大学物理简明教程习题解答第7章 2010.9.doc

第7章 恒定磁场7-1在闪电中电流可高达2104A，若将闪电电流视作长直电流，问距闪电电流1.0m处的磁感应强度有多大？解 根据安培环路定理 ，与长直电流相距r处的磁感应强度为 解得相距1.0m处的磁感应强度的大小 题7-2图7-2 如图所示，两根无限长直导线互相垂直地放置，相距d=2.010-2m。设两根导线通过的电流均为I=10A，求两导线垂直距离中点P处的磁感应强度。解 两根载有相同电流的无限长直导线在P处的磁感应强度的大小相同，由安培环路定理 得 和的方向分别指向x轴的负方向和z轴的正方向。由磁场叠加原理，P处磁感应强度的大小为 BP的方向在x-z平面内，与z轴正方向和x轴负方向均成45夹角。题7-3图7-3 如图所示，一无限长载流绝缘直导线弯成如附图所示的形状。求使o点的磁感应强度为零的半径a和b的比值。解 该载流系统由三部分组成，o点的磁感应强度为载有相同电流的无限长直导线及两个半径分别为a和b的圆环分别在该处激发的磁感应强度的矢量和。设磁场方向以垂直纸面向内为正，向外为负。由安培环路定理 无限长载流直导线在o点的磁感应强度为 ，根据毕奥萨伐尔定律，电流元Idl在o点的磁感应强度，其中，对两载流圆环分别积分，有 由磁场叠加原理 解得 题7-4图7-4 如图所示，两导线沿半径方向引到铁环上a、b两点，并与远处的电源相连，已知环的粗细均匀，求环中心o的磁感应强度。解 设aeb长为l1，ab长为l2。并设磁场方向以垂直纸面向内为正，向外为负，因为，即，所以。根据毕奥萨伐尔定律，电流元Idl在圆心o点的磁感应强度，式中。对两载流圆弧分别积分，有 由磁场叠加原理，o点的磁感应强度的大小为题7-5图7-5 一根无限长直导线通有电流I=4A，中部被弯成半圆弧形，半径r=10cm。求圆弧中心的磁感应强度。解 无限长直导线的直线部分在O点产生的磁感应强度为0，所以 O点的磁场仅由载流半圆弧激发。根据毕奥萨伐尔定律，电流元Idl在O点的磁感应强度，式中，故有 方向垂直纸面向内。题7-6图7-6 将一段导线弯成半径分别为R1和R2的同心1/4圆弧，并与两段径向直线段组成一闭合回路。回路中通有电流I，方向如图所示。求圆心o处的磁感应强度B的大小和方向。解 两段径向直线段在o点不产生磁场，所以只需将大、小两个圆弧在o点产生的磁感应强度进行叠加。根据毕奥萨伐尔定律，电流元Idl在 o点的磁感应强度 式中对两圆弧分别积分，有 ，方向垂直纸面向外。 ，方向垂直纸面向里。两同心1/4圆弧在o点产生的总磁感应强度，方向垂直纸面向外。题7-7图7-7 如图所示，一根长为L的导线，载有电流I。试求：（1）该导线在其中垂线上与导线相距为L/2的P点处所产生的磁场的磁感应强度；（2）在P点正上方相距L/2处的Q点的磁感应强度。解 利用长直载流导线的磁场公式求解。（1）对于P点，P点的磁感应强度 方向垂直纸面向里。（2）对于Q点， ，Q点的磁感应强度 方向垂直纸面向里。题7-8图7-8 一均匀磁场的磁感应强度B=2.0T，方向沿x轴正向,如图所示。试求：（1）通过图中abcd面的磁通量；（2）通过图中befc面的磁通量；（3）通过图中aefd面的磁通量。解 （1）根据磁通量定义 对于abcd面，则通过该面的磁通量 （2）对于befc面，,则通过该面的磁通量（3）对于aefd面，则7-9 一个非均匀磁场磁感应强度的变化规律为B=ky（k为常量），方向垂直纸面向外。磁场中有一边长为a的正方形线框，其位置如图所示。求通过线框的磁通量。解 在线框内坐标为y处取一长为a宽为dy的矩形面积元dS，在dS中磁场可认为是均匀的，则通过dS的磁通量 对正方形线框平面积分，得 题7-10图7-10 两根平行的长直导线相隔0.75cm，且都垂直于图示的平面。导线1载有6.5A流入页面的电流。要使图中P点的合成磁场为零，试确定导线2中电流的大小和方向。解 根据安培环路定理， 对长直导线1，有 ，对长直导线2，有 ，两长直导线在P点产生的磁感应强度的大小相等，即，于是有，由此解得 ， 为使P点的合成磁场为零，则导线1和导线2中电流的流向必需相反，故长直导线2中电流方向垂直纸面向外。题7-11图7-11 同轴长电缆由内、外两导体构成，内导体是半径为a的实心圆柱，外导体是内外半径分别为b和c的圆筒。在两导体中，大小相等、方向相反的电流I通过。试求磁感应强度B的分布：（1）圆柱导体内离轴r处（ra）；（2）两导体间（arb）；（3）圆筒形导体内（brc）。解 （1）ra应用安培环路定理，在ra柱体内绕轴作环形回路L，其中，于是有 ，得（2）arb 应用安培环路定理，在arb柱体间绕轴作环形回路L，其中， 于是有 ，得（3）brc应用安培环路定理，在brc应用安培环路定理，在r c空间作环形闭合回路L，包围的电流 于是有 ，得题7-12图（1）7-12 图中所示为一无限大载流导电薄片的横截面，电流垂直地从页面流出，通过横截面每单位宽度（沿x向）的电流强度为j。（1）用毕奥萨伐尔定律和对称性确定薄片上、下方所有点的磁场方向均平行于薄片，且在页面内（见图）；（2）用安培环路定理证明，在所有点P和P处的磁感应强度。题7-12图（2）解 （1）该无限大载流导电薄片可看作是由无数条无限长载流直导线组成。P点为薄片上方任意一点，根据毕奥萨伐尔定律可知每条直导线在P点产生的磁场均在页面内。又根据对称性，P点左侧-x0处直导线与右侧x0处直导线产生的磁场的磁感应强度在y轴上分量大小相等方向相反，而在x轴上分量大小相等方向相同（如右图），因此合成后P点处总的磁场方向应该平行于薄片向左，且在页面内。同理亦可推知薄片下方任意一点P处总的磁场方向应该平行于薄片向右，且在页面内。题7-12图（3）（2）作对称于载流导电薄片的矩形环路，如右图，ab长为l1，bc长为l2，则环路中包围的电流为。由安培环路定理，即 在ab段和cd段上B的方向均与dl相同，而在bc段和da段上B的方向与dl垂直，故有解得 题7-13图（1）7-13 两无限大平行导体平面上都有均匀分布的电流，其面电流密度分别为j1和j2，且j1 j2（见附图），试求两平面间和两平面外的磁感应强度。解 利用上题结论，将两载流平面产生的磁场进行叠加计算。题7-13图（2）两平面间P点，磁场B1与B2方向相反，如图（2）： 两平面外Q点，磁场B1与B2方向相同，如图（2）： 7-14 一长直导线中通有电流I1，近旁有一矩形线圈，其长边与导线平行。若线圈中通有电题7-14图流I2，线圈的位置及尺寸如图所示。当I1=20A、I2=10A、x1=1.0cm、x2=10cm、l=20cm时，求矩形线圈所受力的大小和方向。解 根据安培定律判断，矩形线圈上、下两载流导线受力大小相等而方向相反，相互抵消。左、右两侧载流导线受力方向相反，但大小不等。由安培环路定理可知，长直载流导线在线圈左、右两侧处产生的磁感应强度分别为和，由此线圈左、右两侧载流导线受力大小分别为 线圈所受合力 负号表示合力方向水平向左。题7-15图7-15 如图所示，ADC为弯成任意形状的导线，被置于与均匀磁场B垂直的平面内。求证：当弯曲导线ADC通以电流I时，均匀磁场对它的作用力与AC间通有同样电流的直导线所受的力相同。证明 在弯曲导线ADC上选取图示的坐标系xoy，在导线上取电流元Idl。电流元在磁场中受到磁场力 = 因此弯曲导线ADC受合力 根据安培定律，长l的载流直导线AC在匀强磁场中受力FAC=IBl，方向沿y轴负向。显然，它与弯曲导线ADC所受磁场力的大小和方向均相同，即FADC=Fac。从而证明了匀强磁场中任意形状一段载流导线ADC所受磁场力，与AC间通有同样电流的直导线所受的力相同。题7-16图7-16 一长直导线通有电流I =20A，另一导线ab通有电流I=10A，两者互相垂直且共面，如图所示。求导线ab所受的作用力和对o点的力矩。解 建立如图所示的坐标，导线ab于 x轴上。由安培环路定律解得，载流长直导线周围的磁感应强度为。在ab上取一电流元，受力大小为 导线ab所受的总作用力 方向沿y轴。电流元对O点的力矩 导线ab所受的总力矩 题7-17图7-17 在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一载流矩形闭合回路，其边长分别为a和b，电流强度为I。试求在图示位置时该回路的磁矩pm和磁力矩M。解 根据定义，磁矩大小为 方向垂直纸面向里。磁力矩，其大小为 方向沿oo竖直向下。题7-18图7-18 一半径为R的圆形导线中通有电流I2，在沿直径ab方向上有一载有电流I1的无限长直导线（彼此绝缘），方向见图。求：（1）半圆弧acb所受作用力的大小和方向；（2）整个圆形导线所受作用力的大小和方向。解 （1）建立如图所示的坐标系。在半圆弧acb上任取一电流元。电流元所在处的磁场垂直纸面向外，磁感应强度。电流元受到磁场作用力的大小为，方向指向圆心。该力在x方向的分量 ， 则半圆弧acb在x方向所受的合力 磁场力在y方向的分量 则半圆弧acb在y方向受到的合力 =Fy也可由对称性分析得到同样的结果。所以半圆弧acb受力沿x轴正向，大小为。（2）用类似方法可分析另一侧半圆弧，它与acb受力大小和方向均相同，故整个圆形导线所受作用力大小为，方向沿x轴正向。题7-19图7-19 如图所示，一闭合回路由半径为a和b的两个同心半圆连成，载有电流I。试求（1）圆心P点处磁感应强度B的大小和方向；（2）回路的磁矩。解 （1）o点磁场仅由两载流半圆弧激发。根据毕奥萨伐尔定律，电流元Idl在o点产生的磁感应强度，且。半径为a的圆弧在o的磁感应强度为 半径为b的圆弧在o的磁感应强度为 由磁场叠加原理，P点处总磁感应强度 方向垂直纸面向里。（2）根据磁矩定义 方向垂直纸面向里。题7-20图7-20 质谱仪的构造原理如图所示。离子源S提供质量为M、电荷为q的离子。离子初速很小，可以看作是静止的，然后经过电压U的加速，进入磁感应强度为B的均匀磁场，沿着半圆周运动，最后到达记录底片P上。测得离子在P上的位置到入口处A的距离为x。试证明该离子的质量为：。证明 设离子经电压U加速后进入磁场时的速度为v。电场力作功使离子获得动能 在磁场中洛伦兹力提供作圆周运动的向心力 由此解得该离子的质量为，于是得证。题7-21图7-21 如图所示，把一宽2.0102m、厚1.0103m的铜片放在磁感应强度B=1.5T的均匀磁场中，如果铜片中通有200A的电流。试问（1）铜片左右两侧的电势哪侧高？（2）霍耳电势差有多大？（铜的电子浓度n=8.41028 l/m3）。解 （1）根据洛伦兹力可判断铜片内载流子（电子）在磁场中的受力方向向右，因此右侧积聚了电子带负电，左侧因缺少电子而带等量的正电。所以左侧电势高。（2）霍耳电势差 题7-22图7-22 图示为半导体样品，沿x轴方向有电流I，z轴方向有均匀磁场B。实验测得的数据为：a=0.10cm，b=0.35cm，c=1.0cm，I=1.0mA，B=0.3T，半导体片两侧的电势差U1-U2=6.55mV。（1）试问这种样品是p型还是n型半导体？（2）求载流子浓度。解 （1）根据洛伦兹力可判断半导体样品内载流子在磁场中