数学新学案同步课件选修北师大版：常用逻辑用语2.ppt

2充分条件与必要条件 第一章常用逻辑用语 学习目标1 理解充分条件 必要条件 充要条件的定义 2 会求某些简单问题成立的充分条件 必要条件 充要条件 3 能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一充分条件与必要条件 1 若p 则q 为真命题 是指由p通过推理可以得出q 这时 我们就说 由p可推出q 记作p q 并且说p是q的条件 q是p的 条件 2 若p q 但q p 称p是q的条件 若q p 但p q 称p是q的条件 充分 必 要 充分不必要 必要不充分 知识点二充要条件 思考在 ABC中 角A B C为它的三个内角 则 A B C成等差数列 是 B 60 的什么条件 答案因为A B C成等差数列 故2B A C 又因为A B C 180 故B 60 反之 亦成立 故 A B C成等差数列 是 B 60 的充要条件 梳理 1 一般地 如果既有p q 又有q p 就记作p q 此时 我们说 p是q的条件 简称充要条件 2 充要条件的实质是原命题 若p 则q 和其逆命题 若q 则p 均为真命题 如果p是q的充要条件 那么q也是p的充要条件 即如果p q 那么p与q互为充要条件 充分必要 3 从集合的角度判断充分条件 必要条件和充要条件 其中p A x p x 成立 q B x q x 成立 思考辨析判断正误 1 q是p的必要条件时 p是q的充分条件 2 若p是q的充要条件 则p和q是两个相互等价的命题 3 q不是p的必要条件时 p q 成立 题型探究 类型一充分条件 必要条件 充要条件的判定 例1下列各题中 试分别指出p是q的什么条件 1 p 两个三角形相似 q 两个三角形全等 2 p 一个四边形是矩形 q 四边形的对角线相等 解 两个三角形相似 两个三角形全等 但两个三角形全等 两个三角形相似 p是q的必要不充分条件 解答 解 矩形的对角线相等 p q 而对角线相等的四边形不一定是矩形 q p p是q的充分不必要条件 3 p A B q A B A 4 p a b q ac bc 解 p q 且q p p既是q的充分条件 又是q的必要条件 解答 解 p q 且q p p是q的既不充分又不必要条件 反思与感悟充分条件 必要条件的两种判断方法 1 定义法 确定谁是条件 谁是结论 尝试从条件推结论 若条件能推出结论 则条件为充分条件 否则就不是充分条件 尝试从结论推条件 若结论能推出条件 则条件为必要条件 否则就不是必要条件 2 命题判断法 如果命题 若p 则q 为真命题 那么p是q的充分条件 同时q是p的必要条件 如果命题 若p 则q 为假命题 那么p不是q的充分条件 同时q也不是p的必要条件 跟踪训练1指出下列各题中 p是q的什么条件 1 p ax2 ax 1 0的解集是R q 0 a 4 解答 解当a 0时 1 0满足题意 故p是q的必要不充分条件 解答 解易知p 1 x 5 q 1 x 5 所以p是q的充要条件 3 p A B A q A B B 解因为A B A A B B 所以p是q的充要条件 解答 所以q p 所以p是q的充分不必要条件 类型二充要条件的探求与证明 命题角度1充要条件的探求例2求ax2 2x 1 0至少有一个负实根的充要条件是什么 解答 2 当a 0时 ax2 2x 1 0为一元二次方程 它有实根的充要条件是 0 即4 4a 0 a 1 a 0 综上所述 ax2 2x 1 0至少有一个负实根的充要条件是a 1 反思与感悟探求一个命题的充要条件 可以利用定义法进行探求 即分别证明 条件 结论 和 结论 条件 也可以寻求结论的等价命题 还可以先寻求结论成立的必要条件 再证明它也是其充分条件 跟踪训练2已知数列 an 的前n项和Sn n 1 2 t t为常数 试问t 1是否为数列 an 是等差数列的充要条件 请说明理由 解答 解是充要条件 充分性 当t 1时 Sn n 1 2 1 n2 2n a1 S1 3 当n 2时 an Sn Sn 1 2n 1 又a1 3符合上式 an 2n 1 n N 又 an 1 an 2 常数 数列 an 是以3为首项 2为公差的等差数列 故t 1是 an 为等差数列的充分条件 必要性 an 为等差数列 则2a2 a1 a3 a1 S1 4 t a2 S2 S1 5 a3 S3 S2 7 10 11 t 解得t 1 故t 1是 an 为等差数列的必要条件 综上 t 1是数列 an 为等差数列的充要条件 证明 命题角度2充要条件的证明例3求证 一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根的充要条件是ac 0 证明充分性 由ac 0推证方程有一正根和一负根 ac 0 一元二次方程ax2 bx c 0的判别式 b2 4ac 0 原方程一定有两不等实根 原方程的两根异号 即一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根 必要性 由方程有一正根和一负根推证ac 0 一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根 不妨设为x1 x2 此时 b2 4ac 0 满足原方程有两个不等实根 综上可知 一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根的充要条件是ac 0 反思与感悟对于充要条件性命题证明 需要从充分性和必要性两个方面进行证明 需要分清条件和结论 证明 跟踪训练3求证 方程x2 2k 1 x k2 0的两个根均大于1的充要条件是k 2 证明必要性 若方程x2 2k 1 x k2 0有两个大于1的根 不妨设两个根为x1 x2 解得k 2 充分性 当k 2时 2k 1 2 4k2 1 4k 0 设方程x2 2k 1 x k2 0的两个根为x1 x2 则 x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 k2 2k 1 1 k k 2 0 又 x1 1 x2 1 x1 x2 2 2k 1 2 2k 1 0 x1 1 0 x2 1 0 x1 1 x2 1 综上可知 方程x2 2k 1 x k2 0有两个大于1的根的充要条件为k 2 类型三利用充分条件 必要条件求参数的值 或范围 例4设命题p x x 3 0 命题q 2x 3 m 已知p是q的充分不必要条件 则实数m的取值范围为 3 答案 解析 解析p x x 3 0 即0 x 3 由题意知p q q p 则在数轴上表示不等式如图所示 即实数m的取值范围为 3 反思与感悟 1 在有些含参数的充要条件问题中 要注意将条件p和q转化为集合 从而转化为两集合之间的子集关系 再转化为不等式 或方程 从而求得参数的取值范围 2 根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 记集合M x p x N x q x 若p是q的充分不必要条件 则M N 若p是q的必要不充分条件 则N M 若p是q的充要条件 则M N 根据集合的关系列不等式 组 求出参数的范围 答案 解析 解析由题意知A y 0 y 1 依题意 得B A 达标检测 答案 解析 1 x 0 是 x2 x 0 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 1 2 3 4 解析由x2 x 0 x 1或x 0 由此判断A符合要求 5 1 2 3 4 2 对于非零向量a b a b 0 是 a b 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 解析 解析当a b 0时 得a b 所以a b 但若a b 不一定有a b 0 答案 5 答案 解析 1 2 3 4 3 关于x的不等式x2 2ax a 0 x R恒成立 的一个必要不充分条件是 解析当关于x的不等式x2 2ax a 0 x R恒成立时 应有 4a2 4a 0 解得0 a 1 所以一个必要不充分条件是0 a 1 5 1 2 3 4 4 设p 1 x 4 q x m 若p是q的充分条件 则实数m的取值范围是 用区间表示 解析因为p为q的充分条件 所以 1 4 m 得m 4 4 答案 解析 5 5 设p x 1 q x 2或x 1 则q是p的 条件 填 充分不必要 必要不充分 既不充分又不必要 充要 答案 解析 充分不必要 解析由已知 得p x 1或x 1 则q是p的充分不必要条件 1 2 3 4 5 规律与方法 充分不必要条件