常用空间曲面.doc

第六节 常用空间曲面一、曲面方程的概念在第四节中，我们已经知道了，在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示；反过来，一个三元一次方程的图形是一个平面。在一般情况下，如果曲面与三元方程 （1）有下述关系：图6-21（1） 曲面上任一点的坐标都满足方程（1）；（2） 不在曲面上的点的坐标都不满足方程（1）那么方程（1）就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程（1）的图形（图6-21）。象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。运用这个观点，我们来建立球面方程。例1 若球心在点，半径为，求该球面方程。解：设是球面上任一点，那么又 故 （2）这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以为球心，为半径的球面方程。如果球心在原点，那么，从而球面方程为将（2）式展开得所以，球面方程具有下列两个特点：（1） 它是之间的二次方程，且方程中缺项；（2） 的系数相同且不为零。 现在我们要问，满足上述两个特点的方程，它的图形是否为球面呢？例2 方程表示怎样的曲面？解：配方，得所以所给方程为球面，球心为，半径为。 例3 方程是否表示球面？解：配方，得显然没有这样的实数能使上式成立，因而原方程不代表任何图形。以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。（2） 已知坐标间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。例1是从已知点的轨迹建立曲面方程的例子，例2、例3是由已知间方程研究它所表示的曲面的形状的例子。下面，作为基本问题（1）的例子，我们讨论旋转曲面；作为基本问题（2）的例子，我们讨论柱面和二次曲面。二、旋转曲面一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面。旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。图6-22设在坐标面上有一条已知曲线，它的方程为，曲线绕轴旋转一周，得到一个以轴为轴的旋转曲面（图6-22）设为曲线上一点，则有 （3）当曲线绕轴旋转时，点随绕到另一点，这时，且点到轴的距离为 将，代入（3）式，便得到 （4）这就是所求的旋转曲面的方程。由此可知，在曲线的方程中将改成便得曲线绕轴旋转所成的旋转曲面的方程。同理，曲线绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为 （5）例1 求坐标面上的抛物线绕轴旋转而成的旋转曲面的方程。解：绕轴旋转所成的旋转曲面叫旋转抛物面（图6-23），它的方程为图6-23 例5 将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。解：绕轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为绕轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为 例6 直线绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角（）叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点在原点，旋转轴为轴，半顶角为的圆锥面的方程（图6-24）。解：在坐标面上直线的方程为，因为旋转轴为轴，所以只要将方程中的改成，便得到这圆锥面的方程图6-24或 其中。三、柱面设直线平行于某定直线并沿定曲线移动，则直线形成的轨迹叫做柱面。定曲线叫做柱面的准线，直线叫做柱面的母线。我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。这种柱面方程有什么特点呢？下面举例说明。问方程表示什么曲面？图6-25图6-26在坐标面上，方程表示圆心在原点，半径为的圆。在空间直角坐标系中，方程缺，这意味着不论空间中的点的竖坐标怎样，凡是横坐标和纵坐标满足这方程的点都在方程所表示的曲面上；反之，凡是点的横坐标和纵坐标不满足这个方程的，不论竖坐标怎样，这些点都不在曲面上，即点在曲面上的充分必要条件是点在圆上。而是在过点且平行于轴的直线上，这就是说方程表示：由通过坐标面上的圆上的每一点且平行于轴（即垂直于坐标面）的直线所组成，即方程表示柱面，该柱面称为圆柱面（图6-25）。一般地，如果方程中缺，即，类似于上面的讨论，可知它表示准线在坐标面上，母线平行于轴的柱面。而方程分别表示母线平行于轴和轴的柱面方程。图6-27例如方程，方程中缺，所以它表示母线平行于轴的柱面，它的准线是面上的抛物线，该柱面叫做抛物柱面（图6-26）。又例如，方程表示母线平行于轴的柱面，其准线是面上的直线，所以它是过轴的平面（图6-27）。四、二次曲面图6-28最简单的曲面是平面，它可以用一个三元一次方程来表示，所以平面也叫做一次曲面。与平面解析几何中规定的二次曲线类似，我们把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。选取适当的空间直角坐标系，可得它们的标准方程，下面就二次曲面的标准方程来讨论二次曲面的形状。（1） 椭圆锥面 以垂直于轴的平面截此曲面，当时得一点；当时，得平面上的椭圆当变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当从大到小变为0时，这族曲线从大到小并缩为一点。综合上述讨论，可得椭圆锥面（1）的形状（如图6-28） 平面与曲面的交线成为截痕。通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法。本节前面讨论过旋转曲面，我们还可以利用伸缩变形的方法，由已知的旋转曲面来得出二次曲面的大致形状。先介绍伸缩变形法。曲面沿轴方向伸缩倍，曲面的点变为点，其中，因为点在曲面上，所以有，故。例如将圆锥面的图形沿轴方向伸缩倍，则圆锥面即变成椭圆锥面。（2） 椭球面 图6-29O把面上的椭圆绕轴旋转，所得的曲面方程为，该曲面称为旋转椭球面。再把旋转椭球面沿轴方向伸缩便得椭球面（2）（图6-29）。（3）双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 图6-30图6-31图6-32把面上的双曲线绕轴旋转，得旋转单叶双曲面，把此旋转曲面沿轴方向伸缩倍，即得单叶双曲面（如图6-30）。类似的方法可得双叶双曲面（如图6-31） （4）抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面（马鞍面）把面上的的抛物线绕轴旋转，得旋转抛物面，把此旋转曲面沿轴方向伸缩，即得椭圆抛物面（如图6-32）。我们用截痕法来讨论双曲抛物面的形状（如图6-33）。用平面截此曲面，得截痕为平面上的抛物线图6-33此抛物线开口向下，其顶点坐标为。当变化时，的形状不变，只是位置平移，而的顶点的轨迹为平面上的抛物线。还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面依次为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。柱面的形状在前面已经讨论过，这里不再冗述。习题6-61建立以点为球心，且过原点的球面方程。2将面上的抛物线分别绕轴，轴旋转，分别求出旋转后所得的曲面方程。3一动点与点的距离为与平面的距离的一半，试求其所生成的轨迹，并确定它为何种二次曲面。4说明下列二次曲面的名称，若它们是旋转曲