平面上时 通常使用平面坐标系 即平面极坐标 系和平面直角坐标系 它们与数学中的坐标系原理相同 平面极坐标系 用某点至极点的距离和方向 矢量角 表示该点位置的方法 称为极坐标法 这种方法 主要用于地图投影理论研究 平面直角坐标系 是用直角坐标原理确定一点的平面位置的方法 只是测绘中所使用的直角坐标系与数 学中有所不同 即X轴和Y轴互换了位置 以便角度角从X轴开始按顺时针方向计量 在实际测绘作业中 多采用平面直角坐标系来建立地图的数学基础 通过地图投影 将地面控制点 三角点 和一些特殊点 例如图廓点 经纬网交点等 的地理坐标换算成平面直角坐标 进行展绘 制 作地图 有关投影的知识请参考第4节内容 km2000 1000 km1000 500 页码 7 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 2 高程系 高程是指由高程基准面起算的地面点高度 高程基准面是根据验潮站所确定的多年平均海水面而确定 的 图4 图4 高程起算及高程 地面点至平均海水面的垂直高度即为海拔高程 也称绝对高程 简称高程 地面点之间的高程差 称 之相对高程 简称高差 实践证明 在不同地点的验潮站所得的平均海水面之间存在着差异 选用不同的基准面就有不同的高 程系统 例如 我国曾经使用过1954年黄海平均海水面 坎门平均海水面 吴淞零点 废黄河零点和大沽 零点等多个高程系统 均分别为不同地点的验潮站所得的平均海水面 1 1956年黄海高程系 一个国家一般只能采用一个平均海水面作为统一的高程基准面 为使我国的高程系统达到统一 规定 采用以青岛验潮站1950 1956年测定的黄海平均海水面作为全国统一高程基准面 其他不同高程基准面推 算的高程均应归化到这一高程基准面 凡由该基准面起算的高程 统称为 1956年黄海高程系 统一的 高程基准面的确立克服了建国前高程基准面混乱 还有许多省区以假定高程作为起算 不同省区的地图 在高程系上普遍不能接合等弊端 我国20世纪80年代以前均采用此高程系测绘地图 1956年黄海高程系的水准原点设在青岛市的观象山上 它对黄海平均海水面的高程为 国家 各等级的高程控制点 水准点 埋石点等 的高程数值 都是由该点起 通过水准测量等方法传算过去 构成全国高程控制网 从而为测绘地图提供了必要条件 地图上的多种高程控制点均用不同的符号区分表示 2 1985年国家高程基准 由于观测数据的累积 黄海平均海水面发生了微小变化 国家决定启用新的高程系 并命名为 1985 国家高程基准 该系统是采用青岛验潮站1952 1979年潮汐观测资料计算的平均海水面 国家水准原点和高程值 使高程控制点的高程产生了微小变化 但对已成地图上的等高线和影响可以忽略不计 可认 为是没有变化的 人造地球卫星的迅速发展 为精确测定地球的形状 确定大地水准面与旋转椭球面的差 距 测定地面点的三维空间的坐标 起到了积极的推动作用 3 卫星定位技术 卫星定位技术是利用人造地球卫星进行点位测量的技术 当初 人造地球卫星仅仅作为一种空间的观 测目标 由地面观测站对它进行摄影观测 测定测站至卫星的方向 建立卫星三角网 现在 卫星三角网 m298 72 m260 72 页码 8 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 已经被除卫星多普勒定位所取代 使卫星定位技术从仅仅把卫星作为空间观测目标的低级阶段 发展 到了把卫星作为动态已知点的高级阶段 卫星定位系统包括三大部分 卫星星座 空间部分 地面监控系统 地面控制部分 信号接收机 用户设备部分 GPS全球定位系统 1973年12月 美国国防批准它的陆海空三军联合研制新的卫星导航系统 NAVSTAR GPS 它是英 文 Navigation Satellite Timing and Ranging Global Positioning System 的缩写词 其意为 卫星测时测距 导航 全球定位系统 简称GPS系统 该系统是以卫星为基础的无线电导航定位系统 具有全能性 陆 地 海洋 航空和航天 全球性 全天侯 连续性和实时性的导航 定位和定时的功能 能为各类用户 提供精密的三维坐标 速度和时间 其基本参数是 卫星颗数为21 3 卫星轨道面个数为6 卫星高度为20200 轨道倾角为55度 卫 星运行周期为11小时58分 恒星时12小时 载波频率为1575 42MHz和1227 60MHz 卫星通过天顶时 卫星可见时间为5小时 在地球表面上任何地点任何时刻 在高度角15度以上 平均可同时观测到6颗卫 星 最多可达9颗卫星 图5 GPS卫星星座 2000年5月 美国政府取消了限制民用精度的 SA 政策 仅在局部或个别卫星上实施 SA 技术 2003年在L2载波上提供了第二个民用信号 2006年增加了第三个民用频率L5 1176 45MHz 并且提高了发 射功率 进一步提高程GPS的可用性 安全性和完善性 GLONASS全球导航卫星系统 GLONASS的起步晚于GPS9年 从前苏联于1982年10月12日发射第一颗GLONASS卫星开始 到1996 年 13年时间内历经周折 虽然遭到苏联的解体 由俄罗斯接替部署 但始终没有终止或中断GLONASS 卫星的发射 1995年初只有16颗GLONASS卫星在轨工作 1995年进行了三次成功发射 将9颗卫星送入轨 道 完成了24颗工作卫星加1颗备用卫星的布局 经过数据加载 调整和检验 已于1996年1月18日正常运 行 GLONASS系统在系统组成和工作原理上与GPS类似 也是由空间卫星星座 地面控制和用户设备三 大部分组成 伽俐略GNSS系统 从1994年开始 欧空局进行了对伽俐略 Galileo GNSS系统的方案论证 2000年欧盟在世界无线电 大会上获得了建立GNSS系统的L频段的频率资源 欧盟15国交通部长一致同意伽俐略GNSS系统的建设 该系统目前已发射成功试验卫星 2008年完成全系统部署并投入使用 GNSS系统最主要的设计思想是 与GSS GLONASS不同 完全从民用出发 建立一个最高精度的全开 放型的新一代系统 同时又能与另外两者有机兼容 km 页码 9 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 双星导航定位系统 北斗一号 2000年底 我国发射了两颗 北斗导航试验卫星 加上地面中心站和用户一起构成了双星导航定位 系统 北斗一号 服务区域在东经70 145度 北纬5 55度范围 定位精度为 平面 高程 3 地图比例尺 地图比例尺是地图上主要的数学要素之一 它决定着实地的轮廓转变为制图表象的缩小程度 地图上微小线段的长度 与实地相应线段的水平长度之比 称之为地图比例尺 用下式表 示 例如 图上长 实地长 其比例尺为 3 1 地图上标注的地图比例尺的形式 1 地图上表示的比例尺有以下几种形式 数字式 用阿拉伯数字表示 例如 1 100000 或简写作1 10万 或表示 文字式 用文字注解的方法表示 例如 百万分之一 或简称百万分一 图上相当于实地 等 表达比例尺的长度单位 在地图上通常以计 在实地上以或计 例如 常常用 图上 相当于实地N 或 来表示比例尺 涉及到航海方面的地图 实地距离则常以海里 N 计 图解式 用图形加注记的形式表示的比例尺 例如 地形图上的直线比例尺 图6 m20 m10 lLM 1 LM 11 cml1 kmL1 100000 1 1 1 km cm 100000 1 cm1 km10 cmmkmcm1 mkmmile 页码 10 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 图6 地形图上的图解比例尺 小比例尺地图上 由于投影变形比较复杂 往往根据不同经纬度的不同变形 绘制一种复式比例尺 又称经纬线比例尺或诺谟图 用于不同地区长度的量算 图7是变形随纬度不同而变化的纬线比例尺 图7 双标准纬线等角圆锥投影的纬线比例尺 地图上通常采用几种形式配合来表示比例尺 最常见的是数字式和图解式的配合使用 2 地图比例尺的转换 由于各个国家使用地图的风俗习惯和历史传统各不相同 使得地图比例尺的转换成为必要 但由于当 前世界主要发达国家主要使用公制和英制两种 所以此处仅以这两种为例 例如数字比例尺为1 75000时 则其文字比例尺为 公制 图上 1代表 实地 75000 1 0 75 1 333 因此 1 333代表1 英制 图上 1代表 实地 75000 1 75000 63360 0 845 因此 0 845代表1 若数字比例尺为1 75000时 则其图解比例尺为 公制 13 33 1 0 10 13 33 13 33代表10 很容易绘出图解比例尺并细分 英制 0 845 1 0 10 8 45 8 45代表10 很容易绘出图解比例尺并细分 若图解比例尺表明1代表50 则其数字比例尺为 1代表50 100000 或 1比5000000 cmcm kmkm cmkm inchinch x x inchmile cmkmx cmkm x cmkm inchmilex cmmile xinch inchmile cmkm cmcm cmcm 页码 11 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 因此 数字比例尺为1 5000000 若图解比例尺表明1代表75 则其数字比例尺为 1代表75 63360 或 1比4752000 因此 数字比例尺为1 4752000 3 2 地图的比例尺系统 各个国家的地图比例尺系统是不完全相同的 特别是有的国家采用英制 换成公制较麻烦 我国采用十进位的米制长度单位 规定8种比例尺为国家基本地形图的比例尺系列 表3 表3 国家地形图基本比例尺系列 小比例尺地图没有固定的比例尺系统 根据地图的用途 制图区域的大小和形状 纸张和印刷机的规 格等条件 在设计地图时确定其比例尺 但是 在长期的制图实践中 小比例尺地图也逐渐形成约定的比 例尺系列 例如 从已版的大量地图来看 多出现下列较为完整的数字比例尺 1 100万 1 150万 1 200万 1 250万 1 300万 1 400万 1 500万 1 600万 1 750万 1 1000万等 4 地图投影 地图一般为平面 而它所描述的对象 地球椭圆球面是一个不可展的曲面 将地球椭球面上的点转 换为平面上点的方法称为地图投影 4 1 地图投影的实质 地图投影的概念来源于西方 在中世纪 古地中海地区航海业比较发达 使这一地区的地图学家较早 地接受地球为球体的概念 因而产生了早期的地图投影 投影 Projection 一词源于几何学 因为早期 的地图投影多采用几何透视的方法来实现球面上的曲线 如经纬网 向平面转换 如图8 这种转换在 几何学中叫做投影 现在的地图投影绝大多数是非透视的数学转换 然而 投影一词源远流长 沿用下来 并不妨碍对其进行研究 inchmile inchinch inchinch 数字比例尺 文字比例尺 地图名称 图上1相当于实际 的数 cm km 实地1相当于图上 数 km cm 1 5000 五千分之一 0 05 20 1 10000 一万分之一 0 1 10 1 25000 二万五千分之一 0 25 4 1 50000 五万分之一 0 5 2 1 100000 十万分之一 1 1 1 250000 二十五万分之一 2 5 0 4 1 500000 五十万分之一 5 0 2 1 1000000 百万分之一 10 0 1 页码 12 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 图8 球心投影示意图 这样一来 我们可以把地图投影理解为是建立平面上的点 用平面直角坐标或极坐标表示 和地球表 面上的点 用纬度和经度表示 之间的函数关系 用数学公式表达这种关系就是 以上为传统意义上的地图投影的含义 它针对的地球是表静态的 地图是二维的 矢量的 现代科学 技术的发展 使地理数据的获取形式多样 三维地图地日趋发展 也使地图不再局限于平面 这些已成为 地图投影学所面临的重要课题 因此 地图投影的理论基础 方法 研究内容都有了新的发展 有待用新 的概念来描述其实质 这也是学科发展的必然趋势 本节中地图投影的概念是基于传统意义上的地图投 影 4 2 地图投影的变形 由于椭球面是一个不可展的曲面 所以将地球椭球面 或球面 上的点投影到平面上 必然会产生变 形 在地球面上一定间隔的经差和纬差构成经纬网格 相信两条纬线间的许多网格具有相同的开关和大 小 但投影到平面上后 往往产生明显的差异 图9 这就是投影变形所致 这种变形表现在开关和大 小上发生了变形 实质上 就是由投影产生了长度变形 面积变形及角度变形 2 1 fy fx 页码 13 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 图9 投影变形差异变形图 在计算地图投影或制作地图时 将地球椭球按一定比率缩小而表示在平面上 这个比率称为地图上的 主比例尺 或称普通比例尺 地图上除保持主比例尺的点或线以外其他部分的比例尺称为局部比例尺 主 比例尺只有在计算地图投影时才用到 4 3 地图投影的分类 地图投影的种类很多 从理论上讲 由椭球面上的坐标向平面坐标转换可以有无穷多种 方式 也就是说可能有无穷多种地图投影 以何种方式将它们进行分类 寻求其投影规律 是很有必要 的 人们对于地图投影的分类提出的方案很多 目前主要是依外在的特征和内在的性质来进行分类的 前 者体现在投影平面上经纬线投影的形状 具有明显的直观性 后者则是投影蕴含的变形的实质 决定投影 的分类时 应把两者结合起来 才能较完整地表达投影 一 按投影的变形性质分类 按投影的变形性质 可将地图投影分为等角投影 等面积投影 任意投影 图10 图10 各种不同变形性质的投影图上变形椭圆示意 1 等角投影 等角投影是指角度没有变形的投影 椭球面上一点处任意两个方向的夹角投影到平面上保持大小不 yx 页码 14 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 变 若用变形椭圆解释 保持等角条件必须是 球面上任一处的微分圆投影到平面上之后仍为正圆而不是 椭圆 长度比在一点上不因方向改变而改变 永远保持 即经纬线夹角 因此 等角投影也称相似投影或正形投影 但应该说明一点 在不同点上长度比大小是各不相同 的 即具体表面为的值 在有的点上大于1 有的点上小于1 个别点上等于1 由投影的面 积比公式可以看出 等角投影面积变形大 由于等角投影保持角度不变 因此适用于变通图 洋流图 风向图等 2 等面积投影 等面积投影是指面积没有变形的投影 投影面上的面积与椭球面上相应的面积保持一致 用变形椭圆解释 保持等积条件必须令 即变形椭圆的最大长度比与最小长度比互为倒数关 系 由此看来 在不同点上变形椭圆的形状相差很大 即长轴越长 则短轴越短 也就是说 在等积投影上以破坏图形的相似性来保持面积上的相等 因此 等积投影的角度变形大 由于这类投影保持面积不变 利于面积对比 故适用于对面积精度要求较高的自然地图和社会经济地 图 3 任意投影 任意投影是指既不能满足等角条件 又不能满足等积条件 长度变形 面积变形以及角度变形同时存 在的投影 在任意投影中 有一种成为特例的投影 即沿主方向之一长度没有变形 称为等距离投影 所谓等距 投影 并不是这类投影不存在长度变形 而是只保持变形椭圆主方向中某一个长度比等于1 即 任意投影中三种变形都有 但其角度变形没有等面积投影中的角度变形大 面积变形没有等角投影中 的面积变形大 任意投影多用于对面积精度和角度精度没有什么特殊要求的 或者也可以是对面积变形和角度变形都 不希望太大的一般参考图和中小学教学用图 二 按投影方式分类 地图投影前期是建立在透视几何原理基础上 借助于辅助面将地球 椭球 面展开成平面 称为几何 投影 后期则跳出这个框架 产生一系统按数学条件形成的投影 称为条件投影 一 几何投影 几何投影的特点是将椭球面上的经纬线投影到辅助面上 然后再展开成平面 在地图投影分类时根据 辅助投影面的类型及其与地球椭球的关系划分 图11 ba o 90 nm 0 nmba nmbaP 1 ba abba 1 1 或 11 ba或 页码 15 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 图11几何投影的类型 1 按辅助投影面的类型划分 方位投影 以平面作为投影面的投影 圆柱投影 以圆柱面作为投影面的投影 圆锥投影 以圆锥面作为投影面和投影 2 按辅助投影面和地球 椭球 体的位置关系划分 正轴投影 辅助投影平面与地轴垂直 如图g 或者圆锥 圆柱面的轴与地轴重合 a d 的投影 横轴投影 辅助投影平面与地轴平等 i 或者圆锥 圆柱面的轴与地轴垂直 c f 的投影 斜轴投影 辅助投影平面的中心法线或圆锥 圆柱面的轴与地轴斜交 b e h 的投影 3 按辅助投影面与地球 椭球 面的相切或相割关系划分 切投影 辅助投影面与地球 椭球 面相切 b c d f g h 割投影 辅助投影面与地球 椭球 面相割 a e i 二 条件投影 条件投影是在几何投影的基础上 根据某些条件按数学法则加以改造形成的 对条件投影进行分类实 质上是按投影后经纬线的形状进行分类 由于随着投影面的变化 经纬线的形状会变得十分复杂 在此我 们只讨论正轴条件下的经纬线开关其基础又是三种几何投影 如图12 页码 16 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 图12 正轴几何投影的经纬线形状 1 多圆锥投影 纬线投影成同轴圆弧 中央经线投影成直线 其他经线投影为对称于中央经线的曲线 图13 图13 多圆锥投影 2 伪方位投影 纬线投影成同心圆 中央经线投影成直线 其他经线投影为相交于同心圆圆心且对称于中央经线的曲 线 图14 页码 17 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 图14 伪方位投影 3 伪圆柱投影 纬线投影成一组平行直线 中央经线投影为垂直于各纬线的直线 其他经线投影为对称于中央经线的 曲线 图15 图15 伪圆柱投影 4 伪圆锥投影 纬线投影成同心圆弧 中央经线投影成过同心圆弧圆心的直线 其余经线投影为对称于中央经线的曲 线 图16 页码 18 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 图16 伪圆锥投影 三 高斯 克吕格投影 高斯 克吕格投影是等角横切椭圆柱投影 从几何意义上来看 就是假想用一个椭圆柱套在地球椭球 外面 并与某一子午线相切 此子午线称中央子午线或中央经线 椭圆柱的中心轴位于椭球的赤道面 上 如图17所示 再按高斯 克吕格投影所规定的条件 将中央经线东 西各一定的经差范围内的经纬线 交点投影到椭圆柱面上 将此圆柱面展开为平面 即得本投影 图17 高斯 克吕格投影示意 这个投影可由下述三个条件确定 1 中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线 且为投影的对称轴 2 投影具有等角性质 3 中央经线投影后保持长度不变 高斯 克吕格投影 通常是按或分带投影 经纬网的形状 除中央经线与赤道为相互垂直的直线 o 6 o 3 页码 19 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 外 其他经线均为对称于中央经线并交于两极的凹向曲线 其他纬线均为对称于赤道并弯向两极的凸 向曲线 经线与纬线成正交关系 图18 该投影无角度变形 即 中央经线长度比 没有 长度变形 其余经线长度比均大于1 长度变形为正即 距中央经线愈远变形愈大 最大长度变形 在赤道与边纬的交点上 投影带边缘最大长度变形为0 14 最大面积变形0 27 我国国家基本比例尺地形图中的大中比例尺图 一律采用高斯 克吕格投影 其中1 1万比例尺的地 形图采用按经差分带 1 2 5万 1 50万比例尺地形图采用经差分带 具体分带法是 分带从本 初子午线开始 按经差为一个投影带自西向东划分 全球共分60个投影带 带号分别冠以 东 经为第1个投影带 为第2个投影带 依此类推 至西经为第59个投影带 西经 为第60个投影带 由于我国疆域在之间 因此包括了带共11个投影带 投影带是从东经经线开始 按经差为一个投影带自西向东划分 全球共分120个投影带 图17 为投影带和投影带划分及中央经线 带号相互之间的关系示意 图18 投影带和投影带划分及中央经线 带号相互之间的关系示意 为了便于地形图的量测作业 在高斯 克吕格投影带内布置了平面直角坐标系统 具体构成方法是 规定以中央经线为X轴 赤道为Y轴 中央经线与赤道交点为坐标原点 同时规定 值在北半球为正 南 半球为负 值在中央经线以东为正 中央经线以西为负 由于我国疆域均在北半球 值皆为正值 为 避免值出现负值 还规定各投影带的坐标纵轴均西移 中央经线上原横坐标值由0变为 在整个投影带内就不会出现负值 图19 例如 在某投影带内有 两点 A点位于中 央经线东侧 B点位于中央经线西侧 当坐标纵轴西移 后 则 0 1 0 m 1 V o 6 o 3 o 6 o 6 o 660 1 oo 6 0 oo 12 6 oo 6 12 oo 0 6EE oo 136 7223 13 o 3 301o o 3 o 6 o 3 o 6 o 3 x y x y km500 km500 y AB myA7 245863 myB7 245863 km500 myA7 745863 myB3 254136 页码 20 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 图19 坐标纵轴西移示意图 由于高斯 克吕格投影采用分带投影 并且在各带内均设有相同的平面直角坐标网 因此各带之间都 有相同坐标值的点位 为了使各带间的点位能够加以区分 又规定在每个点位横坐标值的百千米位数前 加上所在带号 假设 两点同位于20带内 则其通用坐标表示为 高斯 克吕格投影 欧美一些国家称之为横轴等角墨卡托投影 美国及其他一些国家地形图使用的UTM 投影 Universal Transverse Mercatol Projection 即通用横轴墨卡托投影 亦属横轴等角椭圆柱投 影 UTM投影 在投影带内有两条长度比等于1的标准经线 而中央经线的长度比为0 9996 因而使投影带 内变形差异更小 其最大长度变形不超过0 04 三 地图投影的命名 对于一个地图投影 完整的命名参照以下四个方面进行 1 地球 椭球 与辅助投影面的相对位置 正轴 横轴或斜轴 2 地图投影的变形性质 等角 等面积 任意性质三种 等距离投影属任意性质投影 3 辅助投影面与地球相割 相切 割或切 4 作为辅助投影面的可展面和种类 方位 圆柱 圆锥 例如正轴等角割圆锥投影 也称双标准纬线等角圆锥投影 斜轴等面积方位投影 正轴等距离圆柱 投影 横轴等角切椭圆柱投影 也称高期 克吕格投影 等 也可以用该投影的发明者的名字命名 在地图作品上 有时还注明标准纬线纬度或投影中心的经纬度 则更便于地图的科学使用 历史上也 有些投影以设计者的名字命名 缺乏投影特征的说明 只有在学习中了解和研究期特征 才能在生产实践 中正确地使用 4 4 地图投影的选择 地图投影的性质 经纬线形状对地图的使用有重大影响 选择地图投影是一项创造性的工作 没有现 成的公式 方案或规范 而要在熟悉各类地图投影的性质 变形分布 经纬线形状及所编地图的具体要求 的前提下 经过对比来选择 一 选择地图投影应考虑以下条件 1 制图区域 km500 y AB my my B A 3 20254136 7 20745863 通 通 页码 21 26地图的数学基础 2007 4 2mhtml file D down 地图的数学基础 mht 位置 极地附近宜选方位投影 中纬度地区宜选圆锥投影 赤道附近宜选圆柱投影 大小 范围大小影响投影误差 一个小的范围常常不管用什么投影都不会有太大差别 都能保证很高 的精度 对于一个面积很大的地区 例如区域的纬差超过 或直径超过 不同的投影其 误差就可能有较大的差别 区域形状 接近于圆形的区域可选择方位投影 例如中华人民共和国全图就选用斜方位投影 东西 延伸的区域 在赤道附近用圆柱投影 在中纬度地区用圆锥投影 南北延伸的地区多选用横圆柱投影 2 地图用途 地图用途决定着需选用何种性质的投影 要求各制图单元面积对比正确的地图 例如政区地图 常使 用等面积投影 要求方位正确的地图 例如地形图 使用等角投影 要求距离较精确的地图 例如交通 图 常使用任意投影中的等距离投影 有些地图已形成固定的模式 例如海洋地图都用墨卡托 等角圆柱 投影 航空基地图都用等距离方位投影 各国的地形图都用等角横切 割 圆柱投影 极少数用兰勃特 等角圆锥 投影 地图用途制约着选择的投影应达到的精度 用于精密量测的地图 其长度和面积变形应小于 角度变形小于 只进行近似量测的地图 长度和面积变形可达到 角度变形 仅用于目估测定地图数据时 长度和面积变形可放宽到 角度变形在以 内 不用于量测的地图 强调地图概念的正确 地图用途还同地图的使用方式有关 桌面用图要求较高的精度而不追求区域总的轮廓开关的视觉效 果 为了节约图面常可使用斜方位定向 挂图则着重强调区域形状视觉上的整体效果 一般不允许斜方位 定向 单幅地图只考虑区域本身的要求 拼幅地图还要考虑图幅拼接的需要等 这些又都反过来影响到制 图区域范围并影响投影选择 3 地图投影本身的特点 变形性质 不同性质的地图投影适合于不同的用途 变形大小和分布 变形分布的有利方向应配合制图区域的延伸方向 变形大小要能满足地图精度要 求 地球极点的表象 极点被投影成点 或接近于点 视觉上比较好 但整个制图区域的局部地区会有 很大变形 极点投影成线 虽然极地的投影变形较大 却可以换来区域内较均匀的变形分布 特殊线段的形状 墨卡托投影中等角航线成直线 这就是航海图采用该投影的理由 在球心投影上 地球表面两点间距离最近的大圆航线成直线 在世界图上看起来较直观 具体选择投影时 要综合考虑上述因素 对于同一个要求可能有几种投影都可以适应 从中选出适应 面最宽的投影 二 我国编制地