2019届高考数学总复习解析几何第15讲圆锥曲线的方程与性质学案理.docx

第15讲圆锥曲线的方程与性质1.2017全国卷已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为 ()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1试做命题角度考查圆锥曲线的定义(1)定性:确定圆锥曲线的类型,确定焦点的位置,从而设出标准方程.(2)列方程(组):用待定系数法列出椭圆、双曲线或抛物线中关于a,b,c或p的方程(组).(3)得到结果.注意:要考虑到圆锥曲线的焦点无法确定的情况.2.(1)2018全国卷设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为 ()A.5B.2C.3D.2(2)2018全国卷已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为 ()A.23B.12C.13D.14(3)2018全国卷已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为 ()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1试做命题角度离心率关键一:利用已知条件和椭圆、双曲线的定义或性质列出关于a,b,c的方程或不等式,求出ca的值或取值范围.关键二:双曲线离心率的取值范围为(1,+),椭圆离心率的取值范围为(0,1).3.(1)2016全国卷以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点,已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为 ()A.2B.4C.6D.8(2)2013全国卷设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x试做命题角度圆与抛物线的综合问题关键一:利用抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离.关键二:注意圆的相关性质的应用.4.(1)2018全国卷设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN= ()A.5B.6C.7D.8(2)2018全国卷已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|= ()A.32B.3C.23D.4(3)2016全国卷已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34试做命题角度直线与圆锥曲线的位置关系(1)问题一般为求点的坐标、斜率、弦长、方程及圆锥曲线的某个性质.(2)关键一:圆锥曲线的定义.关键二:构建直线与圆锥曲线的方程组.关键三:用好平面几何性质.小题1圆锥曲线的定义与标准方程1 (1)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的方程是y=3x,且它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程是 ()A.x236-y2108=1B.x2108-y236=1C.x29-y227=1D.x227-y29=1(2)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,过F2的直线l交C于A,B两点 (异于M,N),AF1B的周长为43,且直线AM与AN的斜率之积为-23,则椭圆C的方程为()A.x212+y28=1B.x212+y24=1C.x23+y22=1D.x23+y2=1听课笔记 【考场点拨】待定系数法求圆锥曲线的标准方程应紧扣“三步曲”:(1)定位:焦点在哪个坐标轴上.(2)设方程.(3)定量.易失分点有:双曲线定义中忽略“绝对值”致错,椭圆与双曲线的关系式弄混.【自我检测】1.设椭圆C:x24+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx(k0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|+|BF|的值是()A.2B.23C.4D.432.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆交双曲线C的一条渐近线于点(3,3),则双曲线C的方程为()A.x23-y29=1B.x2-y23=1C.x29-y23=1D.x23-y2=13.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若A,B两点的横坐标之和为103,则|AB|=.4.双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.小题2圆锥曲线的几何性质2 (1)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过点F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为 ()A.343B.94C.983D.6332(2)已知F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且PFQ=120,则椭圆E的离心率为 ()A.13B.12C.33D.22 听课笔记 【考场点拨】圆锥曲线性质的注意点:(1)椭圆离心率的取值范围为(0,1),双曲线离心率的取值范围为(1,+);(2)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax;(3)由方程求解性质时,方程一定要化为标准形式.【自我检测】1.已知双曲线x24-y2b2=1(b0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.5B.3C.5D.422.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.若直线AF的斜率为-3,则|PF|= ()A.43B.6C.8D.163.设F1,F2是椭圆C:x2m+y22=1的两个焦点,若椭圆C上存在点M满足F1MF2=120,则m的取值范围是()A.0,128,+)B.(0,18,+)C.0,124,+)D.(0,14,+)4.已知焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F,右顶点为A,若线段FA的垂直平分线与双曲线C没有公共点,则双曲线C的离心率的取值范围是.小题3圆锥曲线与圆、直线的综合问题3 (1)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线于A,B两点,若B为线段FA的中点,且OBFA(O为坐标原点),则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5(2)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A,B两点(A在第一象限),与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则SBCFSACF=.听课笔记 【考场点拨】圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点:(1)注意使用圆锥曲线的定义;(2)引入参数,注意构建直线与圆锥曲线的方程组;(3)注意用好平面几何性质.【自我检测】1.若双曲线y2a2-x29=1(a0)的一条渐近线与直线y=13x垂直,则此双曲线的实轴长为()A.2B.4C.18D.362.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F1,过点F1作倾斜角为30的直线l与圆x2+y2=b2相交所得的弦长为3b,则椭圆的离心率为()A.12B.22C.34D.323.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,其渐近线与圆(x-a)2+y2=34相切,则该双曲线的方程为.4.已知F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,过点F作倾斜角为30的直线l与抛物线E交于A,B两点,过A,B向E的准线作垂线,垂足分别为C,D,设CD的中点为M,则|MF|=.第15讲圆锥曲线的方程与性质 典型真题研析1.B解析 (1)双曲线的一条渐近线方程为y=52x,ba=52.又椭圆x212+y23=1与双曲线有公共焦点,c=3,则a2+b2=c2=9.由解得a=2,b=5,故双曲线C的方程为x24-y25=1.2.(1)C(2)D(3)D解析 由题易知|PF2|=b,|OP|=a.过P向x轴作垂线,垂足为E,可知|PE|=abc,|F2E|=b2c,所以|PF1|2=abc2+2c-b2c2=(6|OP|)2=6a2,从而可得e=3.(2)由题意知A(-a,0),过A且斜率为36的直线方程为y=36(x+a),设P(x0,y0),则有 y0=36(x0+a).又PF1F2为等腰三角形,且F1F2P=120,所以kPF1=y0x0+c=tan 30=33,kPF2=y0x0-c=tan 60=3.联立,消去x0,y0,得ca=14,即C的离心率为14.(3)在直角三角形PF1F2中,PF1PF2,PF2F1=60,|F1F2|=2c,|PF2|=c,|PF1|=3c.由椭圆的定义得3c+c=2a, C的离心率e=ca=23+1=3-1,故选D.3.(1)B(2)C解析 设抛物线方程为y2=2px(p0),点A在第一象限,点D在第二象限.根据抛物线的对称性可得点A的纵坐标为22,代入抛物线方程得x=4p,即点A4p,22.易知点D-p2,5,由于点A,D都在以坐标原点为圆心的圆上,所以16p2+8=p24+5,解得p=4,此即为抛物线的焦点到准线的距离.(2)抛物线焦点为Fp2,0 ,由抛物线的定义,设M5-p2,2p(5-p2),设N点坐标为(0,2).因为圆过点N(0,2),故NFNM2-p22p(5-p2)-25-p2=-1,设p(5-p2)=t,则式可化为t2-42t+8=0t=22p2-10p+16=0p=2或p=8.4.(1)D(2)B(3)A解析 (1)过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2),由y=23(x+2),y2=4x,解得x=1,y=2或x=4,y=4.不妨记M(1,2),N(4,4),抛物线的焦点为F(1,0),所以FMFN=(0,2)(3,4)=8.(2)由双曲线方程知a=3,b=1,则F(2,0).不妨设过点F的直线垂直渐近线x-3y=0于M,交渐近线x+3y=0于N.在RtOMF中,MOF=30,|OF|=2,所以|OM|=3.在RtOMN中,MON=60,|OM|=3,所以|MN|=3.(3)设M(-c,y0),则AM所在直线方程为y=y0-c+a(x+a),令x=0,得E0,ay0-c+a.BM所在直线方程为y=y0-c-a(x-a),令x=0,得y=-ay0-c-a.由题意得-ay0-c-a=12ay0-c+a,解得a=3c,故离心率e=ca=13.考点考法探究小题1例1(1)C(2)C解析 (1)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的方程是y=3x,且它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线x=-6上,ba=3,c2=a2+b2=36,解得a=3,b=33,双曲线的方程为x29-y227=1.(2)由AF1B的周长为43及椭圆的定义,可知|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=43,解得a=3,则M(-3,0),N(3,0).设点A(x0,y0),由直线AM与AN的斜率之积为-23,可得y0x0+3y0x0-3=-23.即y02=-23(x02-3),又因为x023+y02b2=1,所以y02=b21-x023,由得b2=2,所以椭圆C的方程为x23+y22=1.【自我检测】1.C解析 设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,因为|OA|=|OB|,|OF|=|OF2|,所以四边形AFBF2是平行四边形,所以|BF|=|AF2|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF2|=2a=4.2.C解析 由以线段F1F2为直径的圆交C的渐近线于点(3,3),得c=9+3=23,所以a2+b2=12.由点(3,3)在双曲线的渐近线上,得双曲线的渐近线的方程为y=33x,即ba=33.由得a2=9,b2=3,所以双曲线C的方程为x29-y23=1,故选C.3.163解析 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,则|AB|=xA+xB+2=163.4.9解析 由双曲线的定义知|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2b2a+4a=212+8=9,故|AF2|+|BF2|的最小值为9.小题2例2(1)B(2)C解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2).由y2=3x,得2p=3,即p=32,则F34,0.由题知直线AB的方程为y=33x-34,即x=3y+34.联立y2=3x,x=3y+34,得4y2-123y-9=0,则y1+y2=33,y1y2=-94,SOAB=SOAF+SOFB=1234|y1-y2|=38(y1+y2)2-4y1y2=38(33)2+9=94.(2)在PQF中,设|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),则Q(-x1,-y1),设椭圆的右焦点为F2,易知四边形PFQF2是平行四边形,所以FPF2=60.在PF2F中,由余弦定理得|F2F|2=(2t)2+t2-22ttcos 60=3t2=4c2.由椭圆定义得|PF|+|PF2|=2a=3t,则a2=3c2,所以椭圆E的离心率e=33.【自我检测】1.A解析 因为抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0),所以4+b2=9,解得b2=5,所以双曲线的方程为x24-y25=1,所以其渐近线方程为y=52x,所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为|53-0|5+4=5,故选A.2.C解析 抛物线方程为y2=8x,焦点F(2,0),准线l的方程为x=-2,直线AF的斜率为-3,直线AF的方程为y=-3(x-2),由x=-2,y=-3(x-2),可得点A的坐标为(-2,43).PAl,点P的纵坐标为43,代入抛物线方程,得点P的坐标为(6,43),|PF|=|PA|=6-(-2)=8.3.A解析 根据椭圆的性质可知,当点M在短轴的顶点时,F1MF2最大,设椭圆的一个短轴的顶点为A,要使得椭圆C上存在点M满足F1MF2=120,则F1AF2120,即OAF260(O为坐标原点),当m2时,|OA|AF2|=cosOAF2cos 60,即2m12,解得m8;当0m2时,|OA|AF2|=cosOAF2cos 60,即m212,解得0m12.所以m的取值范围是0,128,+),故选A.4.1e0,b0),由题知F(-c,0),A(a,0),线段FA的垂直平分线与双曲线C没有公共点,a-c2-a,即3ac,离心率e=ca3,又e(1,+),1e0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为()A.x=-4B.x=-3C.x=-2D.x=-1解析 C由题得双曲线的方程为x2a2-y23a2=1,所以c2=a2+3a2=4a2,所以c=2a,所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得|PF1|+|PF2|=12,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=6-a.联立双曲线的方程和抛物线的方程得3x2-8ax-3a2=0,解得x=-a3(舍)或x=3a.由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2,故选C.例2配例1使用 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F1(-2,0),过点F1的倾斜角为30的直线l与圆x2+y2=b2相交所得的弦长为3b,则椭圆的标准方程为()A.y2