泛函分析部分知识总结.doc

泛函分析单元知识总结与知识应用一、单元知识总结第七章、 度量空间和赋范线性空间1 度量空间1.1定义：若是一个非空集合，是满足下面条件的实值函数，对于，有（1）当且仅当；（2）；（3），则称为上的度量，称为度量空间。例：1、设是一个非空集合，当，则为离散的度量空间。2、序列空间 ，是度量空间3、有界函数全体 ，是度量空间4、连续函数，是度量空间5、空间，是度量空间2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间2.1收敛点列：设是中点列，如果，使，则称点列是中的收敛点列。例：1、，按欧氏距离收敛于的充要条件为各点列依分量收敛。2、中（一致）3、可测函数空间中点列（依测度）稠密子集与可分空间:设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令,那么称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。即：例：1、n维欧氏空间是可分空间；2、坐标为有理数的全体是的可数稠密子集；3、是不可分空间。3 连续映射3.1定义（用领域来描述）：对的每个领域，必有的某个领域是,其中表示在映射作用下的像。3.2定理1 设是度量空间到度量空间中的映射，那么T在连续的充要条件为当时，必有定理2 度量空间到中映射是上连续映射的充要条件为中任意开集的原像是中的开集。4 柯西点列和完备度量空间4.1定义：设是度量空间，是X中点列，如果对，正整数,使当时，必有，则称是X中的柯西点列，如果度量空间中每个点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间。例：1、是完备度量空间 2、是完备度量空间3、是完备的度量空间注意：1、全体按绝对值距离构成的空间不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列（完备空间中即可反之一定是）3、实系数多项式全体，作为的子空间不是完备度量空间4.2定理1 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）注意：开子空间不完备。5 度量空间的完备化5.1定理1 （度量空间的完备化定理）设是度量空间，那么一定存在一完备度量空间，使与的某个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若也是一万倍度量空间，且与的某个稠密空间等距同构，则与等距同构。（其中：若，称与等距同构。）用下图可形象表达这一关系： 定理 设是度量空间，那么存在唯一的完备空间，使为的稠密子空间。6 压缩映射原理及其应用6.1定义：设是度量空间，是到中的映射，如果，则称是压缩映射。6.2定理1（压缩映射定理）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（就是说，方程，有且只有一个解）。证明：存在性：1、构造柯西列 2、3、定理2（隐函数存在定理）设函数在带状域中处处连续，且处处有关于的偏导数。如果常数和，满足，则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：7 线性空间7.1定义：设是一非空集合，在中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3），均有，满足这样性质的集合称为线性空间。例：1、按自身定义的加法和数乘成线性空间2、按自身定义的加法和数乘成线性空间3、空间按自身定义的加法和数乘成线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间8.1定义：设是实（或复）的线性空间，如果对，都有确定的一个实数，记为与之对应，并且满足：，且等价于；（非负性）其中为任意实（复）数；，（三角不等式）则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间注意：1、任意赋范线性空间都是度量空间 2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间 3、是的连续函数重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。2、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。（即拓扑同构范数等价）例：1、按范数成巴拿赫空间2、空间按范数成巴拿赫空间3、空间是巴拿赫空间8.2定理2 按范数成巴拿赫空间总而言之，赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。第八章 有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和线性泛函的定义1.1定义：设和是两个同为实（或复）的线性空间，是的线性子空间，为到中的映射，如果对及数，有，则称为到中的线性算子，其称为的定义域，记为，称为的值域，记为，当取值于实（或复）数域时，就称为实（或复）线性泛函。例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子注意：1、n维线性空间上线性泛函与向量相对应。2、在有限维空间上，当基选定后，线性算子与矩阵是相对应的1.2定义：为赋范线性空间的子空间到赋范线性空间中的线性算子，称为算子在上的范数。1.3 定理1 设是赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则为有界算子的充分必要条件是为上的连续算子。这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。定理2 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么是上连续泛函的充要条件为的零空间是中的闭子空间。注意：1、若有界 2、3、若有界 2 有界线性算子空间和共轭空间2.1定义：设是赋范线性空间，令表示上连续线性泛函全体所成的空间，称为的共轭空间。2.2定理1 当是巴拿赫空间时，也是巴拿赫空间 定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间例：1、的共轭空间为有界序列全体，即，但 2、且则其中连续3、设，令，则为线性算子4、的共轭空间为，其中，当时，二、列举泛函分析中的某个知识点在其他学科中的应用泛函分析是分析数学中“最年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论，有着广泛的应用。在这里我主要阐述一下压缩映射定理（Banach不动点定理）的应用。定理 （压缩映射定理）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（就是说，方程，有且只有一个解）。a.不动点原理在证明数值分析中的迭代法不动点原理的应用迭代法不动点原理：设映射在在上有连续的一阶导数，且满足：（1）封闭性：对，有，（2）压缩性： 使得对 ，则在上存在唯一的不动点，且对，收敛于，且有使用Banach不动点原理对推论证明：由原理内容可知，是到上的线性映射；和均完备；条件（2）等价于为压缩映射。以上可知，必存在，对，有且且满足。b、不动点原理在解决线性方程组解的存在问题时的应用例4 线性代数方程组解的存在唯一性：设线性方程若对每个，则方程组唯一解存在。证：在中定义与之距离易证是完备的距离空间。定义映射由确定，记于是于是T是压缩映射，它有唯一