曾谨言量子力学习题解答 第五章.pdf

1 第五章 对称性及守恒定律 证明力学量A 不显含t 的平均值对时间的二次微商为 2 2 2 HHAA dt d H 是哈密顿量 解 根据力学量平均值的时间导数公式 若力学量A 不显含t 有 1 HA idt Ad 将前式对时间求导 将等号右方看成为另一力学量 1 HA i 的平均值 则有 1 1 1 22 2 HHAHHA iidt Ad 此式遍乘 2 即得待证式 证明 在不连续谱的能量本征态 束缚定态 下 不显含t的物理量对时间t的导 数的平均值等于零 证明 设A 是个不含t的物理量 是能量H 的公立的本征态之一 求A 在 态中的 平均值 有 dAA 将此平均值求时间导数 可得以下式 推导见课本 5 1 dAHHA i HA idt Ad 1 1 今 代表H 的本征态 故 满足本征方程式 EH E为本征值 又因为H 是厄密算符 按定义有下式 需要是束缚态 这样下述积公存在 dAHdAH 题中说力学量导数的平均值 与平均值的导数指同一量 代入 得 2 dAH i dHA idt Ad 1 1 dA i E dA i E 因 EE 而0 dt Ad 设粒子的哈密顿量为 2 2 rV p H 证明Vrppr dt d 2 证明 对于定态 VrT 2 证明 zyx pzpypxpr 运用力学量平均值导数公式 以及对易算符的公配 律 1 Hpr i pr dt d 2 1 2 zyxVppzpypxHpr zyx 2 1 222 zyxVppppzpypx zyxzyx 2 1 222 zyxVzpypxpppppzpypx zyxzyxzyx 分动量算符仅与一个座标有关 例如 xi px 而不同座标的算符相对易 因此 式 可简化成 2 1 2 1 2 1 222 zzyyxx ppzppyppxHpr zyxVpzpypx zyx 2 1 2 1 2 1 222 VpzVpyVpx ppzppyppx zyx zzyyxx 3 前式是轮换对称式 其中对易算符可展开如下 xxxx pxppxppx 232 xxxxxx pxppxppxppx 2223 xxxxx ppxpppx 2 222 2 xxx p ip ip i VpxpVxVpxpxVVpxVpx xxxxxx x V x i 将 代入 得 222 z V z y V y x V xippp i Hpr zyx 2 Vr p i 代入 证得题给公式 Vr p pr dt d 2 在定态 之下求不显含时间t的力学量A 的平均值 按前述习题 的结论 其 结果是零 令prA 则0 2 Vr p dprpr dt d 但动能平均值 22 22 p d p T 由前式 VrT 2 1 设粒子的势场 zyxV是zyx 的n次齐次式证明维里定理 irial theorem TVn2 式中 是势能 是动能 并应用于特例 谐振子 TV 库仑场 TV2 4 TVnCrV n 2 解 先证明维里定理 假设粒子所在的势场是直角坐标 zyx的n次齐次式 则不论 n是正 负数 势场用直角痤标表示的函数 可以表示为以下形式 式中 假定是有理函数 若是无理式 也可展开成级数 ijk kji ijk zyxCzyxV 此处的kji 暂设是正或负的整数 它们满足 nkji 定数 ijk C是展开式系数 该求和式可设为有限项 即多项式 根据前一题的结论 VrT 2 现在试行计算本题条件下Vr 的式子及其定态下平均值 z V z y V y x V xVr kji ijk zyxC z z y y x x 111kji ijk kji ijk kji ijk zyxkCzzyxjCyzyxiCx ijk kji ijk zyxCkji zyxnV 这个关系在数学分析中称 Euler 的齐次式定理 再利用 即得 VnT 2 本证明的条件只要Vr 不显含时间 见前题证明 故是一个普遍的证明 现将其直接 用于几种特例 并另用 式加以验证 谐振子 2 2 3 2 2 2 1 zyxV 直接看出2 n 根据 式知道 VT22 即 VT 也可以根据前一题的结论 即 式直接来验证前一结论 5 z V z y V y x V xVr zzyyxx 321 Vzyx2 2 3 2 2 2 1 VVr2 由 式可知VT 库仑场 222 1 zyx V 直接看出 是zyx 的1 n次齐次式 按 式有 VT 2 但这个结论也能用 式验证 为此也利用前一题结论 有 z V z y V y x V xVr 2 32222 32222 3222 zyx z z zyx y y zyx x x V zyx 222 1 VVr 代入 式 亦得到 VT 2 场 2 222 n n zyxCCrzyxV 直接看出 是zyx 的n次齐次式 故由 式得 VnT 2 仍根据 式来验证 z V z y V y x V xVr 2 2 2 2 1 2 222 1 2 222 yzyx n yxzyx n x nn 2 2 1 2 222 zzyx n z n 6 Vnzyxn n 2 222 由 得 VnT 2 结果相同 本小题对于n为正 负都相适 但对库仑场的奇点0 r除外 证明 对于一维波包 1 2 pxxpx dt d 解 一维波包的态中 势能不存在故 2 2 x p H 自由波包 依据力学量平均值时间导数公式 2 1 1 2 222 x p x i Hx i x dt d 2 1 22 x px i 但 222222 xppxpx xxx xppxpxpxpxpxppxx xxxxxxxx xxppxpxpxpxpxppx xxxxxxxx xpxpxppxpxpxppxx xxxxxxxx 因 ipx x 2 22 xppxipx xxx 代入 式 得到待证的一式 求海森伯表象中自由粒子的座标的算符 解 根据海森伯表象 绘景 的定义可导得海森伯运动方程式 即对于任何用海氏表 象的力学算符 tA应满足 1 HA idt Ad 7 又对于自由粒子 有 2 2 p H p 不随时间t变化 令 txtA 为海氏表象座标算符 代入 2 1 2 p tx idt txd 2 1 2 ptx idt txd 但 xppxptx 222 xpppxppxpppx p ipxpppx 2 代入 得 p i p i dt txd 2 1 2 积分得 Ct p tx 将初始条件0 t时 0 xtx 代入得 0 xC 因而得到一维座标的海氏表象是 0 xt p tx 求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符 解 用薛氏表象时 一维谐振子的哈氏算符是 2 2 1 22 2 x pH 解法同于前题 有关坐标 tx的运动方程式是 2 2 1 222 txtp tx idt txd 将等式右方化简 用前一题的化简方法 8 2 2 1 2 1 2 2 2 222 tp xx i px i xp x i 1 tp dt txd 但这个结果却不能直接积分 与前题不同 p 与t有关 为此需另行建立动量算符的运动方 程式 2 2 1 222 txtp tp idt tpd 化简右方 2 2 1 22 222 pxxp hi tx tp hi 2 2 pxxxpxxxp hi 2 22 2 txxpxxxp hi 2 tx dt tpd 将 对时间求一阶导数 并与 式结合 得算符 tx的微分方程式 0 2 2 tx dt txd 这就是熟知的谐振动方程式 振动角频率 它的解是 tBtAtx sin cos A B 待定算符 将它求导 并利用 sin cos tAtBtp 将 t 0 代入 x 0 A P 0 B 最后得解 tptxtx sin 0 1 cos 0 sin 0 cos 0 txtptp 在初时刻 t 0 海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的 因为前式 中 9 xi p xx 0 0 c f P Roman Advanced Quantum Theory 1 1 p 47 48 Addison Wesley 8 多粒子系若不受外力 则其哈密顿算符可表成 2 1 2 j ji ji i i i i rrVp m H 证明 总动量 i i pp 为守恒 证明 待证一试是矢量算符 可以证明其 x 分量的守恒关系 即为足够按力学量守恒 条件这要求 0 Hpx 2 1 2 j ji i i i i i ixx rrVp m pHp 2 1 2 j ji i i ix i i i i ix rrVpp m p 2 1 2 1 2222 1 2 1 2 1i21 iyiyix i yyx i xxx ppp m ppp m ppp 3221i21 jixxx rrVrrVrrVppp 最后一式的第一个对易式中 因为 0 2 jyix pp 0 2 jyiz pp 0 jzix pp 故整个 0 2 1 2 i i i i ix p m p 至于第二个对易式中 其相互势能之和有以下的形式 ji ji jijijij ji i zzyyxxVrrV 2 1 jijiji ji jijiji zzyyxxVzzyyxxV 又 式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和 由于不同座标的座标算符和 动量算符永远能够对易 式又能简化成 j jijiji i ixx zzyyxxVpHp i ijijijjijiji j ix zzyyxxVzzyyxxVp 2 1 10 再运用对易式 第四章 11 题 i i i i iix x xV i xF xi xFp 代入上式得 2 1 2 1 ii ijijij j ixjijiji j ixx zzyyxxVpzzyyxxVpHp 0 22 i ij i x V ix V i 满足 式 故 式得征 9 多粒子系如所受外力矩为 0 则总动量 i lL 为守恒 证明 与前题类似 对粒子系 外力产生外力势能和外力矩 内力则产生内力势能 ji rrV 但因为内力成对产生 所以含内力矩为 0 因此若合外力矩为零 则总能量中只含内势能 2 1 2 j ji ii i rrVpH 要考察合力矩是否守恒 可以计算 HL 的分量看其是否等于零 2 1 2 i j ji i i i i iyiizix rrVppzpyHL 2 1 222222 iyiixijijiji i jijiji j iyiizi iyiiziiziyixiziyix i iyiizi i pzpyzzyyxxVzzyyxxVpzpy pzpypppppppzpy 11 2 1 222222 222222 ij iyiiyiziixiixi iziyiiyiiziyiiyiizixiyiiyiix iziiziziiziiyiyizi i iziixixizi i VpzpzVpVyVpy ppzpzppzpzpppzpzp pyppypypppypypppy 最后一式中 因为 0 2222 iyizixiziziziyix pppppppp 因而 可以化简 000 0 2 1 22 ij iyiiiz iyiiz i ixiyi i x pVzVyp pzpppyHL 用对易关系 22 2 1 Vz yi Vy zi pppipHL i i i i ij iyiz i iziy i i x ji i i i i y z z V y i 最后一式第一求和式用了 yiyiy ippp 2 2 等 第二求和式用了 x f i xfpx 见课本上册 P111 最后的结果可用势能梯度 内力 表示 因内力合矩为零 故有 0 ji ii ji ix fr i Vr i HL 同理可证 0 HLy 0 HLz 因此L 是个守恒量 10 证明 对经典力学体系 若 A B 为守恒量 则 A B 即泊松括号也为守恒量 但不一 定是新的守恒量 对于量子体系若A B 是守恒量 则 BA也是守恒量 但不一定是新的 守恒量 证明 先证第一总分 设 qi 为广义坐标 pi为广义动量 A qi pi 和 B qi pi 是任意 力学量 i 1 2 3 为坐标或动量编号 s 自由度 则经典 Poisson 括号是 前半题证明 c f Goldstein Clessical Mechanlcs iii i i q B p A p B q A BA 12 在经典力学中 力学量 A 随时间守恒的条件是 0 ii qpA dt d 或写作 0 t p p A t q q A t A dt dA i i i i i 将哈密顿正则方程式组 i i p H dt dq i i q H dt dp 代入前一式得 0 HA t A q H p A p H q A t A dt dA iii i i 因此 若力学量 A B 不显示含时间 t 则这两涵数随时间守恒的条件是 0 HA 0 HB 假定以上两条件都适合 我们来考察 A B 是否也是守恒的 为此只需要考察下式能否成立 0 HHA 为了考察前一式 可令 HABHBAI 将此式用泊松括号的定义展开得 k KKKK i iiii q H p B p H q B qp A pq A I i iiii k KKKK q H p A p H q A qp B pq B 仔细地展开前一式的各项 将发现全部有关 H 的二阶导数都抵消 只留下 H 的一阶导数的项 化简形式如下 i ii q H BAG p H BAFI 式中 F G 都含 A 和 B 的导数 为了确定这两个待定系数 可令 H 等于特殊函数 i p 这不失 普遍性 F 与 H 无关 代入 式后有 BA qq A B q B A pABpBAI iii ii 前式中 i pB的值可在 中 作替代 A B B i p得到 i pA求法类似 再在 式中 令 H i p 得 I F A B 因而得 BA q BAF i 13 同理令 H i q得 BA p BAG i 将所得的 F 和 G 代入 并将这结果再和 等同起来 得到 A B H B A H HBA q H BA pp H BA q iii i i 这个式子说明 如果 2 3 满足 4 式就成立即 A B 守恒 在量子力学体系情形 BA 守恒的条件是 0 HA 0 HB 再考察 HABBAHBAI HABHBA 将此式加减AHBHBA 后得到 ABHAHBBHAHBAHBA 若A B 是守恒量 前一式等号右方0 HA 0 HB 左方0 HBA 所以 BA也是守恒量 所以量子体系的情形也有类似的结论 在量子体系情形 若BA 是 守恒量 则HBA 有共同本征态 在此态中测得BA 的值为确定值 A0和 B0 初始时刻的值 BA的值为 0 11 粒子系处在下列外场中 指出哪些力学量 动量 能量 角动量 宇称 是守恒量 自由粒子 无限的均匀柱对称场 无限均匀平面场 中心力场 均匀交变场 椭球场 解 要判断哪些力学量守恒 需要将力学量PHlp 宇称量 等表示成适宜的形式 再考察 HA等是否是零 但A 是该力学量 若该交换式是零就说明A 是个守恒量 下面各种场的分析 中 lp 的分量或其平方 PH 等逐个立式考虑 自由粒子 0 V 2 2 p H 14 a 0 2 1 222 zyxxx ppppHp 同理 0 Hpy 0 Hpz b 0 2 1 2 1 222 yzxyzyxyxx ppppppppzpy i Hl 同理0 Hly 0 Hlz c 设P 为宇称 对任意波涵数 tr 2 2 2 2 2 2 22 tr zyx PHP 2 2 2 2 2 2 22 tr zyx trPHtrH PHHP 或 0 HP 此外 H 不显含时间 故总的说PHlp 守恒 无限均匀柱对称场 柱对称场若用柱面座标 zR 表示势能时 形式为V R 是对称的哈氏算符 凡以z轴为 对称轴的柱面上各点 势能 V R 相同 1 1 2 2 2 2 2 2 2 RV zRR R RR H a 动量算符 sin cos RRi px cos sin RRi py zi pz 直截代入相应的对易式 得 0 Hpx 0 Hpy 0 Hpz b 角动量分量 coscossin z R R z R z i lx 15 cossincos z R R z R z i ly i lz 直截代入相应的交换式 得 0 Hlx 0 Hly 0 Hlz c 2 1 2 1 22 trrVptrrVpPtrHP 柱面对称性的表示式 rVrV 故前式成为 trPHtrHP 0 HP 此外H 也不显含时间 t 总的说来PHlp zz 四力学量守恒 Z 是柱面对称轴方向的座标 无限均匀的平面场 均匀平面场在一平面内势能不为零 并且处处相等 而与该点的座标无关 记作 0 V 0 22 0 2 2 1 2 1 VppVpH yx a 2 1 0 22 VpppHp yxxx 0 2 1 0 22 Vpppp xyxx 同理0 Hpy b 角动量l 系沿着 z 轴 故0 x l 0 y l xyz pypxl 0 Hlx 0 Hly 2 1 0 22 VpppypxHl yxxyz 0 2 1 yxxy pp ipp i 0 Hlz 16 c 2 0 2 2 2 22 tyxV yx PHP PHtyxV yx 2 0 2 2 2 22 0 HP H 不显含 t 总起来说PHlp z 守恒 本题和三维自由场类似 差别在于均匀二维势场 但它不影响力学量的守恒 中心力场 这种场的势能 V r 哈氏算符 1 2 22 2 2 2 2 rV r l r r rr H 动量算符如下 sin sincoscos cos sin rrrixi px sin cossincos sin sin rrriyi py sin cos rrizi pz 由于 x 等不能与H 中所含 V r 对易 因而各分量 x p 等都不和H 对易 即0 Hpx等式成 立 sin 1 sin sin 1 1 2 2 222 2 2 22 rrr r rr p 2 2 2 2 2 2 2 zyx 和 V r 对易 也不与H 对易 即0 2 Hp b 角动量算符是 cos sin ctgilx sin cos ctgily ilz 17 sin 1 sin sin 1 2 2 2 2 i l l 及其分量仅与角度 有关 与 r 无关 因而 x l 等和 2 l和势能 V r 对易直接看出 见 课本 113 页 0 2 llz 直接代入能证 0 2 llx 0 2 lly 0 1 1 2 2 22 2 2 2 l rr r rr iHlz 同理关于 x l y l 0 1 1 2 2 22 2 2 2 22 l rr r rr lHl c 中心力场是球对称势场 即在同一球面上势能相等 等势面球形 rVrV 对任意波函数 tr 有 2 2 trrV p PtrrHP 2 2 22 trPHtrrV p trrV p 0 HP 中心力场的守恒量是PHll 2 均匀交变场 这种势场可以是三维的 但既是均匀的 则势能不应依赖于座标 而只依赖于时间 例 如写成标量场形式 tVV cos 0 这样 在每一个指定时间 t 就是一个空间中的均匀场 其性质就和三维自由粒子场相仿 PHlk 守恒量 但若这种场是矢量场 例如一个电场沿 z 轴 随时间作交变 这样对称性要减低 ktVV cos 0 k 沿 z 轴单位矢 则守恒量是PHlpp xyx 18 椭球场 这种势场的对称性 在于场的等势面是一群椭球面 因而势场写作 222 c z b y a x rV 这可以用直角坐标形式的算符来讨论 2 222 2 2 2 2 2 22 c z b y a x zyx H 动量算符是 xi px yi py zi pz 另两个轮换对称 由于直角坐标与其共轭动量不对易 即 i xpx 等 2 222 2 2 2 2 2 22 c z b y a x zyxxi Hpx 一式中0 2 xpx 所以动量不守恒 同理 2 222 2 2 2 2 2 22 c z b y a x zyxy z z y i Hlx 此式之中 x l 与T V 两部分都不能够对易 因而角动量也不守恒 椭球形势场中粒子的守恒只会有H 和P 两种 c f D 特哈尔 量子力学习题集 3 31 题 p154 p 160 12 对于平面转子 转动惯量 I 设 2 sin 0 A 1 试求 t 解 平面转子的定位坐标是转角 这种坐标相当于球面极坐标中 r 常数 2 自 变量的情形 19 首先推出哈氏算符 在经典力学中 若刚体对旋转轴转动惯量 I 角动量 相当于 x l x l 和动量 T 的关系是 T 2 2 1 x l I 转子的势能是零 又在球面极座标中导得 i lz 故转子 哈氏算符 2 22 2 I H 根据本章 5 1 的 状态的波函数采用海森伯表象时记作 0 r 采用薛定谔表象时是 0 r 则二者有函数变换关系是 0 retr tHi 本题是该公式的典型用法的示例 本题情形 所用变换算符不显含时间 根据 式有 2 2 2 I ti tHi ee 将 式运算于题给的海森伯表象波函数 2 2cos1 2 1 2 2cos1 2 2 0 2 2 2 nn n I ti I it n ettr 注意到 2sin2 2cos 22cos 2cos22cos 2 2 2 2cos 4 2cos 22cos 2 2 2 nn n n n 2 2cos 2 1 2 1 2 2cos1 2 1 00 n n n n I it nI it n t 4 2cos1 2 1 2 2cos 2 1 2 1 2 0 I it n n e I it n 还是非归一化的波函 要将 tr 归一化 应乘常数 3 4 20 13 证明在伽利略变换下薛定谔方程具有不变性 即设惯系 K 以速度 v 相对于惯性系 K 沿 x 轴正方向 运动时 空间任何一点 两座标系中的坐标满足 x x vt y y z z t t 势能在 K K 两坐标系中的表示式有下列关系 V x t V x vt t V x t 证明若在 K 中薛定谔方程式是 2 2 22 V xt i 则在 K 中 2 2 22 V xt i 其中 2 2 tvtxetx t v x v i 证明 从伽利略变换定义可知 在 式中当 t 0 时 x x t t 因此在时刻 t 0 一点的波函 数 tx 与 tx 相重合 这个关系和 5 1 的海森伯 薛定谔表象变换 0 retr tHi 为普遍起见 我们假设 K K 间的变换用