大学文科数学-课件2.pdf

2 微积分的直接基础 极限 2 1 数列极限 芝诺悖论 Aristotle Physics 亚里士多德对无穷 不可分 连续和不连续概念的大 量讨论的一个原因是他想反驳芝诺 Zeno 的悖论 芝诺提出这些悖论可能是想要说明当时运动的概念 不是十分清晰 同时也是为了说明任何对空间和时间 的分割方法都会导致问题 芝诺的第一个悖论 二分法 断言运动不存在 因为 运动着的物体要达到终点 首先必须经过路途的一半 当然它必须先走完这一半的一半 依此类推 这里 最基本的争论是物体不可能在无限多个时间段内走 完有限的路途 第二个悖论是阿基里斯 它断言 比 赛中 跑得最快的阿基里斯永远赶不上慢慢爬行的乌 龟 因为要追上龟 他必须先到达乌龟的出发点 因 此乌龟总是在阿基里斯的前面 亚里士多德在驳斥 这些悖论时承认 时间就像距离一样 是无限可分的 但他并不被物体可以在有限的时间内走过无限多段 距离所困扰 因为 如果在有限的时间内一个事物不 能与数量上无限的事物相联系 那么它总可与无限可 分的事物相联系 在这种意义上 时间本身也是无限 的 事实上 在这两个悖论中一旦给定了运动 我们 就可以计算出运动的物体何时到达终点 阿基里斯何 时超过乌龟 芝诺的第三和第四个悖论是要说明 当我们说由不可 分的元素构成一个连续的量时 将有什么情况发生 飞箭不动悖论说明了 如果处于一定空间的任一物 体是静止的 那么运动着的物体在任意时刻总是处于 一定的空间 因此飞箭是静止的 也就是说 如果有 不可分的时刻 飞箭在这些时刻静止不动 另外 既 然时间只是由时刻组成 那么飞箭就将总是处在静止 状态 亚里士多德对这一悖论的反驳是 不仅不存在 不可分的时刻 而且运动本身也只能在一个时间段内 被定义 而现代对这一悖论是这样反驳的 因为运动 是通过极限的观点来定义的 所以可以否定第一个前 提 运动场悖论是说 假设有三个同样物体的集合 A 静 止不动 B 经过 A 向右移动 C 以同样的速度向左移动 假设 B 移动到了 A 右面的某个位置 C 移动到了 A 左 面的某个位置 且最初在 4 A下方的 1 B移到了 5 A下方 而最初在 5 A下方的 1 C移到了 4 A的下方 图 2 13 芝 诺假设物体是空间不可分的单元 它们在不可分的时 间单元内移动到了其新位置 但是 既然在某一时刻 1 B一定在 1 C的正上方 那么有两种可能出现 要么两 个物体没相遇 则物体根本没有运动 要么在不可分 的时刻 每个物体各处于两个不同的位置 因此时刻 事实上是可分的 亚里士多德相信 他已经驳倒了这 个悖论 因为他已经否定了最初的假定 即时间是由 不可分的时刻组成 图 2 13 芝诺运动场悖论 这些悖论的论战贯穿了整个历史 而芝诺悖论的思想 及亚里士多德的反驳引起诸多学者深思 甚至现代数 学家们在处理无穷或无穷小的概念时也必须对其假 定认真斟酌 在希腊时期 悖论及对悖论的反驳是促 B6B5B4B3B2B 1 A 1 A2A 3 A4A 5 A6 C1C2C3C4C5 使对连续量与离散数作出区分的一个重要因素 这对 于亚里士多德乃至欧几里得来说是多么的重要 以正整数为自变量的函数 当 依次取 1 2 3 所得到的一列函数值 1 1af 2 2af 3 3af n af n 称为无穷数列 简称数列 数列中的各个数称为数列 的项 n af n称为数列的通项 数列常记为 定义 1 如果 无限增大时 数列 的通项无 限趋近于常数 则称该数列以 为极限 记作 lim n n aa 或 此时也称该数列收敛到 如果 时 不以任何常数为极限 则称数 列 发散 数列的例子 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 1 2 1 3 1 4 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 2 4 6 8 2n 1 2 1 4 1 6 1 8 常数列 常数列的极限仍是该常数 lim 2 n n lim2n n 定义 2 如果对于任意正数 总存在相应的正整数 N 使得满足 nN的一切 能使不等式e n aa 恒成立 则称数列 以 为极限 记作 lim n n aa 或 2 2 函数极限 2 2 1 自变量 无限趋近于有限数 的情形 且 且 0 0 lim xx xx 1O1 1 2 x y yfx 1O1 1 2 x y yg x 0 lim xx CC 1 lim 23 x x 5 2 5 5 5 lim 25 1 lim 5 1 10 x x x x x 0 1 limsin xx 0 1 limcos xx 不存在 不存在 3 1 lim 3xx 定义 1 设函数 在点 0 x的近旁有定义 如 果对于任意正数 总存在相应的的正数 使得满足 d 0 0 xx的一切 能使 e 0 lim0 xx f xA 0f x 0 x 0 xx f x x 若 0 x 2 xx f x x 在 0 x处 无定义 因此除 0 x外 f x在所有 x 处是连续的 g 0 2 0 xx x f xx x 解 f x对所有 0 x即在定义域内是连续的 2 3 4 闭区间上连续函数的性质 定理 1 最大值和最小值定理 闭区间上的连续函数 一定存在最大值和最小值 1 1 xx y y OO11 11 定理 2 介值定理 若函数 在闭区间 a b上连 续 且 f af b 为介于 f a与 f b之间的任意 一个数 即 h f af b 则至 少存在一个内点 x a b 使得 xh f ab y x O f b f a 推论 根的存在定理 若函数 在闭区间 a b 上连续 且 f a与 f b异号 则至少存在一个内点 x a b 使得 x 0f a b y xO f b f a 例 1 12 证明方程 在开区间 内至少有一个实根 证 设 则 在 上